نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التكامل لإيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة. نتذكر أنه لأي قوة ثابتة ﻕ، تؤثر على جسم ما فينتقل بإزاحة ﻑ، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة ﺵ يساوي حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة. يمكن كتابة هذا على صورة: ﺵ يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه ﻕ في المتجه ﻑ. ويمكن كتابة هذا أيضًا على صورة: ﺵ يساوي ﻕ مضروبًا في ﻑ مضروبًا في جتا 𝜃؛ حيث ﻕ مقدار القوة، وﻑ مقدار الإزاحة، و𝜃 هي الزاوية المحصورة بين القوة المؤثرة على الجسم وإزاحته.
دعونا نتناول الآن ثلاث حالات مختلفة لذلك. أولًا: سنتناول ما يحدث عندما يكون ﻕ و𝜃 ثابتين. إذا كان مقدار القوة ثابتًا، والزاوية المحصورة بين القوة والإزاحة لا تتغير، فإن التمثيل البياني لـ ﻕ جتا 𝜃 في مقابل ﻑ سيبدو كالشكل الموضح. تظل قيمة ﻕ جتا 𝜃 ثابتة على طول المسار الذي يتخذه الجسم. والشغل المبذول بواسطة القوة يساوي المساحة الموجودة أسفل الخط. وبما أن هذه المساحة مستطيلة الشكل، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة يساوي الطول مضروبًا في العرض. وهذا يساوي ﻑ مضروبًا في ﻕ جتا 𝜃. ويمكن حساب هذه المساحة أيضًا لمناطق مختلفة من التمثيل البياني، على سبيل المثال، بين النقطتينﺃ وﺏ على المحور الأفقي.
والآن دعونا نفكر فيما يحدث إذا كانت ﻕ تتغير أثناء حركة الجسم. على سبيل المثال، إذا تزايدت ﻕ حتى تصل إلى قيمة ثابتة، فإن التمثيل البياني لـ ﻕ جتا 𝜃 في مقابل ﻑ يمكن أن يبدو بهذا الشكل. والآن لإيجاد المساحة الموجودة أسفل الخط؛ أي الشغل المبذول، علينا تقسيم المساحة إلى منطقتين. لدينا شبه منحرف ومستطيل. الشغل المبذول يساوي مجموع مساحتي شبه المنحرف والمستطيل.
وأخيرًا، دعونا نلق نظرة على ما يحدث إذا وصفت القوة ﻕ بأنها دالة متصلة. سيتعين علينا الآن استخدام التكامل لإيجاد المساحة الموجودة أسفل المنحنى؛ ومن ثم الشغل المبذول. بافتراض أن القوة دالة بدلالة ﻑ، فإن الشغل المبذول يساوي تكامل ﻕ جتا 𝜃 بالنسبة إلى ﻑ. إذا كانت القوة والإزاحة في الاتجاه نفسه، فإن 𝜃 يساوي صفرًا. ونحن نعرف أن جتا صفر يساوي واحدًا. هذا يعني أنه يمكن تبسيط الصيغة التي لدينا إلى: ﺵ يساوي تكامل ﻕ بالنسبة إلى ﻑ. هذا يمكننا من إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة مؤثرة على جسم بينما يتحرك الجسم في مسار مواز للقوة. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي تتطلب حساب الشغل المبذول من خلال التكامل بين الحدينﺃ وﺏ.
جسم يتحرك على المحور ﺱ تحت تأثير القوة ﻕ. إذا كانت ﻕ تساوي ثمانية ﻑ زائد ١٢ نيوتن؛ حيث ﻑ متر إزاحة الجسم من نقطة الأصل، فأوجد الشغل المبذول بواسطة القوة ﻕ على الجسم عندما يتحرك من ﻑ يساوي سبعة أمتار إلى ﻑ يساوي ثمانية أمتار.
في هذا السؤال، تؤثر قوة متغيرة على الجسم. وتقع كل من حركة الجسم والقوة المؤثرة عليه على طول المحور ﺱ. يمكننا إذن حساب الشغل المبذول باستخدام الصيغة: ﺵ يساوي تكامل ﻕ بالنسبة إلى ﻑ. نعرف من المعطيات أن القوة ﻕ تساوي ثمانية ﻑ زائد ١٢. وهذا يعني أنه لحساب مقدار الشغل المبذول، علينا حساب تكامل هذا التعبير بالنسبة إلى ﻑ. بما أن علينا حساب الشغل المبذول بين ﻑ يساوي سبعة أمتار وﻑ يساوي ثمانية أمتار، فإن الحد السفلي يساوي سبعة، والحد العلوي يساوي ثمانية. تكامل ثمانية ﻑ يعطينا ثمانية ﻑ تربيع على اثنين، وهو ما يبسط إلى أربعة ﻑ تربيع. وتكامل ١٢ بالنسبة إلى ﻑ يساوي ١٢ﻑ. إذن الشغل المبذول يساوي أربعة ﻑ تربيع زائد ١٢ﻑ.
الخطوة التالية هي التعويض بالحدين. عند ﻑ يساوي ثمانية، فإن ﺵ يساوي ٣٥٢. وعند ﻑ يساوي سبعة، فإن ﺵ يساوي ٢٨٠. إذن الشغل المبذول خلال هذه المسافة يساوي ٣٥٢ ناقص ٢٨٠. وهذا يساوي ٧٢. وبما أن القوة ﻕ مقيسة بوحدة نيوتن والإزاحة ﻑ مقيسة بالمتر، فإن قيمة الشغل المبذول ستكون بوحدة نيوتن متر. ونحن نعلم أنها تكافئ وحدة جول. وعليه فإن الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة ﻕ عندما يتحرك الجسم من ﻑ يساوي سبعة أمتار إلى ﻑ يساوي ثمانية أمتار، يساوي ٧٢ جول.
في المثال الآتي، يتضمن التعبير عن القوة دالة مثلثية.
يتحرك جسيم في خط مستقيم تحت تأثير القوة ﻕ؛ حيث ﻕ يساوي جا 𝜋ﻑ، ويقاس ﻑ بالمتر. احسب الشغل المبذول بواسطة القوة ﻕ عندما يتحرك الجسيم من ﻑ يساوي صفرًا إلى ﻑ يساوي نصفًا.
في هذا السؤال، تؤثر قوة متغيرة على جسيم. وحركة الجسيم والقوة المؤثرة عليه كلتاهما في بعد واحد. يمكننا إذن حساب الشغل المبذول بواسطة القوة باستخدام الصيغة: ﺵ يساوي تكامل ﻕ بالنسبة إلى ﻑ. يخبرنا السؤال أن القوة ﻕ تساوي جا 𝜋ﻑ. وعليه، فإن الشغل المبذول يساوي تكامل هذا بالنسبة إلى ﻑ. ويتعين علينا حساب هذا بين ﻑ يساوي صفرًا وﻑ يساوي نصفًا. إذن هذان هما الحدان السفلي والعلوي.
نتذكر أن تكامل جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ مضروبًا في جتا ﺃﺱ. هذا يعني أن تكامل التعبير لدينا يصبح سالب واحد على 𝜋 مضروبًا في جتا 𝜋ﻑ. الخطوة التالية هي التعويض بالحدين اللذين لدينا. عند ﻑ يساوي نصفًا، يكون لدينا سالب واحد على 𝜋 مضروبًا في جتا 𝜋 على اثنين. وجتا 𝜋 على اثنين راديان أو ٩٠ درجة يساوي صفرًا. هذا يعني أنه عند ﻑ يساوي نصفًا، فإن الشغل المبذول يساوي صفرًا. عند ﻑ يساوي صفرًا، يكون لدينا سالب واحد على 𝜋 مضروبًا في جتا صفر. وبما أن جتا صفر يساوي واحدًا، يتبقى لدينا سالب واحد على 𝜋.
إذن الشغل المبذول بين الحدين يساوي صفرًا ناقص سالب واحد على 𝜋. وهذا يبسط إلى واحد على 𝜋. وعندما تقاس القوة بوحدة نيوتن والإزاحة بوحدة متر، فإن الشغل المبذول يقاس بوحدة نيوتن متر أو جول. يمكننا إذن استنتاج أن الشغل المبذول بواسطة القوة ﻕ يساوي واحدًا على 𝜋 جول.
في المثال الأخير، سنحسب الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة تتضمن ثابتًا مجهولًا.
تحرك جسم في خط مستقيم تحت تأثير القوة ﻕ تساوي ١٢ﻑ تربيع زائد ستة ﻑ زائد ﺙ نيوتن؛ حيث ﻑ متر هي إزاحة الجسم من نقطة البداية. الشغل الذي بذلته القوة لتحريك الجسم من ﻑ يساوي صفرًا متر إلى ﻑ يساوي ثلاثة أمتار يساوي ٣٤ جول. أوجد الشغل الذي بذلته القوة ﻕ لتحريك الجسم من ﻑ يساوي ثلاثة أمتار إلى ﻑ يساوي ستة أمتار.
بما أن لدينا قوة تؤثر على جسم يتحرك في خط مستقيم، يمكننا استخدام الصيغة: ﺵ يساوي تكامل ﻕ بالنسبة إلى ﻑ لحساب الشغل المبذول بواسطة القوة. في هذا السؤال، نعرف أن القوة ﻕ تساوي ١٢ﻑ تربيع زائد ستة ﻑ زائد ﺙ نيوتن. وعليه فإن الشغل المبذول يساوي تكامل ذلك بالنسبة إلى ﻑ. وبتكامل كل حد بالنسبة إلى ﻑ، نحصل على أربعة ﻑ تكعيب زائد ثلاثة ﻑ تربيع زائد ﺙﻑ. نعرف من المعطيات أن الشغل المبذول بواسطة القوة لتحريك الجسم من ﻑ يساوي صفر متر إلى ﻑ يساوي ثلاثة أمتار يساوي ٣٤ جول. يمكننا إذن التعويض بهاتين القيمتين، كما هو موضح؛ حيث سيمكننا هذا من حساب الثابت ﺙ.
عند ﻑ يساوي ثلاثة، يصبح الطرف الأيسر من المعادلة ١٣٥ زائد ثلاثة ﺙ. وعند ﻑ يساوي صفرًا، فإن هذا التعبير يساوي صفرًا. هذا يعني أن ٣٤ يساوي ١٣٥ زائد ثلاثة ﺙ. بطرح ١٣٥ من كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ثلاثة ﺙ يساوي سالب ١٠١. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على ثلاثة؛ حيث ﺙ يساوي سالب ١٠١ على ثلاثة. وبالتعويض بهذا في التعبير الدال على الشغل المبذول، نحصل على ﺵ يساوي أربعة ﻑ تكعيب زائد ثلاثة ﻑ تربيع ناقص ١٠١ على ثلاثة ﻑ.
وبما أن علينا حساب الشغل المبذول بواسطة ﻕ من ﻑ يساوي ثلاثة إلى ﻑ يساوي ستة، يمكننا التعويض بهذه القيم في التعبير الذي لدينا. عند ﻑ يساوي ستة، فإن ﺵ يساوي ٧٧٠، وعند ﻑ يساوي ثلاثة، فإن ﺵ يساوي ٣٤. إذن الشغل المبذول من ﻑ يساوي ثلاثة أمتار إلى ﻑ يساوي ستة أمتار يساوي ٧٧٠ ناقص ٣٤، وهو ما يساوي ٧٣٦. إذن الإجابة النهائية هي ٧٣٦ جول.
سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام التكامل لإيجاد الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة متغيرة. يعطى الشغل المبذول بواسطة قوة على جسم عندما يتحرك الجسم في مسار مواز للقوة بالعلاقة: ﺵ يساوي تكامل ﻕ دﻑ؛ حيث ﺵ هو الشغل المبذول، وﻕ هو مقدار القوة التي تؤثر على الجسم، ودﻑ هو القطعة المستقيمة المتناهية الصغر من المسار.
