نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة المنحنى الذي يمر بالنقطة صفر، صفر، ولكل نقطة ﺱ، ﺹ على المنحنى، يكون ميل المماس عند تلك النقطة سالب ثلاثة ﺱ أس خمسة مضروبًا في الجذر التاسع لـ ﺱ أس ثمانية.
في هذا السؤال، لدينا دالة الميل أو ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس خمسة مضروبًا في الجذر التاسع لـ ﺱ أس ثمانية. نعلم أنه لإيجاد معادلة المنحنى، علينا حساب تكامل هذه الدالة. لكن قبل القيام بذلك، سنحاول تبسيط التعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ. لنبدأ بتذكر أحد قوانين الأسس. وهو ينص على أن الجذر النوني لـ ﺱ يساوي ﺱ أس واحد على ﻥ. وعليه، يمكننا إعادة كتابة الحد الثاني في التعبير على الصورة ﺱ أس ثمانية مرفوعًا للقوة تسع.
بعد ذلك، نتذكر قاعدة القوة للأسس. وهي تنص على أن ﺱ أس ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺏ. بضرب ثمانية في واحد على تسعة، يمكن تبسيط التعبير إلى سالب ثلاثة ﺱ أس خمسة مضروبًا في ﺱ أس ثمانية أتساع. وأخيرًا، نتذكر أن ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. إذن، علينا جمع الأسين خمسة وثمانية أتساع. وبما أنه يمكن إعادة كتابة العدد خمسة في صورة ٤٥ على تسعة، يصبح لدينا ٤٥ على تسعة زائد ثمانية على تسعة. وهذا يساوي ٥٣ على تسعة.
بذلك نكون قد بسطنا تعبير دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ إلى سالب ثلاثة ﺱ أس ٥٣ على تسعة. يمكننا الآن إيجاد تكامل هذا التعبير لإيجاد معادلة المنحنى. ﺹ يساوي تكامل سالب ثلاثة ﺱ أس ٥٣ على تسعة بالنسبة إلى ﺱ. تنص قاعدة القوة للتكامل على أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. بإضافة واحد أو تسعة أتساع إلى الأس، نحصل على ٦٢ على تسعة. ومن ثم، فإن ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ أس ٦٢ على تسعة مقسومًا على ٦٢ على تسعة زائد ﺙ. يمكن تبسيط ذلك بدوره إلى ﺹ يساوي سالب ٢٧ﺱ على تسعة الكل مقسوم على ٦٢ زائد ثابت التكامل ﺙ.
خطوتنا التالية هي إيجاد قيمة ثابت التكامل ﺙ. علمنا من رأس السؤال أن المنحنى يمر بنقطة الأصل، وهي النقطة ذات الإحداثيين صفر، صفر. بالتعويض عن ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا في المعادلة، نجد أن ﺙ يساوي صفرًا أيضًا. يمكننا إذن استنتاج أن معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي سالب ٢٧ﺱ٦٢ على تسعة مقسومًا على .
