فيديو الدرس: المقذوفات الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول المقذوفات. وتحديدًا سنحلل خواص حركة المقذوفات وكذلك القوى المؤثرة عليها. لكي نفهم المقذوفات، علينا أن نبدأ أولًا بتعريف المصطلح.

المقذوف هو جسم تؤثر عليه قوة الجاذبية فقط. وقد تكون هناك قوة خارجية أثرت على الجسم وجعلته يتحرك. يمكن أن تسقط المقذوفات أو تلقى أو ترمى، أو يمكن أن يؤثر عليها أي فعل آخر يجعلها تبدأ بالحركة. ولكن بمجرد أن تصبح في الهواء، تكون القوة الوحيدة المؤثرة عليها هي قوة الجاذبية. على أرض الواقع يتعرض المقذوف لقوة مقاومة ناتجة عن مقاومة الهواء. ولكن لغرض تبسيط الدرس سنتجاهل أي قوى تقاوم حركة المقذوف.

بما أن القوة الوحيدة المؤثرة على المقذوف هي قوة الجاذبية، فسيتحرك الجسم بعجلة ثابتة، وهي عجلة الجاذبية ونرمز لها بحرف ‪𝑔‬‏ صغير. لنتعمق أكثر في تفاصيل حركة المقذوفات عبر النظر إلى عملة معدنية تسقط من يد. لنرسم أربعة مواضع للعملة المعدنية أثناء سقوطها؛ لنتمكن من فهم ما يحدث لحركة العملة أثناء سقوطها بصورة أفضل.

في الموضع واحد عندما يترك الشخص العملة، تجذب قوة الجاذبية العملة لأسفل، الأمر الذي يجعل العملة تبدأ بالتحرك لأسفل وتكتسب العملة سرعة متجهة لأسفل ‪𝑣‬‏. في فترة زمنية لاحقة ‪𝑡‬‏، تصل العملة إلى الموضع اثنين. تواصل قوة الجاذبية جذب العملة لأسفل في اتجاه حركتها نفسه، الأمر الذي يتسبب في زيادة السرعة المتجهة للعملة لأسفل. يعني هذا أن العملة أصبحت تسقط عند الموضع اثنين بسرعة أكبر مما كانت عند الموضع واحد.

بعد فترة زمنية أخرى ‪𝑡‬‏ تصبح العملة في الموضع ثلاثة. تواصل قوة الجاذبية جذب العملة لأسفل أثناء سقوطها؛ ما يزيد أكثر من السرعة المتجهة للعملة لأسفل. يعني هذا أن العملة أصبحت تسقط عند الموضع ثلاثة بسرعة أكبر مما كانت عليه عند الموضع اثنين والموضع واحد. بعد مرور فترة زمنية أخرى ‪𝑡‬‏ تصبح العملة في الموضع أربعة حيث توشك على الاصطدام بالأرض. ما تزال قوة الجاذبية تجذب العملة لأسفل أثناء سقوطها؛ الأمر الذي يتسبب في استمرار زيادة السرعة المتجهة لأسفل. يعني هذا أن العملة أصبحت الآن تتحرك بأقصى سرعة وصلت إليها خلال رحلة سقوطها بالكامل.

أثناء سقوط العملة من الموضع واحد إلى الموضع أربعة، تزداد سرعتها المتجهة بمعدل ثابت. يرجع هذا، كما لاحظنا من قبل، إلى أن المقذوف يتحرك بعجلة ثابتة ‪𝑔‬‏. كما نلاحظ أيضًا أن المسافة التي تقطعها العملة خلال كل فترة زمنية ‪𝑡‬‏ تزداد أثناء سقوط العملة.

لنتعمق أكثر في تحليلنا ونرسم بعضًا من منحنيات الحركة لأحد المقذوفات. سنضيف القليل من التعقيد عبر إلقاء كرة في الهواء لأعلى بسرعة متجهة ‪𝑣‬‏ بدلًا من إسقاط عملة معدنية. ولكننا لم نضف أي حركة أفقية بعد. لنرسم المواضع الأربعة مرة أخرى للكرة وهي في طريقها لأعلى ثم وهي في طريقها لأسفل.

مثلما كان الحال مع العملة المعدنية، نحدد كل موضع بعد مرور فترة زمنية ‪𝑡‬‏. يمكننا أن نلاحظ أنه خلال صعودها لأعلى، تقطع الكرة مسافة أقل خلال الفترة الزمنية نفسها، الأمر الذي يعني أنها تتباطأ. إذا رسمنا أسهمًا تمثل السرعة المتجهة، سنلاحظ أنها تصبح أقل أثناء الانتقال من الموضع واحد إلى الموضع أربعة. عند الموضع واحد أكسبنا الكرة سرعة متجهة ‪𝑣‬‏. وعند الموضع أربعة، عندما تصل الكرة إلى أعلى نقطة في مسارها، لا يكون لها أي سرعة متجهة؛ لأن الكرة تتوقف للحظة قبل أن تسقط مجددًا لأسفل.

تبطئ الكرة من سرعتها أثناء صعودها لأعلى لأن قوة الجاذبية تجذبها لأسفل عند كل من المواضع الموضحة. عندما تكون القوة والسرعة المتجهة في اتجاهين متعاكسين، تتباطأ حركة الجسم. حتى عندما تتوقف الكرة للحظة عند الموضع أربعة، فإنها تظل تحت تأثير قوة الجاذبية نفسها التي تؤثر عليها عند المواضع الثلاثة الأخرى. وبذلك تظل لها عجلة ثابتة لأسفل ‪𝑔‬‏. ويتسبب هذا في أن تبدأ الكرة في السقوط لأسفل مرة أخرى بسرعة متزايدة؛ حيث إن قوة الجاذبية أصبحت الآن في اتجاه واحد مع الحركة.

بعد كل فترة زمنية ‪𝑡‬‏ سيكون مقدار السرعة المتجهة للكرة مساويًا لمقدار السرعة المتجهة التي كانت تتحرك بها أثناء ارتفاعها عند الموضع نفسه، ولكن سيكون اتجاهها الآن لأسفل. عندما تصل الكرة إلى موضع البداية، ستكون سرعتها المتجهة سالب ‪𝑣‬‏. لنرسم منحنى للسرعة المتجهة مقابل الزمن والسرعة مقابل الزمن لحركة الكرة في الهواء. سيبدو منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن بهذا الشكل، وذلك بفرض أن اتجاه السرعة المتجهة الموجبة لأعلى واتجاه السرعة المتجهة السالبة لأسفل نحو الأرض.

علينا أن ندرك أن ميل الخط ثابت وأن قيمة الميل تساوي عجلة الجاذبية الأرضية، أو سالب ‪𝑔‬‏؛ حيث تدل الإشارة السالبة على أن الاتجاه لأسفل. يمكننا إضافة مواضع الكرة التي رسمناها على جانب الشاشة إلى المنحنى. الموضع واحد عندما بدأنا بقذف الجسم وحيث يتحرك الجسم بأعلى قيمة للسرعة المتجهة ‪𝑣‬‏. والموضع واحد أيضًا هو حيث تعود الكرة مرة أخرى إلى موضع البداية ويكون لها مقدار السرعة المتجهة الابتدائية نفسه ولكن في الاتجاه المعاكس لتساوي سالب ‪𝑣‬‏.

عند الموضع اثنين يكون مقدار السرعة المتجهة أقل وتكون ذات قيمة موجبة أثناء الارتفاع لأعلى وقيمة سالبة أثناء السقوط لأسفل مرة أخرى. عند الموضع ثلاثة قلت السرعة المتجهة للكرة بدرجة أكبر، وتكون لها كذلك قيمة موجبة وقيمة سالبة تمثلان الاتجاه لأعلى ولأسفل على الترتيب. تتوقف الكرة مؤقتًا عند الموضع أربعة، أعلى نقطة من المسار كما يتضح من المنحنى عندما يقطع محور الزمن.

عند الانتقال من منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن إلى منحنى السرعة مقابل الزمن، يبدو منحنى السرعة كمنحنى قيمة مطلقة لمنحنى السرعة المتجهة. يرجع هذا إلى أن السرعة هي مقدار السرعة المتجهة وتكون قيمتها موجبة دائمًا، بينما يكون للسرعة المتجهة اتجاهًا أيضًا، لذا يمكن أن تكون سالبة.

برسم المواضع الأربعة على منحنى السرعة مقابل الزمن، يمكننا أن نلاحظ أن السرعة عند كل من المواضع في الاتجاه لأعلى هي نفسها السرعة عند كل من المواضع في الاتجاه لأسفل. برسم منحنى العجلة مقابل الزمن نلاحظ أن حركة الكرة تمثل بمنحنى العجلة مقابل الزمن، وهو عبارة عن خط أفقي عند سالب ‪𝑔‬‏. يعني هذا أن الكرة تتحرك بعجلة ثابتة قيمتها سالب ‪𝑔‬‏، والتي تطابق ميل منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن.

علينا أن نراعي أننا اخترنا أن تكون القيمة الموجبة في الاتجاه لأعلى والقيمة السالبة في الاتجاه لأسفل، ويعني هذا أن اتجاه العجلة لأسفل نحو الأرض. عندما نتحدث عن الحركة، علينا أن نضع في الاعتبار أيضًا الإزاحة والمسافة. لنرسم إذن هذين المنحنيين الممثلين لهما.

في منحنى الإزاحة مقابل الزمن، نبدأ بسرعة متجهة كبيرة أي ميل شديد الانحدار. ثم نبطئ حتى نصل إلى القمة، حيث نتوقف للحظة. ثم نبدأ بالعودة لأسفل في اتجاه موضع البدء. بالنظر إلى ميل المنحنى أثناء الاتجاه لأسفل، نجد أن السرعة المتجهة تزداد مع زيادة انحدار الميل مع اقترابنا من محور الزمن أو الأرض.

بإدراج المواضع التي رسمناها على جانب الشاشة في المنحنى، يمكننا أن نلاحظ تماثل حركة الكرة لأعلى مع حركتها لأسفل. عند كل موضع يكون ارتفاع الكرة أثناء ارتفاعها لأعلى هو نفسه أثناء سقوطها لأسفل مرة أخرى. وتكون الإزاحة موجبة دائمًا لأننا نتحرك دائمًا في موضع أعلى من حيث بدأنا. حتى وإن سقطت الكرة مرة أخرى لأسفل، فستظل دائمًا في موضع أعلى من موضع إطلاقها.

قد يكون هذا المنحنى مربكًا لأنه يبدو مشابهًا للمسار الذي تتخذه الكرة عندما نلعب لعبة التقاط الكرة مع أحد الأصدقاء. ولكن علينا أن نتذكر أننا ألقينا الكرة في الهواء لأعلى وأنها سقطت مرة أخرى لأسفل. وعلينا أن ننتبه لأن هذا ليس المسار الفعلي الذي يسلكه الجسم، بل هو تمثيل بياني لمكان وجود الكرة خلال حركتها لأعلى وأسفل.

النصف الأول من منحنى المسافة مقابل الزمن يطابق النصف الأول من منحنى الإزاحة مقابل الزمن، حيث كانت الكرة تتحرك لأعلى. عندما تتوقف الكرة للحظة عند قمة مسارها وتبدأ في التحرك لأسفل، يستمر منحنى المسافة مقابل الزمن في الزيادة. هذا لأن المسافة ليس لها اتجاه. ومن ثم نضيف المسافات الإضافية كقيم موجبة.

في منحنى الإزاحة مقابل الزمن ومنحنى المسافة مقابل الزمن، يبدأ الميل الابتدائي حادًّا ثم تقل حدته بالتدريج مع انخفاض السرعة المتجهة. بعد الوصول إلى نقطة المنتصف، يصبح الميل المسطح حادًّا مرة أخرى مع زيادة سرعة الكرة قبل الوصول إلى موضع البداية.

والآن، بعدما حللنا مقذوفًا يتحرك في اتجاه رأسي فقط، يمكننا أن نضيف خطوة تزيد من التعقيد قليلًا عبر تحليل مقذوف تتضمن حركته مركبة أفقية أيضًا. لنلق نظرة على منحنيات الحركة لقذيفة مدفع تطلق من مدفع أفقيًّا.

إذا أطلقنا قذيفة المدفع أفقيًّا بسرعة متجهة ‪𝑣‬‏، بفرض عدم وجود مقاومة من الهواء، فعلينا أن نتذكر أن القوة الوحيدة المؤثرة على قذيفة المدفع بعد إطلاقها هي قوة الجاذبية. هذه القوة ستجذب القذيفة إلى أسفل عند كل من المواضع الموضحة. إن اتجاه قوة الجاذبية رأسي. لذا سيكون تأثيرها على المركبة الرأسية للسرعة المتجهة لقذيفة المدفع هو نفسه في المثال السابق.

لن يكون لقوة الجاذبية أي تأثير على المركبة الأفقية للسرعة المتجهة لقذيفة المدفع حيث إنهما متعامدتان؛ أي إن قوة الجاذبية تصنع زاوية قياسها 90 درجة مع المركبة الأفقية للسرعة المتجهة. وبما أنه لا توجد أي قوة محصلة تؤثر على القذيفة في الاتجاه الأفقي بعد إطلاقها من المدفع، يمكننا أن نقول إن المركبة الأفقية للسرعة المتجهة للقذيفة ستكون ‪𝑣‬‏ في كل من المواضع الموضحة من واحد إلى أربعة. أو يمكننا أن نقول إن مركبة السرعة المتجهة للقذيفة في الاتجاه الأفقي ثابتة.

تماثل الحركة الرأسية لقذيفة المدفع حركة الكرة إلى أسفل في المسألة السابقة؛ حيث تساوي المركبة الرأسية للسرعة المتجهة الابتدائية للقذيفة صفرًا. لذا عندما نرسم منحنى الحركة، سنركز على المركبة الأفقية للحركة. منحنيا السرعة المتجهة مقابل الزمن والسرعة مقابل الزمن للمركبة الأفقية للسرعة المتجهة للقذيفة سيكونان على هذا الشكل.

ضع في اعتبارك أننا اخترنا أن يكون الاتجاه الموجب جهة اليمين والاتجاه السالب جهة اليسار عندما نتحدث عن الحركة الأفقية. بالنظر إلى منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن، نرى أن لدينا خطًّا أفقيًّا من القيمة ‪𝑣‬‏ في الاتجاه الموجب أو في اتجاه اليمين. لاحظ أن ميل الخط يساوي صفرًا؛ ما يعني أن عجلة القذيفة في الاتجاه الأفقي تساوي صفرًا أيضًا، الأمر الذي يمكننا ربطه بحقيقة أنه لا توجد قوة محصلة تؤثر على القذيفة في الاتجاه الأفقي.

يطابق منحنى السرعة منحنى السرعة المتجهة حيث يحتوي على خط أفقي بقيمة تساوي ‪𝑣‬‏، حيث إن المركبة الأفقية للسرعة المتجهة تكون في اتجاه واحد فقط، إلى اليمين. برسم منحنى العجلة مقابل الزمن، نحصل على خط أفقي بقيمة تساوي صفرًا؛ الأمر الذي يشير إلى أن العجلة في الاتجاه الأفقي للقذيفة تساوي صفرًا. كما وضحنا سابقًا في منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن، حيث كان الميل يساوي صفرًا.

بالانتقال إلى منحنيي الإزاحة مقابل الزمن والمسافة مقابل الزمن، سنلاحظ أن منحنيي الإزاحة مقابل الزمن والمسافة مقابل الزمن متطابقان؛ حيث إن المقذوف يتحرك في اتجاه واحد فقط أفقيًّا إلى اليمين. كما لاحظنا من قبل تكون السرعة المتجهة ثابتة في الاتجاه الأفقي؛ الأمر الذي يعني أن ميل منحنى الإزاحة مقابل الزمن، الذي تصادف أن يكون مساويًا للسرعة المتجهة، سيكون ثابتًا أيضًا.

والآن لنتحدث عن أكثر أنواع المقذوفات تعقيدًا، الذي يطلق بزاوية لا تساوي صفرًا أو 90 درجة مع الأفقي. إذا ركلنا كرة قدم بحيث ترتفع عن الأرض بسرعة متجهة ‪𝑣‬‏ بزاوية 30 درجة تقريبًا أعلى الأفقي، فستتحرك في مسار يشبه هذا. تمثل الأسهم الزرقاء اتجاه السرعة المتجهة لكرة القدم عند المواضع الخمسة الموضحة.

عند الموضعين واحد وخمسة يكون لكرة القدم سرعة متجهة ‪𝑣‬‏ تصنع زاوية قياسها 30 درجة مع الأفقي. ولكن عند الموضع واحد تكون الزاوية إلى الأعلى وإلى اليمين، وعند الموضع خمسة تكون الزاوية إلى الأسفل وإلى اليمين. عند رسم أسهم لتمثيل المركبة الرأسية للسرعة المتجهة لكرة القدم، يمكننا أن نلاحظ أنها تطابق الأسهم التي رسمناها مع الكرة التي قذفناها في الهواء إلى أعلى في خط مستقيم. عندما كانت ترتفع لأعلى، كانت الأسهم تصغر؛ ما يدل على أن كرة القدم تتباطأ حتى تصل إلى قمة مسارها عند الموضع ثلاثة حيث لا يكون هناك أي مركبة رأسية لسرعتها المتجهة. وأثناء هبوطها تزداد السرعة المتجهة؛ ما يعني أنها تتسارع أثناء هبوطها نحو الأرض.

نقول مرة أخرى إن هذا يرجع إلى جذب قوة الجاذبية للجسم إلى أسفل نحو الأرض عند كل من المواضع الموضحة. أثناء الصعود لأعلى يكون اتجاه السرعة المتجهة لكرة القدم إلى أعلى، ولكن تجذبها القوة إلى أسفل؛ ما يجعلها تتباطأ. أثناء الهبوط لأسفل تكون قوة الجاذبية في اتجاه السرعة المتجهة؛ ما يجعلها تتسارع. تطابق المركبة الأفقية للسرعة المتجهة لكرة القدم المركبة الأفقية للسرعة المتجهة لقذيفة المدفع من المسألة السابقة. ويرجع هذا إلى عدم وجود قوة أفقية تؤثر على كرة القدم بعد ركلها. لذا يمكننا القول إن المركبة الأفقية للسرعة المتجهة ثابتة. هذا هو أكثر أنواع المقذوفات تعقيدًا؛ لأنه يجمع بين المسألتين اللتين حللناهما سابقًا.

هناك اعتقاد شائع خاطئ يعود إلى عصر الإغريق، ينص على أن الكرة ستتحرك في خط قطري مستقيم لتصل إلى أعلى موضع ممكن لها، ثم تسقط في خط مستقيم في اتجاه الأرض، كما هو موضح باللون الأسود. ولكن هذا ليس صحيحًا. كما أثبتنا سابقًا تكتسب كرة القدم مركبة أفقية ابتدائية للسرعة المتجهة عندما تركل. لذا عندما تصل إلى الموضع الأعلى، عند الموضع ثلاثة، ستظل الكرة تتحرك في اتجاه اليمين بالمركبة الأفقية للسرعة المتجهة نفسها.

لنتناول الآن سؤالًا كمثال.

جسم بدأ يتحرك بتأثير قوة ابتدائية ‪𝐹‬‏ تؤثر عليه في اتجاه قطري إلى أعلى، كما يظهر في المنحنى. يخضع الجسم لحركة المقذوفات. أي التمثيلات البيانية (أ) و(ب) و(ج) و(د) يوضح التغيرات في الإزاحة الأفقية للجسم فيما بين مغادرته للأرض وعودته إليها؟

في الشكل، هناك قوة تؤثر على الجسم بزاوية تقترب من 90 درجة. ثم يستمر الشكل في عرض المسار الذي اتخذه الجسم الذي يعد مقذوفًا، حيث ارتفع إلى أعلى نقطة ثم هبط عائدًا إلى الأرض. أعطيت لنا خيارات الإجابة على أنها منحنيات الإزاحة الأفقية مقابل الزمن. يظهر المنحنى (أ) كمنحنى على شكل حرف ‪𝑠‬‏، والمنحنى (ب) كمنحنى على شكل حرف ‪𝑠‬‏، والمنحنى (ج) على شكل خط قطري، والمنحنى (د) على شكل خط أفقي.

عرفنا من معطيات المسألة أن الجسم يتحرك حركة مقذوفات. المقذوف هو جسم تؤثر عليه قوة الجاذبية فقط. لذا يمكننا أن نرسم قوة الجاذبية المؤثرة على الجسم في الشكل. تسألنا المسألة عن الإزاحة الأفقية. تؤثر القوة ‪𝐹‬‏ لحظيًّا قبل بداية الحركة لترفعه في الهواء. وبانتهاء تأثير ‪𝐹‬‏، تكون القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم لبقية الفترة الزمنية التي يقضيها في الهواء هي قوة الجاذبية، التي تؤثر على الجسم في الاتجاه الرأسي. يعني هذا أنه يمكننا القول إن القوة المحصلة التي تؤثر أفقيًّا تساوي صفرًا.

لكي نختار المنحنى الصحيح الممثل للإزاحة الأفقية مقابل الزمن، علينا أن نكتشف العلاقة بين القوة والحركة. سيذكرنا هذا بقانون نيوتن الثاني، أو القوة المحصلة ‪𝐹 net‬‏ تساوي ‪𝑚𝑎‬‏. القوة المحصلة التي تؤثر على جسم تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في العجلة التي يتحرك بها. ذكرنا من قبل أن القوة المحصلة المؤثرة أفقيًّا على الجسم بمجرد أن يصبح في الهواء تساوي صفرًا. إذن إذا كانت القوة المحصلة المؤثرة في الاتجاه الأفقي تساوي صفرًا، فإن هذا يعني أن العجلة في الاتجاه الأفقي يجب أن تساوي صفرًا أيضًا.

لنتذكر أن العجلة تعرف بأنها التغير في السرعة المتجهة، أو ‪𝛥𝑣‬‏، مقسومًا على التغير في الزمن، أو ‪𝛥𝑡‬‏. ولكن العجلة هنا تساوي صفرًا، الأمر الذي يعني أنه لا يوجد تغير في المركبة الأفقية للسرعة المتجهة للمقذوف أثناء وجوده في الهواء. أو بعبارة أخرى، مركبة السرعة المتجهة في الاتجاه الأفقي ثابتة.

بالعودة إلى منحنيات الحركة، سنتذكر أن ميل منحنى الإزاحة مقابل الزمن هو السرعة المتجهة. لذا إذا كانت السرعة المتجهة ثابتة، فسيعني هذا أنه علينا أن نبحث عن منحنى إزاحة أفقية مقابل زمن ذي ميل ثابت. بالنظر إلى خيارات الحل، يمكننا حذف الخيارين (أ) و(ب) حيث إنهما لا يحتويان على منحنيين ثابتين. كذلك يمكننا حذف الخيار (د). على الرغم من أنه يحتوي على منحنى ثابت، فميل المنحنى يساوي صفرًا لأنه خط أفقي؛ الأمر الذي قد يعني أنه لا توجد مركبة أفقية للسرعة المتجهة. ولكن كما لاحظنا في الشكل، هناك مركبة أفقية للسرعة المتجهة للكرة حيث ينتهي بها الحال في موضع على يمين الموضع الذي بدأت منه الحركة.

لذا يمكننا أن نقول إن التمثيل البياني (ج) هو الإجابة الصحيحة. التمثيل البياني الذي يمثل الإزاحة الأفقية للجسم خلال الفترة ما بين ارتفاعه عن الأرض والعودة إليها هو التمثيل البياني (ج).

تلخيصًا للدرس نقول إن المقذوف هو جسم تؤثر عليه قوة الجاذبية فقط. المركبة الأفقية للسرعة المتجهة تكون ثابتة دون وجود أي مركبة أفقية للعجلة. العجلة الوحيدة المؤثرة هي عجلة الجاذبية، التي تؤثر في الاتجاه الرأسي لتغير السرعة المتجهة الرأسية للجسم.