نسخة الفيديو النصية
إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﺱ، سالب ١٩ والمتجه ﺏ يساوي سالب ١٩، ﺹ، وكان المتجه ﺃ يوازي المتجه ﺏ، فأوجد العلاقة بين ﺱ وﺹ.
في هذا السؤال، لدينا متجهان؛ هما المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. ولدينا بعض المعطيات عن المتجهين ﺃ وﺏ. على سبيل المثال، نعلم أن ﺃ وﺏ متوازيان. ويشار إلى ذلك بالخطين الرأسيين بين المتجهين في السؤال. علينا استخدام كل هذه المعطيات لإيجاد العلاقة بين ﺱ وﺹ؛ حيث ﺱ وﺹ معطيان على أنهما مركبتان للمتجهين ﺃ وﺏ، على الترتيب.
لنفعل ذلك، هيا نبدأ بتذكر ما نعنيه عند قولنا: إن متجهين متوازيان. يكون المتجهان متوازيين إذا كانا يشيران إلى الاتجاه نفسه أو إلى اتجاهين متضادين تمامًا. بالنسبة لمتجهين هما ﻉ وﻕ، هذا يماثل تمامًا قولنا: إن لدينا كمية قياسية ثابتة ﻙ لا تساوي صفرًا؛ حيث ﻉ يساوي ﻙ في ﻕ. بعبارة أخرى: يجب أن يكون كل متجه مضاعفًا قياسيًّا لا يساوي صفرًا للمتجه الآخر.
وبما أننا نعلم من السؤال أن المتجه ﺃ والمتجه ﺏ متوازيان، فإننا نعرف أن ﺃ يساوي ﻙ في ﺏ، حيث الكمية الثابتة القياسية ﻙ لا تساوي صفرًا. لدينا أيضًا في المعطيات مركبات ﺃ وﺏ. لذا، يمكننا كتابتها في المعادلة. بكتابة المتجهين ﺃ وﺏ بدلالة مركباتهما، نجد أن المتجه ﺱ، سالب ١٩ يجب أن يساوي ﻙ في المتجه سالب ١٩، ﺹ.
الآن تذكر أنه عندما نضرب متجهًا في كمية قياسية، فإننا نضربها في كل مركبة من مركباته. بعبارة أخرى: علينا ضرب كل مركبة من مركبتي المتجه في ﻙ. بضرب كل مركبة من مركبتي المتجه ﺏ في ﻙ، نحصل على المتجه ﺱ، سالب ١٩ يساوي المتجه سالب ١٩ﻙ، ﻙﺹ. إذن، لكي يكون المتجهان ﺃ وﺏ متوازيين، يجب أن يكونا متساويين.
يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة ﻙ. تذكر أنه لكي يتساوى متجهان لا بد من أن يكون لهما عدد المركبات نفسه، وأن تتساوى المركبات المتناظرة في كل منهما. إذن لكي يتساوى هذان المتجهان، يجب أن تكون مركباتهما الأفقية متساوية، ويجب أن تكون مركباتهما الرأسية متساوية. بمساواة كل منهما معًا، نحصل على معادلتين صحيحتين وهما: ﺱ يساوي سالب ١٩ﻙ، وسالب ١٩ يساوي ﻙ في ﺹ.
يمكننا إعادة ترتيب هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة ﻙ. بقسمة طرفي المعادلة الأولى على سالب ١٩، نحصل على ﻙ يساوي سالب ﺱ على ١٩. وبقسمة طرفي المعادلة الثانية على ﺹ، نجد أن ﻙ يجب أن يساوي سالب ١٩ على ﺹ.
قبل المتابعة، ثمة أمر واحد تجدر الإشارة إليه هنا. نحن نعرف أن قيمة ﺹ وقيمة ﺱ لا يمكن أن تساويا صفرًا. وذلك لأنه إذا كان ﺱ يساوي صفرًا، فلن يشير المتجه ﺃ إلا للاتجاه الرأسي. ولن يكون له أي مركبات أفقية، ومن ثم لا يمكن أن يكون موازيًا للمتجه ﺏ. والشيء نفسه ينطبق في حالة إذا كان ﺹ يساوي صفرًا. إذن ﺱ وﺹ كلاهما لا يساوي صفرًا. لذا لا داعي للقلق بشأن قسمة الطرفين على ﺹ.
الآن نلاحظ أن لدينا معادلتين للثابت ﻙ. وبما أن هذين المقدارين يساويان ﻙ، فيمكننا أن نساويهما معًا. بعبارة أخرى: سالب ﺱ على ١٩ يساوي ﻙ، وسالب ١٩ على ﺹ يساوي أيضًا ﻙ. إذن هذان المقداران متساويان. وهذه في الواقع تمثل علاقة بين ﺱ وﺹ. لكن يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. يمكننا ضرب الطرفين في سالب ﺹ، ويمكننا أيضًا ضرب الطرفين في ١٩. عند القيام بذلك والتبسيط، نحصل على المعادلة ﺱ في ﺹ يجب أن يساوي ٣٦١، وهذه هي الإجابة النهائية.
وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﺱ، سالب ١٩ والمتجه ﺏ يساوي سالب ١٩، ﺹ متوازيين؛ إذن يجب أن يكون ﺱ في ﺹ مساويًا لـ ٣٦١.
