فيديو السؤال: إيجاد مساحة المنطقة المحددة بدالتين مثلثيتين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ، وﺹ يساوي اثنين قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ الواقعة بين سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة و‏𝜋‏ على ثلاثة.

في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد مساحة منطقة محددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ، وﺹ يساوي اثنين قا تربيع ﺱ، وبين الخطين الرأسيين ﺱ يساوي سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة وﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة. عندما يطلب منا إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيين، علينا دائمًا أن نرسم شكلًا؛ لأن ذلك سيساعدنا على تحديد أسهل طريقة لإيجاد هذه المساحة.

قبل أن نبدأ برسم المنحنيين، يجب ملاحظة أن قيم ﺱ ستتراوح بين سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة و‏𝜋‏ على ثلاثة. إذن، علينا فقط رسم هذين المنحنيين لهذه القيم لـ ﺱ. دعونا نبدأ إذن برسم ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ بين ﺱ يساوي سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة و‏𝜋‏ على ثلاثة. يمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن هذا هو المنحنى ﺹ يساوي جتا ﺱ وقد تمدد بمعامل مقداره ١٦ في الاتجاه الرأسي. إذن هذا مجرد تمدد رأسي لدالة جيب التمام. ويبدو تمثيله البياني كما يلي.

على المحورين نفسيهما، علينا رسم المنحنى ﺹ يساوي اثنين قا تربيع ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن هذا سيكون تمددًا رأسيًّا بمعامل مقداره اثنان لمربع دالة القاطع. لكن تذكر أننا نرسم هذا على المحورين نفسيهما اللذين رسمنا عليهما المنحنى ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ. لذا، علينا التأكد من أننا نرسم بقياسات صحيحة. إحدى طرق فعل ذلك هي افتراض بعض النقاط على التمثيل البياني. أولًا: يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمنحنى ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ عن طريق التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة. ‏جتا صفر يساوي واحدًا، إذن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي ١٦. يمكننا بعد ذلك إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ للمنحنى الآخر. وهنا، سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا لنحصل على اثنين قا تربيع صفر. ‏قا صفر يساوي واحدًا، إذن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي اثنين.

ومن ثم، يمكننا إضافة هذه النقطة إلى الشكل. والآن، نحن مستعدون تقريبًا لرسم المنحنى. نعرف شكل هذه الدالة. لكن سيكون من المفيد إيجاد طرفي هذا المنحنى. سنفعل ذلك بالتعويض عن ﺱ بسالب ‏𝜋‏ على ثلاثة و‏𝜋‏ على ثلاثة في الدالة. يمكننا التعويض بالقيمتين في الوقت نفسه بملاحظتنا أن دالة القاطع دالة زوجية. إذن، اثنان قا تربيع سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي اثنين قا تربيع ‏𝜋‏ على ثلاثة. سنعيد كتابة هذه المعادلة بعد التعويض عن قا ‏𝜋‏ على ثلاثة بواحد على جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة. بذلك نحصل على اثنين مقسومًا على جتا تربيع ‏𝜋‏ على ثلاثة.

بعد ذلك، جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي نصفًا. إذن، نحصل على اثنين مقسومًا على نصف تربيع، ما يساوي ثمانية. لكن في هذه المرحلة يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. نلاحظ أن دالة جيب التمام أيضًا دالة زوجية. و١٦جتا موجب أو سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي ثمانية. إذن، الإحداثيان ﺹ لطرفي المنحنى ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ يساويان ثمانية. ومن ثم، تتقابل أطراف المنحنيين، وهو ما يعطينا الشكل التالي. يمكننا الآن تظليل المنطقة التي علينا تحديد مساحتها. نلاحظ الآن أن هذه المنطقة يحدها من الأعلى المنحنى ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ، ومن الأسفل المنحنى ﺹ يساوي اثنين قا تربيع ﺱ. وهي محددة بين الخطين الرأسيين ﺱ يساوي سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة، وﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة.

لعلنا نتذكر أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للتكامل ﺩ وﺭ؛ حيث ﺩﺱ أكبر من أو تساوي ﺭﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن المساحة بين المنحنيين ﺹ يساوي ﺩﺱ وﺹ يساوي ﺭﺱ، والمستقيمين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ تعطى بالتكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن هذا ينطبق على المنطقة التي علينا إيجاد مساحتها. ‏ﺩﺱ هي الدالة العليا، ١٦ جتا ﺱ. وﺭﺱ هي الدالة السفلى، اثنان قا تربيع ﺱ. وﺃ هو الحد السفلي لـ ﺱ، سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة. وﺏ هو الحد العلوي لـ ﺱ، ‏𝜋‏ على ثلاثة.

وأخيرًا، جدير بالذكر أيضًا أننا نعرف أن الدالتين لدينا قابلتان للتكامل؛ لأنهما متصلتان على هذه الفترة. إذن، بالتعويض بهذه المعلومات في التكامل، نجد أن مساحة المنطقة المظللة تساوي التكامل من سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة إلى ‏𝜋‏ على ثلاثة لـ ١٦ جتا ﺱ ناقص اثنين قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. والآن، علينا إيجاد قيمة هذا التكامل. يمكننا فعل ذلك حدًّا حدًّا بتذكر نتيجتين للتكامل.

أولًا: نتذكر أن تكامل جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي جا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. ثانيًا: نتذكر أن تكامل قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ظا ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. في هذه الحالة، نتعامل مع تكاملات محددة؛ لذا لا نحتاج إلى تضمين ثوابت التكامل. ومن ثم، فإن ١٦ جا ﺱ مشتقة عكسية لـ ١٦ جتا ﺱ، وسالب اثنين ظا ﺱ مشتقة عكسية لسالب اثنين قا تربيع ﺱ. هذا يعطينا ١٦ جا ﺱ ناقص اثنين ظا ﺱ عند حدي التكامل ﺱ يساوي سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة، وﺱ يساوي ‏𝜋‏ على ثلاثة.

علينا الآن إيجاد فرق المشتقة العكسية عند حدي التكامل. وهذا يساوي ١٦ جا ‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص اثنين ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص ١٦جا سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص اثنين ظا سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة. ويمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار في هذه المرحلة. لكن يمكننا تبسيط ذلك إذا لاحظنا أن دالتي الجيب والظل دالتان فرديتان. لذا، فإن جا سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي سالب واحد في جا ‏𝜋‏ على ثلاثة. وبالمثل، ظا سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي سالب واحد مضروبًا في ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة.

إذا وزعنا بعد ذلك السالب على ما بداخل القوسين، فسنجد أن لدينا حدًّا آخر قيمته موجب ١٦ جا ‏𝜋‏ على ثلاثة، وحدًّا آخر يساوي سالب اثنين ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة. إذن، هذا المقدار يساوي ٣٢ جا ‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص أربعة ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة. والآن يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار بتذكر أولًا أن جا ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، ٣٢ جا ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين مضروبًا في ٣٢. يمكننا حذف العامل المشترك اثنين في البسط والمقام لنحصل على ١٦ جذر ثلاثة. وبالمثل، يمكننا تذكر أن ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة. إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في سالب أربعة، فسنحصل على سالب أربعة ظا ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي سالب أربعة جذر ثلاثة. يمكننا بعد ذلك التعويض بهاتين القيمتين في المقدار.

سنفرغ أولًا بعض المساحة هنا. بعد ذلك، سنعوض بهذين المقدارين. فنحصل على ١٦ جذر ثلاثة ناقص أربعة جذر ثلاثة، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على ١٢ جذر ثلاثة، وهو الإجابة النهائية. وجدير بالذكر أن هذا يمثل مساحة؛ لذا يمكننا القول إن الناتج يساوي ١٢ جذر ثلاثة وحدة مربعة. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن مساحة المنطقة المحددة بين المنحنيين ﺹ يساوي ١٦ جتا ﺱ وﺹ يساوي اثنين قا تربيع ﺱ بالنسبة إلى ﺱ الواقعة بين سالب ‏𝜋‏ على ثلاثة و‏𝜋‏ على ثلاثة تساوي ١٢ جذر ثلاثة.