نسخة الفيديو النصية
أوجد الحدود الثلاثة المتتالية في متتابعة هندسية، علمًا بأن مجموع الحدود سالب ١٤، وحاصل ضربها ٢١٦.
أولًا، علينا تذكر معنى المتتابعة الهندسية، والتي تسمى أحيانًا المتتالية الهندسية. في المتتابعة الهندسية، نوجد كل حد بعد الحد الأول بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية). إذا افترضنا أن الحد الأول ﺃ والنسبة المشتركة ﺭ، فسيمكننا كتابة الحدود المتتالية على هذه الصورة. الحد الأول سيكون ﺃ. والحد الثاني سيكون ﺃ في ﺭ؛ لأنه في المتتالية نوجد الحد التالي بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة. أما الحد الثالث فسيكون ﺃﺭ، أي الحد الثاني، مضروبًا في ﺭ مرة أخرى. ويمكننا تبسيط ذلك إلى ﺃﺭ تربيع.
يمكننا استخدام هذه المعلومات لتكوين معادلتين. نعلم أن مجموع هذه القيم سالب ١٤. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن ﺃ زائد ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع يساوي سالب ١٤. بما أن هذه الحدود الثلاثة تشترك في المتغير ﺃ، يمكننا إخراجه كعامل مشترك، ليصبح لدينا ﺃ في واحد زائد ﺭ زائد ﺭ تربيع يساوي سالب ١٤. سنعيد ترتيب هذه المعادلة بحيث يأتي الحد ﺭ تربيع أولًا والحد الثابت في النهاية. وذلك لأن هذه هي الصورة الأكثر شيوعًا في هذا النوع من المعادلات.
لم نغير أي قيم. كل ما فعلناه هو إعادة ترتيب حدود المعادلة. وهو كل ما يمكننا فعله الآن بمعادلة المجموع. نعلم أن حاصل ضرب هذه الحدود الثلاثة يساوي ٢١٦، وهو ما يعني أن ﺃ في ﺃﺭ في ﺃﺭ تربيع يساوي ٢١٦. ولأن لدينا هنا عملية ضرب، يمكننا ضرب ﺃ في ﺃ في ﺃ، وهو ما يعطينا ﺃ تكعيب. وهذا لأننا نتعامل مع ﺃ أس واحد. وﺃ أس واحد في نفسه في نفسه مرة أخرى، يساوي ﺃ تكعيب.
لدينا أيضًا ﺭ في ﺭ تربيع. ويعني هذا ضرب ﺭ أس واحد في ﺭ تربيع، وهو ما يساوي ﺭ تكعيب. ﺃ تكعيب في ﺭ تكعيب يساوي ٢١٦. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ﺃﺭ تكعيب يساوي ٢١٦. وبعد ذلك يمكننا أخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة. الجذر التكعيبي لـ ﺃﺭ تكعيب هو ﺃﺭ. والجذر التكعيبي لـ ٢١٦ هو ستة. إذا كان ﺃ في ﺭ يساوي ستة؛ فهذا يعني أننا وجدنا الحد الثاني.
لكننا لا نعرف معلومات كافية لإيجاد الحد الأول أو الثالث. ما نريد فعله هو معرفة ما إذا كان لدينا شيء يمكننا التعويض به في المعادلة الأولى. يمكننا التعويض عن ﺃ بدلالة ﺭ. أو يمكننا التعويض عن ﺭ بدلالة ﺃ. لنفعل ذلك، سنستخدم التعبير ﺃ في ﺭ يساوي ستة. إذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على ﺭ، فيمكننا القول إن ﺃ يساوي ستة على ﺭ. أما إذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على ﺃ، فيمكننا القول إن ﺭ يساوي ستة مقسومًا على ﺃ.
ويمكننا الآن إجراء بعض عمليات التعويض. إذا عوضنا عن ﺃ بستة على ﺭ، فسنحصل على المعادلة ستة على ﺭ في ﺭ تربيع زائد ﺭ زائد واحد يساوي سالب ١٤. وإذا عوضنا عن ﺃ بستة، فسنحصل على ﺃ في ستة على ﺃ تربيع زائد ستة على ﺃ زائد واحد يساوي سالب ١٤. تساعدنا كلتا هاتين المعادلتين على إيجاد الإجابة النهائية. لكن العمليات الحسابية للخيار الأول ستكون أبسط قليلًا. لذا هيا نستخدمه.
لدينا الآن ﺭ في المقام. إذا ضربنا طرفي المعادلة في ﺭ على واحد، فسنحذف ﺭ من البسط والمقام في الطرف الأيمن. وسيصبح لدينا ستة في ﺭ تربيع زائد ﺭ زائد واحد يساوي سالب ١٤ﺭ. علينا الآن توزيع العدد ستة على القوس. يصبح لدينا ستة ﺭ تربيع زائد ستة ﺭ زائد ستة يساوي سالب ١٤ﺭ.
إذا أردنا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺭ، فعلينا مساواتها بصفر. وهذا يعني أن علينا إضافة ١٤ﺭ إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا ستة ﺭ تربيع زائد ٢٠ﺭ زائد ستة يساوي صفرًا. نلاحظ أن جميع المعاملات قابلة للقسمة على اثنين، وهو ما يعني أنه يمكننا قسمة المعادلة كلها على اثنين أو ضربها في نصف. يصبح لدينا ثلاثة ﺭ تربيع زائد ١٠ﺭ زائد ثلاثة يساوي صفرًا.
علينا أن نحاول تحليل هذه المعادلة. عند التعامل مع تحليل معادلات، عادة ما نتعامل مع ﺱ تربيع. لكن الخطوات لن تتغير عندما يكون المتغير لدينا هو ﺭ. بما أن ثلاثة عدد أولي، نعرف أنه سيكون لدينا ثلاثة ﺭ في أحد الطرفين، وﺭ في الطرف الآخر؛ لأن هذين هما العاملان الوحيدان للثلاثة. وينطبق الأمر نفسه على المعامل ثلاثة. إذن، نعرف أننا سنتعامل مع ثلاثة وواحد.
علينا أن نجعل هذا الحد الأوسط يساوي ١٠ﺭ. نضرب الحدين الخارجيين، ثلاثة ﺭ في ثلاثة، يساوي تسعة ﺭ. وكذلك الحدان الآخران مضروبان معًا يساويان واحد ﺭ، وواحد ﺭ زائد تسعة ﺭ يساوي ١٠ﺭ. جميع القيم موجبة. إذن، لدينا ثلاثة ﺭ زائد واحد في واحد ﺭ زائد ثلاثة. نساوي هاتين المعادلتين بالصفر. في معادلة القوس الأيسر، نطرح ثلاثة من كلا الطرفين. ونجد أنه عند ﺭ يساوي سالب ثلاثة، تساوي المعادلة صفرًا.
في القوس الأيمن علينا إجراء خطوتين. أولًا، نطرح واحدًا من كلا الطرفين. وبعدها نقسم كلا الطرفين على ثلاثة. إذن، ﺭ يساوي أيضًا سالب ثلث. لكن ماذا سنفعل بهذه المعلومات؟ حسنًا، نعلم أن ﺃ في ﺭ يساوي ستة. وقيمة ﺭ ستكون إما سالب ثلاثة أو سالب ثلث.
لنفكر في الحالة الأولى أولًا، عندما يساوي ﺭ سالب ثلاثة. لإيجاد قيمة ﺃ عندما يساوي ﺭ سالب ثلاثة، نقسم طرفي المعادلة على سالب ثلاثة. ستة مقسومًا على سالب ثلاثة يساوي سالب اثنين. إذن، نقول إنه عندما يساوي ﺭ سالب ثلاثة، ﺃ سيساوي سالب اثنين. وﺃﺭ يساوي ستة. وهذان هما أول حدين. والحد الثالث سيساوي سالب اثنين في سالب ثلاثة تربيع. سالب ثلاثة تربيع يساوي تسعة، مضروبًا في سالب اثنين، يساوي سالب ١٨.
هيا نتناول الآن الحالة التي يكون فيها ﺭ يساوي سالب ثلث. لإيجاد قيمة ﺃ عندما يساوي ﺭ سالب ثلث، نضرب كلا طرفي المعادلة في سالب ثلاثة، وهو ما يعني أن ﺃ يساوي ستة في سالب ثلاثة. إذن، ﺃ يساوي سالب ١٨.
تذكر أننا الآن نتناول الحالة التي يكون فيها ﺭ يساوي سالب ثلث. ونحن نعلم بالفعل أن الحد الأوسط ﺃﺭ يجب أن يساوي ستة. وعندما يساوي ﺭ سالب ثلث، سيكون الحد الأول سالب ١٨. والحد الثالث ﺃ في ﺭ تربيع، وهو ما يساوي سالب ١٨ في سالب ثلث تربيع. سالب ثلث تربيع يساوي واحدًا على تسعة. إذن، سالب ١٨ في واحد على تسعة يساوي سالب اثنين.
وهنا يصبح الأمر شيقًا جدًّا. لدينا سالب اثنين، ستة، سالب ١٨ أو سالب ١٨، ستة، سالب اثنين. قبل أن نكمل، يجب التحقق من أننا حسبنا كل القيم بطريقة صحيحة، وأن المعلومتين اللتين بدأنا بهما تتحققان بهذه القيم. سالب اثنين زائد ستة زائد سالب ١٨ يساوي سالب ١٤ بالفعل. ولأننا نعلم أن الجمع عملية إبدالية، فإن سالب ١٨ زائد ستة زائد سالب اثنين يساوي سالب ١٤ أيضًا. وبالطريقة نفسها، سالب اثنين في ستة في سالب ١٨ يساوي ٢١٦. ولن يتغير ذلك إذا غيرنا الترتيب. فبضرب هذه القيم الثلاث، نحصل على ٢١٦ أيضًا. بما أن السؤال لم يطلب سوى الحدود المتتالية، فإن سالب اثنين، ستة، سالب ١٨، أو سالب ١٨، ستة، سالب اثنين إجابة صحيحة.
