فيديو السؤال: إيجاد نهاية دالة كسرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ ﺱ أس أربعة ناقص ٦٢٥ الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص ١٢٥.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد نهاية دالة كسرية. لعلنا نتذكر أنه بإمكاننا فعل ذلك باستخدام التعويض المباشر. نعوض إذن بـ ﺱ يساوي خمسة في الدالة الكسرية، فنحصل على خمسة أس أربعة ناقص ٦٢٥ مقسومًا على خمسة تكعيب ناقص ١٢٥. لكن، إذا أردنا حساب قيمة كل من البسط والمقام في هذا المقدار، فسنجد أن هذا يساوي صفرًا مقسومًا على صفر. وهذه صيغة غير معينة. هذا لا يعني أنه لا يمكننا حساب هذه النهاية. لكنه يعني أنه لا يمكننا حساب هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر فقط. ومن ثم، علينا استخدام طريقة مختلفة.

هناك بضع طرق مختلفة لحساب هذه النهاية. وأسهل طريقة هي ملاحظة أن هذه النهاية معطاة على صورة نهاية قسمة دالتي قوى. يعني هذا أنه بإمكاننا حساب هذه النهاية بتذكر النتيجة الموضحة. النهاية عندما يقترب ﺱ من ثابت ما ﺃﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ تساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذا بشرط أن يكون ﻡ لا يساوي صفرًا، وأن تكون قيم ﺃ أس ﻥ، وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ؛ موجودة.

نحن نعلم أن ٦٢٥ يساوي خمسة أس أربعة، و١٢٥ يساوي خمسة تكعيب. إذن، يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ ﺱ أس أربعة ناقص خمسة أس أربعة الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص خمسة تكعيب. نلاحظ الآن أننا أعدنا كتابة ذلك على صورة نهاية قسمة دالتي قوى. قيمة ﺃ تساوي خمسة، وقيمة ﻥ تساوي أربعة، وقيمة ﻡ تساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا حساب النهاية باستخدام نتيجة النهاية لدينا. نعوض بهذه القيم، فنحصل على أربعة أثلاث مضروبًا في خمسة أس أربعة ناقص ثلاثة. ويمكننا حساب قيمة هذا المقدار. أربعة ناقص ثلاثة يساوي واحدًا، والقيمة خمسة أس واحد تساوي القيمة نفسها. إذن، هذا يساوي خمسة. خمسة في أربعة على ثلاثة يساوي ٢٠ مقسومًا على ثلاثة، وهذه هي الإجابة النهائية. وهي أسهل طريقة للإجابة عن هذا السؤال.

لكن، قد يكون من المفيد أن نعرف سبب صحة هذه النتيجة جبريًّا. لذا، سنتناول الطريقة الجبرية لحساب هذه النهاية بدلًا من ذلك. وهذا سيساعدنا في التأكيد مرة أخرى على سبب صحة نتيجة النهاية بشكل عام. لحساب هذه النهاية جبريًّا، نتذكر أنه عندما عوضنا بـ ﺱ يساوي خمسة في الدالة الكسرية، حصلنا على صفر مقسومًا على صفر. وباستخدام نظرية الباقي، فإن هذا يعني أن كثيرة الحدود في البسط وكثيرة الحدود في المقام تقبلان القسمة على ﺱ ناقص خمسة. ولحساب هذه النهاية جبريًّا، علينا حذف جميع العوامل المشتركة، مثل ﺱ ناقص خمسة في كل من البسط والمقام. لذا سنبدأ بتحليل كثيرتي الحدود.

دعونا نبدأ بكثيرة الحدود في البسط. نلاحظ أن هذا فرق بين مربعين؛ لأن ﺱ أس أربعة يساوي ﺱ تربيع الكل تربيع، و٦٢٥ يساوي ٢٥ تربيع. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة البسط على الصورة ﺱ تربيع زائد ٢٥ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ٢٥. يمكننا أيضًا ملاحظة شيء مثير للاهتمام هنا. ‏ﺱ تربيع ناقص ٢٥ هو أيضًا فرق بين مربعين. إذن، يمكننا تحليل ذلك أكثر. وهذا يساوي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ زائد خمسة.

لننتقل الآن إلى تحليل المقام. توجد بضع طرق مختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام القسمة الجبرية لإخراج العامل المشترك ﺱ ناقص خمسة. لكن أسهل طريقة هي تذكر النتيجة الموضحة. لأي عدد صحيح موجب ﻥ، فإن ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ يساوي ﺱ ناقص ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد زائد ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص اثنين. نضيف حدودًا على هذه الصورة النمطية وصولًا إلى ﺃ أس ﻥ ناقص واحد. وبتطبيق هذه النتيجة، نجد أن المقام يساوي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد ٢٥. وهذه هي النتيجة نفسها التي سنحصل عليها باستخدام قسمة كثيرات الحدود.

نساوي نهايتي هاتين الدالتين الكسريتين إحداهما بالأخرى. ونلاحظ الآن أننا نحسب نهاية هذه الدالة عندما يقترب ﺱ من خمسة. تذكر أن هذا يعني أن علينا معرفة ما يحدث لمخرجات الدالة عندما تقترب قيم ﺱ من خمسة أكثر فأكثر. إذن، قيمة الدالة عند ﺱ يساوي خمسة لن تغير قيمة هذه النهاية. وهذا يعني أنه بإمكاننا حذف العامل المشترك ﺱ ناقص خمسة في بسط هذه الدالة ومقامها. فإذا كان ﺱ لا يساوي خمسة، فإن ﺱ ناقص خمسة مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة يساوي واحدًا. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ ﺱ تربيع زائد ٢٥ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة الكل مقسوم على ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد ٢٥.

يمكننا الآن حساب هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. فبالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة في الدالة الكسرية، نحصل على خمسة تربيع زائد ٢٥ مضروبًا في خمسة زائد خمسة الكل مقسوم على خمسة تربيع زائد خمسة في خمسة زائد ٢٥. يمكننا بعد ذلك حساب قيمة هذا المقدار. فنحصل على ٥٠ في ١٠ مقسومًا على ٧٥، وبالتبسيط، فإن هذا يساوي ٢٠ مقسومًا على ثلاثة. بذلك نكون قد أوجدنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة لـ ﺱ أس أربعة ناقص ٦٢٥ الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص ١٢٥ ؛ تساوي ٢٠ مقسومًا على ثلاثة.