نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد إحداثيات نقطة في الفضاء الثلاثي الأبعاد. وسنحسب أيضًا المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي الأبعاد ثم نقطة المنتصف. سنبدأ باسترجاع ما نعرفه عن النقاط ونقاط المنتصف والمسافات في الفضاء الثنائي الأبعاد. مرسوم أمامنا المستوى الإحداثي ﺱﺹ الثنائي الأبعاد. أي نقطة تقع على هذا المستوى الإحداثي لها الإحداثيان ﺱ وﺹ. لننظر إلى النقطتين ﺃ وﺏ اللتين إحداثياتهما هي ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان، على الترتيب.
لإيجاد نقطة المنتصف للنقطتين ﺃ وﺏ، علينا إيجاد متوسط قيم الإحداثيين ﺱ وﺹ. الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف يساوي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين. والإحداثي ﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين. لحساب المسافة بين نقطتين تقعان على المستوى ﺱﺹ، نستخدم إحدى النسخ المعدلة لنظرية فيثاغورس. المسافة بين النقطة ﺃ والنقطة ﺏ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع. أي إننا نوجد أولًا الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺱ ثم نقوم بتربيع الناتج. بعد ذلك، نوجد الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺹ ثم نقوم بتربيع الناتج. بذلك يكون الجذر التربيعي لمجموع هاتين القيمتين هو المسافة بين النقطتين على المستوى ﺱﺹ.
سنتناول الآن كيفية تطبيق هاتين الصيغتين عند التعامل مع الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن رسم المستوى الثلاثي الأبعاد ﺱﺹﻉ بعدة طرق على سطح ثنائي الأبعاد. نحن نعلم أن أي نقطة ستتكون إحداثياتها من ﺱ وﺹ وﻉ. فعلى سبيل المثال، إحداثيات النقطتين الموضحتين هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان، ﻉ اثنان. يمكننا إيجاد نقطة المنتصف للنقطتين ﺃ وﺏ من خلال إيجاد متوسط قيم الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ. الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف يساوي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين. والإحداثي ﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين. والإحداثي ﻉ يساوي ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين على اثنين.
يمكننا استخدام صيغة المسافة بالطريقة نفسها. المسافة بين نقطتين ثلاثيتي الأبعاد تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد تربيع. إننا ببساطة نكرر العملية المستخدمة مع الإحداثيين ﺱ وﺹ، مع الإحداثي ﻉ أيضًا. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتطلب تحديد نقاط ثلاثية الأبعاد.
في أي من المستويات الإحداثية التالية تقع النقطة سالب سبعة، سالب ثمانية، صفر؟ هل هو (أ) المستوى ﺱﺹ، أم (ب) المستوى ﺱﻉ، أم (ج) المستوى ﺹﻉ؟
نحن نعلم أن إحداثيات أي نقطة ثلاثية الأبعاد هي ﺱ وﺹ وﻉ. في هذا السؤال، الإحداثي ﺱ يساوي سالب سبعة والإحداثي ﺹ يساوي سالب ثمانية والإحداثي ﻉ يساوي صفرًا. وبما أن الإحداثي ﻉ يساوي صفرًا، فلن تتحرك النقطة في اتجاه المحور ﻉ. إذن، يمكننا استنتاج أنه بما أن الإحداثي ﻉ يساوي صفرًا، ستقع النقطة على المستوى ﺱﺹ. أما إذا كانت قيمة الإحداثي ﺹ هي صفرًا وكانت قيمتا ﺱ وﻉ موجبتين أو سالبتين، فستقع النقطة على المستوى ﺱﻉ. وبطريقة مشابهة، تقع النقطة على المستوى ﺹﻉ إذا كانت إحداثياتها هي صفرًا، ﺹ، ﻉ، حيث ﺹ وﻉ قيمتان موجبتان أو سالبتان.
في السؤال التالي، علينا إيجاد إحداثيات نقطة ما بيانيًا.
حدد إحداثيات النقطة ﺃ.
إحداثيات أي نقطة تقع على مستوى ثلاثي الأبعاد هي ﺱ وﺹ وﻉ. يمكننا أن نلاحظ من الشكل الموضح أن الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ يساوي ثلاثة. والإحداثي ﺹ يساوي سالب ثلاثة. والإحداثي ﻉ يساوي ثلاثة. يمكننا إذن استنتاج أن إحداثيات النقطة ﺃ هي ثلاثة، سالب ثلاثة، ثلاثة. وإذا لم نتمكن من تحديد ذلك مباشرة على الشكل، فيمكننا البدء بالنظر إلى النقطة ﺏ التي تقع على المستوى ﺱﺹ الثنائي الأبعاد. الإحداثي ﺱ للنقطة ﺏ يساوي ثلاثة، والإحداثي ﺹ يساوي سالب ثلاثة. وبما أنها تقع على المستوى ﺱﺹ، فالإحداثي ﻉ لهذه النقطة يساوي صفرًا.
تقع النقطة ﺃ أعلى النقطة ﺏ مباشرة. وهذا يعني أن الإحداثيين ﺱ وﺹ متساويان. كل ما علينا إيجاده الآن هو المسافة المقطوعة على المحور ﻉ للانتقال من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺃ. وبما أن هذه المسافة تساوي ثلاثة، فالإحداثي ﻉ للنقطة ﺃ يساوي ثلاثة. إذن، هذا يؤكد أن إحداثيات النقطة ﺃ هي ثلاثة، سالب ثلاثة، ثلاثة.
في السؤال التالي، علينا إيجاد نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة.
إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ هي ثمانية، سالب ثمانية، سالب ١٢؛ وسالب ثمانية، خمسة، سالب ثمانية على الترتيب. أوجد إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ.
إننا نتذكر أنه لإيجاد نقطة المنتصف لنقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد، علينا إيجاد متوسط الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ. يمكننا البدء بجعل إحداثيات النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد؛ وإحداثيات النقطة ﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين. الإحداثي ﺱ لنقطة المنتصف يساوي ثمانية زائد سالب ثمانية على اثنين. ثمانية زائد سالب ثمانية يساوي صفرًا، وصفر على اثنين يساوي صفرًا. قيمتا الإحداثي ﺹ للنقطتين ﺃ وﺏ هما سالب ثمانية وخمسة. وهذا يعني أن الإحداثي ﺹ لنقطة المنتصف يساوي سالب ثمانية زائد خمسة على اثنين. هذا يساوي سالب ثلاثة على اثنين، وهو ما يمكننا كتابته في صورة سالب واحد ونصف أو سالب ١٫٥. سنترك الإجابة في صورة كسر بسطه أكبر من مقامه أو كسر غير فعلي.
الإحداثي ﻉ لنقطة المنتصف يساوي سالب ١٢ زائد سالب ثمانية على اثنين. سالب ١٢ زائد سالب ثمانية يساوي سالب ٢٠. وبقسمة ذلك على اثنين، نحصل على سالب ١٠. إذن، إحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺏ هي صفر، سالب ثلاثة على اثنين، سالب ١٠. يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة بالنظر إلى المسافات بين هذه القيم والقيم المناظرة لها في إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ. سنجد أن المسافة بين صفر وكل من ثمانية وسالب ثمانية تساوي ثمانية. والمسافة بين سالب ثلاثة على اثنين أو سالب ١٫٥ وكل من سالب ثمانية وخمسة تساوي ٦٫٥. وأخيرًا، المسافة بين سالب ١٠ وكل من سالب ١٢ وسالب ثمانية تساوي اثنين. هذا يؤكد أن نقطة المنتصف للنقطتين ﺃ وﺏ هي صفر، سالب ثلاثة على اثنين، سالب ١٠.
في السؤال التالي، علينا إيجاد المسافة بين نقطة وأحد المحاور.
ما المسافة بين النقطة ١٩، خمسة، خمسة؛ ومحور ﺱ؟
إحداثيات أي نقطة على المحور ﺱ هي ﺱ، صفر، صفر. حيث يجب أن تكون قيمة كل من الإحداثيين ﺹ وﻉ هي صفرًا. لدينا هنا إحداثيات النقطة ١٩، خمسة، خمسة. والنقطة الأقرب لها على المحور ﺱ إحداثياتها هي ١٩، صفر، صفر. أقصر مسافة ستكون للنقطة التي يكون فيها الإحداثي ﺱ مساويًا لنظيره في النقطة المعطاة. نحن نعلم أنه يمكننا حساب المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام إحدى النسخ المعدلة لنظرية فيثاغورس. إذا كانت لدينا نقطتان إحداثياتهما هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان، ﻉ اثنان؛ فالمسافة بينهما تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد تربيع.
وبالتعويض عن هذه الإحداثيات كلها، نحصل على الجذر التربيعي لـ ١٩ ناقص ١٩ تربيع زائد صفر ناقص خمسة تربيع زائد صفر ناقص خمسة تربيع. ١٩ ناقص ١٩ يساوي صفرًا. وصفر ناقص خمسة يساوي سالب خمسة. إذن، يتبقى لدينا الجذر التربيعي لسالب خمسة تربيع زائد سالب خمسة تربيع. عند ضرب عدد سالب في عدد سالب، يكون الناتج موجبًا. إذن، سالب خمسة تربيع يساوي ٢٥. هذا يعني أنه يمكن تبسيط الناتج إلى الجذر التربيعي لـ ٥٠.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا طرح الإحداثيات بالترتيب الآخر، حيث إن خمسة ناقص صفر تربيع يساوي ٢٥ أيضًا. وبما أن تربيع أي عدد يعطينا دائمًا قيمة موجبة، فلا يهم بأي ترتيب نطرح الإحداثيات. يمكننا تبسيط الإجابة باستخدام قوانين الجذور أو الجذور الصماء. الجذر التربيعي لـ ٥٠ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥ في الجذر التربيعي لاثنين. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٢٥ يساوي خمسة، يتبقى لدينا خمسة في الجذر التربيعي لاثنين أو خمسة جذر اثنين. الجذر التربيعي لـ ٥٠ يساوي خمسة جذر اثنين. إذن، يمكننا استنتاج أن المسافة بين النقطة ١٩، خمسة، خمسة؛ والمحور ﺱ، تساوي خمسة جذر اثنين من وحدات الطول.
قد نلاحظ أن لدينا هنا اختصارًا. لإيجاد المسافة بين أي نقطة وأحد المحاور، علينا ببساطة إيجاد مجموع مربعي قيمتي الإحداثيين الآخرين، ثم حساب الجذر التربيعي للناتج. وبما أننا نريد حساب المسافة بين نقطة والمحور ﺱ، نقوم بتربيع قيمتي الإحداثيين ﺹ وﻉ وإيجاد مجموعهما، ثم حساب الجذر التربيعي للناتج. أما إذا أردنا حساب المسافة بين نقطة والمحور ﺹ، فسنقوم بتربيع قيمتي الإحداثيين ﺱ وﻉ وإيجاد مجموعهما، ثم حساب الجذر التربيعي للناتج. وسنستخدم الطريقة نفسها أيضًا لإيجاد المسافة بين نقطة والمحور ﻉ، ولكن هذه المرة باستخدام الإحداثيين ﺱ وﺹ.
في السؤال الأخير، سنوجد المسافة بين نقطتين بمعلومية إحداثياتهما في فضاء ثلاثي الأبعاد.
أوجد المسافة بين النقطتين :ﺃ سالب سبعة، ١٢، ثلاثة؛ و:ﺏ سالب أربعة، سالب واحد، سالب ثمانية.
نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغة الآتية. المسافة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد تربيع. في هذا السؤال، سنجعل إحداثيات النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد؛ وإحداثيات النقطة ﺏ هي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على الجذر التربيعي لسالب أربعة ناقص سالب سبعة تربيع زائد سالب واحد ناقص ١٢ تربيع زائد سالب ثمانية ناقص ثلاثة تربيع.
سالب أربعة ناقص سالب سبعة هو نفسه سالب أربعة زائد سبعة. وهو ما يساوي ثلاثة. وسالب واحد ناقص ١٢ يساوي سالب ١٣. وأخيرًا، سالب ثمانية ناقص ثلاثة يساوي سالب ١١. نحن نعلم أن تربيع أي عدد سالب يعطينا ناتجًا موجبًا. وهذا يعني أن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وسالب ١٣ تربيع يساوي ١٦٩، وسالب ١١ تربيع يساوي ١٢١. ١٦٩ زائد ١٢١ يساوي ٢٩٠. وبإضافة تسعة إلى هذا الناتج، نحصل على ٢٩٩. إذن، يمكننا استنتاج أن المسافة بين النقطتين سالب سبعة، ١٢، ثلاثة؛ وسالب أربعة، سالب واحد، سالب ثمانية؛ تساوي الجذر التربيعي لـ ٢٩٩ وحدة طول.
سنلخص الآن النقاط الأساسية الواردة في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، عرفنا أن إحداثيات أي نقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد هي ﺱ وﺹ وﻉ. كما عرفنا أيضًا أنه إذا كان الإحداثي ﻉ يساوي صفرًا، فإن النقطة تقع على المستوى ﺱﺹ. وإذا كان الإحداثي ﺹ يساوي صفرًا، فإن النقطة تقع على المستوى ﺱﻉ. وبالطريقة نفسها، إذا كان الإحداثي ﺱ يساوي صفرًا، فإن النقطة تقع على المستوى ﺹﻉ. عرفنا أيضًا أنه إذا كان لنقطة إحداثيان مساويان لصفر، على سبيل المثال، إذا كان ﺹ يساوي صفرًا وﻉ يساوي صفرًا، فإن النقطة تقع على أحد المحاور، وهو المحور ﺱ في هذه الحالة.
وإذا كانا ﺱ وﺹ يساويان صفرًا، فإن النقطة تقع على المحور ﻉ. وبالطريقة نفسها، إذا كانا ﺱ وﻉ يساويان صفرًا، فإن النقطة تقع على المحور ﺹ. عرفنا أيضًا أن إحداثيات نقطة المنتصف للنقطتين ﺃ وﺏ هي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، وﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين، وﻉ واحد زائد ﻉ اثنين على اثنين. أي إننا نوجد متوسط قيم الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ.
عرفنا كذلك أنه يمكننا حساب المسافة بين هاتين النقطتين من خلال إيجاد الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد تربيع. تساعدنا هاتان الصيغتان في حل المسائل العملية التي تتضمن إحداثيات في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
