نسخة الفيديو النصية
استخدم نظرية دي موافر لإيجاد القيمة الدقيقة للتكامل المحدد بين صفر و𝜋 على اثنين لـ جتا أس خمسة 𝜃 ﺩ𝜃.
تخبرنا نظرية دي موافر أن ﻫ أس 𝑖𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. والآن، يصبح لدينا نتيجة أخرى. لنفترض أن ﻉ يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، حينئذ ﻉ زائد واحد على ﻉ يساوي اثنين جتا 𝜃، وﻉ ناقص واحد على ﻉ يساوي اثنين ﺕ جا 𝜃. يمكننا أيضًا التعميم بشكل أكبر فنقول إن ﻉ أس ﻥ زائد واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين جتا ﻥ𝜃، بينما ﻉ أس ﻥ ناقص واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين ﺕ جا ﻥ𝜃. في الواقع، في هذا الفيديو، سنستخدم متطابقة: اثنان جتا ﻥ𝜃 فقط.
والآن، هيا نرجع إلى السؤال. نريد إيجاد قيمة التكامل المحدد لـ جتا أس خمسة 𝜃. نحن نعرف أن اثنين جتا 𝜃 يساوي ﻉ زائد واحد على ﻉ. ويمكننا رفع كلا طرفي هذه المعادلة للقوة خمسة. بتوزيع الخمسة على القوسين، نلاحظ أنه يمكننا كتابة ذلك على صورة: ٣٢ جتا أس خمسة 𝜃 يساوي ﻉ زائد واحد على ﻉ أس خمسة. سنوزع القوس الموجود في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. ولكي نفعل ذلك، هيا نتذكر نظرية ذات الحدين.
تنص هذه النظرية على أن ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ يساوي المجموع من ﻙ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﻙ في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻙ في ﺏ أس ﻙ. عندما يكون ﻥ مساويًا لخمسة، فإننا نحصل على ﺃ أس خمسة زائد خمسة توافيق واحد ﺃ أس أربعة ﺏ زائد خمسة توافيق اثنين ﺃ تكعيب ﺏ تربيع، وهكذا. لكن بالطبع، خمسة توافيق واحد يساوي خمسة. وخمسة توافيق اثنين يساوي ١٠. وخمسة توافيق ثلاثة يساوي ١٠ أيضًا. وخمسة توافيق أربعة يساوي خمسة.
هذا يعني أنه عند توزيع هذا القوس، سيكون الحد الأول هو ﻉ أس خمسة. وسيكون الحد الثاني هو خمسة في ﻉ أس أربعة في واحد على ﻉ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة ﻉ تكعيب. وسيكون الحد الثالث هو ١٠ﻉ تكعيب في واحد على ﻉ تربيع. حسنًا، هذا يعطينا ١٠ﻉ تكعيب في واحد على ﻉ تربيع. إذن، هذا يساوي ١٠ﻉ. لدينا بعد ذلك ١٠ﻉ تربيع في واحد على ﻉ تكعيب. وهذا يبسط إلى ١٠ في واحد على ﻉ. الحد الذي يسبق الحد الأخير مباشرة هو خمسة في ﻉ في واحد على ﻉ أس أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة في واحد على ﻉ تكعيب. أما الحد الأخير لدينا فهو واحد على ﻉ أس خمسة، وهو ما يساوي بالطبع واحدًا على ﻉ أس خمسة.
والآن، سنجمع الحدود التي فيها قوى ﻉ متماثلة. لدينا ﻉ أس خمسة زائد واحد على ﻉ أس خمسة. ثم لدينا خمسة ﻉ تكعيب زائد خمسة في واحد على ﻉ تكعيب، وهو ما يساوي خمسة في ﻉ تكعيب زائد واحد على ﻉ تكعيب. وأخيرًا، لدينا ١٠ﻉ زائد ١٠ في واحد على ﻉ. وبإخراج العامل المشترك ١٠، نحصل على ١٠ في ﻉ زائد واحد على ﻉ. هذه الخطوة مهمة جدًّا؛ لأنه يمكننا الآن العودة إلى إحدى المتطابقتين السابقتين. إنها تلك التي تخبرنا أن ﻉ أس ﻥ زائد واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين جتا ﻥ𝜃.
في المقدار الأول، ﻥ يساوي خمسة. لذلك، يمكننا كتابة هذا على صورة: اثنان جتا خمسة 𝜃. وفي هذا المقدار الثاني، ﻥ يساوي ثلاثة. ومن ثم يصبح لدينا: خمسة في اثنين جتا ثلاثة 𝜃. والآن، نجد أن ﻥ في هذا المقدار الثالث يساوي واحدًا، على الرغم من أن قيمته لا تتضح بشكل صريح. ومن ثم، نحصل على ١٠ في اثنين جتا 𝜃. لدينا الآن تقريبًا مقدار يعبر عن جتا أس خمسة 𝜃 بدلالة جيب تمام مضاعفات 𝜃. خطوتنا الأخيرة هي قسمة جميع الحدود على ٣٢. عند إجراء ذلك، سنلاحظ أن العامل اثنين سيحذف في كل حد. وبذلك، نجد أن جتا أس خمسة 𝜃 يساوي واحدًا على ١٦ في جتا خمسة 𝜃 زائد خمسة جتا ثلاثة 𝜃 زائد ١٠ جتا 𝜃.
نحن الآن مستعدون لإيجاد القيمة الدقيقة للتكامل المحدد بين صفر و𝜋 على اثنين لـ جتا أس خمسة 𝜃 ﺩ𝜃. هيا نعوض عن جتا أس خمسة 𝜃 بهذا المقدار الجديد. نلاحظ الآن أننا نريد إيجاد التكامل المحدد بين صفر و𝜋 على اثنين لواحد على ١٦ في جتا خمسة 𝜃 زائد خمسة جتا ثلاثة 𝜃 زائد ١٠ جتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. قبل أن نفعل ذلك، دعونا نخرج العامل المشترك واحدًا على ١٦. ومن ثم، نلاحظ أنه يمكننا التركيز فقط على إيجاد التكامل لكل حد على حدة. نعلم أن التكامل غير المحدد لـ جتا ﻥ𝜃؛ حيث ﻥ ثابت حقيقي بالنسبة إلى 𝜃، يساوي واحدًا على ﻥ في جا ﻥ𝜃 زائد ثابت التكامل ﺙ.
ونحن بالطبع نتعامل الآن مع تكامل محدد. لذا، سنوجد أولًا تكامل جتا خمسة 𝜃 ومن ثم نحصل على خمس جا خمسة 𝜃. لكننا لم نعد بحاجة إلى ثابت التكامل. بعد ذلك، عندما نوجد تكامل خمسة جتا ثلاثة 𝜃، سنحصل على خمسة في ثلث أو خمسة أثلاث جا ثلاثة 𝜃. وأخيرًا، سنوجد تكامل ١٠ جتا 𝜃 ونحصل على ١٠ جا 𝜃. إذن، لدينا واحد على ١٦ في خمس جا خمسة 𝜃 زائد خمسة أثلاث جا ثلاثة 𝜃 زائد ١٠ جا 𝜃. وعلينا إيجاد قيمة هذا بين صفر و𝜋 على اثنين. في الواقع، جا صفر يساوي صفرًا. وعليه، يصبح لدينا واحد على ١٦ في خمس جا 𝜋 خمسة على اثنين زائد خمسة أثلاث جا 𝜋 ثلاثة على اثنين زائد 𝜋 ١٠ جا على اثنين ناقص صفر.
والآن، نجد أن جا 𝜋 خمسة على اثنين يساوي واحدًا، وجا 𝜋 ثلاثة على اثنين يساوي سالب واحد، و𝜋 جا على اثنين يساوي واحدًا. وبهذا يصبح لدينا واحد على ١٦ في خمس ناقص خمسة أثلاث زائد ١٠. سنجمع هذه الكسور بإيجاد مقام مشترك. وفي هذه الحالة، يجب أن يكون المقام ١٥. إذن، سنضرب بسط الكسر خمس ومقامه في ثلاثة. وسنضرب بسط الكسر خمسة أثلاث ومقامه في خمسة. بعد ذلك، سنكتب ١٠ على صورة:١٠ على واحد. وسنضرب كلًّا من البسط والمقام في ١٥. من ثم، يصبح لدينا ثلاثة على ١٥ ناقص ٢٥ على ١٥ زائد ١٥٠ على ١٥. ومن ثم، نحصل على واحد على ١٦ في ١٢٨ على ١٥. ولكن يمكننا قسمة ١٢٨ على ١٦. عندئذ، نحصل على ثمانية. إذن، يبسط هذا الكسر إلى ثمانية على ١٥.
وبذلك نكون قد انتهينا. لقد استخدمنا نظرية دي موافر لإيجاد القيمة الدقيقة للتكامل المحدد بين صفر و𝜋 على اثنين لـ جتا أس خمسة 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. إنها تساوي ثمانية على ١٥.
