فيديو الدرس: الإجهاد والانفعال ومعامل المرونة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سندرس الإجهاد والانفعال ومعامل المرونة. سنتعلم معنى هذه المصطلحات، والعلاقة بينها، وكيف تصف المواد الصلبة القابلة للتشوه.

في البداية، تخيل أنك تتدرب على تعلم كيفية المشي على حبل مشدود. وهذا الحبل مصنوع من مادة مرنة إلى حد ما. ونظرًا لأنك تتوقع أن تسقط عدة مرات قبل أن تتقن المشي عليه، تريد أن تربط الحبل بالقرب من الأرض قدر الإمكان حتى يكون السقوط من أقل ارتفاع ممكن. كما تعلم أنه عندما تقف على الحبل، فإن وزنك سيمدده قليلًا. وترغب في تحديد أقل ارتفاع يمكن أن تربط عنده طرفي الحبل بالدعائم؛ بحيث تظل مرتفعًا عن الأرض عندما تكون عند منتصف الحبل. ولمعرفة ذلك، سيكون من المفيد أن تتعرف على مفهوم الإجهاد والانفعال ومعامل المرونة. وهذه المصطلحات الثلاثة مرتبطة بالتشوه أو تغير شكل الأجسام الصلبة.

الإجهاد هو الضغط الذي يؤثر على مقطع عرضي، ويقاس بوحدات القوة لكل وحدة مساحة. عندما نمشي معتمدين على عصا المشي ونضغط عليها أثناء المشي، أو عندما نضغط على مفتاح في لوحة المفاتيح في جهاز الكمبيوتر لدينا، أو عندما نشد حبلًا في لعبة شد الحبل، فنحن نبذل نوعًا من الإجهاد. من منظور هندسي أو رياضي، فإننا نرمز إلى الإجهاد باستخدام الحرف اليوناني 𝜎. ورغم أننا نستخدم أحيانًا مصطلحي الانفعال والإجهاد على نحو متبادل في لغتنا اليومية، فإن الانفعال يختلف عن الإجهاد.

وذلك لأن الانفعال هو قياس مدى تشوه جسم صلب، أو تغير شكله نتيجة للإجهاد. على سبيل المثال، عندما نمشي معتمدين على عصا المشي، يؤدي الإجهاد الذي نؤثر به على العصا إلى انضغاطها بالفعل بمقدار بسيط. ويمثل هذا الانضغاط البسيط لطول العصا الإجهاد المؤثر عليها. أو في حالة لعبة شد الحبل، يتمدد الحبل قليلًا نتيجة للإجهاد الناتج عن شدنا للحبل من كلا الطرفين. ويمثل هذا التمدد الانفعال. بمصطلحات هندسية يمكن أن نقول إذن إن الإجهاد يسبب الانفعال. ويمكننا كتابة الانفعال في صورة معادلة باستخدام الحرف اليوناني 𝜀 للتعبير عنه. والانفعال يساوي التغير في طول الجسم مقسومًا على طوله الأصلي؛ 𝐿 صفر. وبذلك، فالإجهاد هو ضغط يؤثر على قطاع عرضي لمادة ما. والانفعال هو مقدار التغير في شكل المادة نتيجة للإجهاد.

ويمكننا الجمع بين هذين المصطلحين في مصطلح ثالث يسمى معامل المرونة. وهو يمثل إحدى خصائص المادة. معامل المرونة، الذي يسمى أيضًا معامل يونج، هو نسبة الإجهاد المؤثر على جسم ما إلى الانفعال الناتج في هذا الجسم أو التشوه الحاصل فيه. وباستخدام الرموز، يمكننا كتابته في صورة 𝜎؛ الإجهاد، مقسومًا على 𝜀؛ الانفعال. وكما ذكرنا سابقًا، معامل المرونة يمثل إحدى خصائص المادة. وبالتالي، هناك معامل مرونة للألومنيوم، وكذلك للنايلون والتفلون، وهكذا. معامل مرونة المادة يكون عاليًا جدًا إذا تطلب تغيير شكلها أو تشويهها بمقدار ضئيل إجهادًا أو ضغطًا كبيرًا. على الجانب الآخر، إذا أدى التأثير بإجهاد صغير جدًا إلى حدوث تغير كبير في شكل مادة ما أو طولها، فمن المتوقع أن يكون معامل مرونتها منخفضًا نسبيًا.

بمعلومية ذلك، إذا أردنا المقارنة بين معامل مرونة الصلب ومعامل مرونة المطاط، فأيهما أكبر في اعتقادك؟ في حالة الصلب، يتطلب الأمر التأثير بقدر كبير للغاية من الإجهاد أو الضغط لإحداث تغير ضئيل جدًا في شكله. بينما قد يحتاج المطاط إلى قدر أقل بكثير من الإجهاد لإحداث نفس الانفعال. وبالانسياق وراء حدسنا، يمكن أن نتوقع أن معامل مرونة الصلب أعلى من معامل مرونة المطاط. هناك شيء أخير بشأن معامل المرونة، فإذا نظرنا إلى معادلة الانفعال، والذي يمثل تغيرًا في طول بالنسبة لطول، ندرك أن الانفعال ليس له وحدة قياس. ويعني هذا أن معامل المرونة 𝐸 سيأخذ وحدة قياس الإجهاد 𝜎، حيث إن 𝜀؛ الانفعال، ليس له وحدة قياس. وبالتالي، فإن معامل يونج أو معامل المرونة لمادة يتحدد بوحدة قياس الضغط؛ القوة لكل وحدة مساحة أو باسكال. لنتدرب على هذه الأفكار الجديدة من خلال بعض الأمثلة.

ينقطع حبل منتظم مساحة مقطعه العرضي تساوي 0.600 سنتيمتر مربع عندما يصل إجهاد الشد فيه إلى 7.2 في 10 أس ستة نيوتن لكل متر مربع. ما أقصى حمل يمكن رفعه ببطء بسرعة ثابتة بواسطة هذا الحبل؟ ما أقصى حمل يمكن رفعه بواسطة الحبل بعجلة مقدارها 4.0 أمتار لكل ثانية تربيع؟

في هذه المسألة المكونة من شقين، نريد أن نوجد أولًا أقصى حمل يمكن رفعه بالحبل بسرعة ثابتة. سنسمي هذا 𝐿𝑠. وبعد ذلك، نريد أن نوجد أقصى حمل يمكن رفعه بالحبل عندما يتحرك الحمل لأعلى بعجلة 4.0 أمتار لكل ثانية تربيع. سنسمي هذا الحمل 𝐿𝑎. في هذا السيناريو، لدينا وزن نرمز له بالرمز 𝑊، والذي يرفع في البداية بسرعة ثابتة باستخدام الحبل. وبمعلومية أقصى إجهاد شد يمكن أن يتحمله الحبل قبل أن ينقطع، نريد أن نوجد أقصى حمل؛ 𝐿𝑠. وإذا اخترنا أن يكون الاتجاه لأعلى اتجاهًا موجبًا وحددنا القوى المؤثرة على الوزن 𝑊، يمكننا أن نكتب أن قوة الشد التي ينتجها الحبل تساوي أقصى حمل؛ 𝐿𝑠، يمكن رفعه بسرعة ثابتة. وقوة الشد 𝑇 هذه تساوي أقصى إجهاد يمكن أن يتحمله الحبل مضروبًا في مساحة المقطع العرضي للحبل.

وعندما نعوض بهاتين القيمتين، يجب أن نتأكد أن مساحة المقطع العرضي 𝐴 بوحدة المتر المربع. وذلك حتى تتفق مع وحدة قياس الإجهاد، وهي نيوتن لكل متر مربع. نلاحظ أنه عندما نضرب هذه الأعداد، فإننا نحصل على ناتج بوحدة النيوتن. وبهذا، نجد أن 𝐿𝑠 يساوي 430 نيوتن، مقربًا لأقرب رقمين معنويين. وهذا هو أقصى حمل يمكن أن يرفعه هذا الحبل بسرعة ثابتة دون أن ينقطع.

بعد ذلك، نتخيل أن السيناريو الذي معنا قد تغير قليلًا، فبدلًا من رفع الوزن بسرعة ثابتة، يتحرك الوزن لأعلى بعجلة مقدارها 4.0 أمتار لكل ثانية تربيع. ووفقًا لهذه الظروف الجديدة، نريد أن نوجد أقصى حمل يمكن أن يرفعه هذا الحبل. وعندما نكتب القوى المؤثرة على 𝑊 الآن، نجد مرة أخرى أنها قوة الشد 𝑇 التي ينتجها الحبل. ونطرح من ذلك وزن الحمل؛ 𝐿𝑎. حيث كان هذا الفرق من قبل يساوي صفرًا. والآن، ونظرًا لأن لدينا عجلة لا تساوي صفرًا وفقًا للقانون الثاني للحركة. فإنها تساوي 𝑚 في 𝑎؛ حيث 𝑚 كتلة الحمل؛ 𝐿𝑎. وبالحديث عن كتلة هذا الوزن، وعندما نفكر في ذلك، نجد أن 𝐿𝑎 تساوي كتلة هذا الوزن في 𝑔، عجلة الجاذبية؛ حيث سنفترض أن 𝑔 تساوي بالضبط 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع.

وإذا أضفنا 𝑚 في 𝑔 إلى كلا طرفي هذه المعادلة، وأعدنا كتابة قوة الشد بدلالة أقصى إجهاد، 𝜎 max، في المساحة 𝐴، نجد أن لدينا مقدارًا ينص على أن 𝜎 max في 𝐴 يساوي 𝑚 في الكمية 𝑔 زائد 𝑎. قد يبدو أننا نتراجع للوراء؛ لأننا لا نرى القيمة 𝐿𝑎 في أي مكان في هذه المعادلة، وهي القيمة التي نريد أن نحسبها. ولكن 𝐿𝑎 يساوي 𝑚 في 𝑔. ولدينا قيمة 𝑔. لذا، إذا استطعنا أن نحسب قيمة 𝑚، فسنتمكن من إيجاد قيمة 𝐿𝑎.

وبالعودة إلى معادلة اتزان القوى، نعيد ترتيب هذه المعادلة لنحسب الكتلة 𝑚، ولدينا قيم ‪𝜎 max‬‏، ‪𝐴‬‏، ‪𝑔‬‏، والعجلة 𝑎. وعند التعويض بهذه القيم في المعادلة، علينا مرة أخرى التعبير عن مساحة المقطع 𝐴 بوحدة المتر المربع، ثم نحسب قيمة هذا الحد، فنجدها تساوي 31.3 كيلوجرامًا تقريبًا. بالعودة إلى معادلة 𝐿𝑎، وعندما نعوض بهذه القيمة عن 𝑚، ونعوض بالقيمة 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع عن 𝑔، نحصل على الناتج 310 نيوتن، مقربًا لأقرب رقمين معنويين. وهذا هو أقصى وزن يمكن أن يتحمله الحبل بينما يتحرك الوزن لأعلى بعجلة مقدارها 4.0 أمتار لكل ثانية تربيع. والآن، لنر مثالًا يتضمن معامل المرونة.

الرصاص الموجود في القلم الرصاص عبارة عن نوع من الجرافيت معامل يونج له يساوي 1.0 في 10 أس 9 نيوتن لكل متر مربع. احسب التغير في طول الرصاص في قلم رصاص آلي (قلم السنون) عند إدخاله بشكل مستقيم في القلم بقوة مقدارها 4.0 نيوتن. قطر الرصاص 0.50 ملليمتر، وطوله 60 ملليمترًا.

نريد أن نحسب التغير في طول الرصاص، والذي يمكن أن نرمز له بالرمز 𝛥𝐿. ولدينا معامل يونج لهذه المادة، والذي سنرمز له بالرمز 𝑌𝑚. القوة التي أدخل بها الرصاص داخل القلم والتي تساوي 4.0 نيوتن سنرمز لها بالرمز 𝐹. ولدينا كذلك قطر الرصاص وطوله الأصلي. سنرمز لهما بالرمزين 𝐷 و𝐿 على الترتيب. يمكننا أن نبدأ في الحل بتذكر أن معامل يونج؛ 𝑌𝑚، يساوي الإجهاد مقسومًا على الانفعال؛ حيث يساوي الإجهاد القوة مقسومة على المساحة، والانفعال 𝜀 يساوي التغير في الطول 𝛥𝐿 مقسومًا على الطول الأصلي.

وبالجمع بين هذه العلاقات الثلاث، يمكننا أن نقول إن معامل يونج؛ 𝑌𝑚، يساوي القوة مقسومة على المساحة، والكل مقسوم على 𝛥𝐿؛ التغير في الطول، على 𝐿؛ الطول الأصلي. نريد بالطبع أن نحسب 𝛥𝐿. ولهذا، سنعيد ترتيب هذه المعادلة. ‏𝛥𝐿 يساوي 𝐹 في 𝐿 مقسومًا على 𝑌𝑚 في 𝐴. المساحة 𝐴 هي المقطع العرضي لعمود الجرافيت الدائري ولذلك تساوي 𝜋 على أربعة في 𝐷 تربيع. وبالجمع بين كل ذلك، يوجد لدينا الآن مقدار يعبر عن 𝛥𝐿 بدلالة المتغيرات المعطاة في رأس المسألة.

وبالتعويض بقيم هذه المعطيات، بعد التأكد من تحويل الطول إلى وحدة المتر وكذلك القطر 𝐷، نجد أن 𝛥𝐿 تساوي 1.2 ملليمتر، مقربًا لأقرب رقمين معنويين. وهذا هو التغير في طول هذا العمود من الجرافيت نتيجة للإجهاد المؤثر عليه. لنلخص ما تعلمناه حتى الآن عن الإجهاد والانفعال ومعامل المرونة.

رأينا أن الإجهاد هو الضغط الذي يؤثر على مقطع عرضي، ويقاس بوحدة نيوتن لكل متر مربع. وأن رمز الإجهاد هو 𝜎. وعلى الجانب الآخر؛ الانفعال، الذي يمثل بالرمز اليوناني 𝜀، هو مقدار تشوه الجسم الصلب نتيجة للإجهاد المؤثر عليه. ويكتب الانفعال في صورة معادلة على أنه يساوي التغير في طول الجسم مقسومًا على طوله الأصلي. وأخيرًا، رأينا أن معامل المرونة أو معامل يونج يربط الإجهاد والانفعال معًا. ومعامل المرونة هو إحدى خصائص المادة، ويساوي الإجهاد مقسومًا على الانفعال، أو 𝜎 على 𝜀. وبشكل عام، يساعدنا الإجهاد والانفعال ومعامل المرونة في فهم القوى التي تؤثر على الأجسام الصلبة وكيف يتغير شكل هذه الأجسام الصلبة نتيجة لتأثير هذه القوى عليها.