نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ د ﺱ، ود شرطة لأربعة تساوي اثنين، ود لأربعة تساوي سبعة، فأوجد قيمة دﺹ على دﺱ عند ﺱ يساوي أربعة.
علينا إيجاد قيمة دﺹ على دﺱ عند ﺱ يساوي أربعة. نعرف من المعطيات أن ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ د ﺱ. تذكر أن دﺹ على دﺱ هو مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، علينا إيجاد تعبير لمشتقة الجذر التربيعي لـ د ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إحدى طرق فعل ذلك هي ملاحظة أن ﺹ معطى على صورة تركيب دالتين؛ فنحن نحسب الجذر التربيعي لـ د ﺱ. إذن، يمكننا إيجاد قيمة هذه المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، وهذه الطريقة ستنجح.
لكن توجد طريقة أخرى. علينا ملاحظة أنه يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير باستخدام قوانين الأسس. نعلم أن الجذر التربيعي لـ ﺃ يساوي ﺃ أس نصف. إذن، يمكننا إعادة كتابة التعبير ﺹ على صورة د ﺱ الكل مرفوع للقوة نصف. أصبح لدينا دالة مرفوعة لقوة ثابتة، لذا يمكننا إيجاد مشتقة ذلك باستخدام القاعدة العامة للقوة. نتذكر أن القاعدة العامة للقوة تخبرنا أنه لأي ثابت ﻙ ودالة قابلة للاشتقاق ر ﺱ، تكون مشتقة ر ﺱ الكل مرفوع للقوة ﻙ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙ في ر شرطة ﺱ مضروبًا في ر ﺱ الكل مرفوع للقوة ﻙ ناقص واحد.
لكن في هذه الحالة، قد يقلقنا أمر ما. نريد أن نجعل ر ﺱ الدالة الداخلية د ﺱ. ولكن لاستخدام القاعدة العامة للقوة، يلزم أن تكون الدالة د ﺱ قابلة للاشتقاق، ونحن لا نعرف أن د قابلة للاشتقاق. لكن السؤال أخبرنا أن د شرطة لأربعة تساوي اثنين. إذن نعلم بالفعل أن د قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي أربعة. إذن، يمكننا تطبيق القاعدة العامة للقوة على د ﺱ عند ﺱ يساوي أربعة.
نحن الآن جاهزون لإيجاد تعبير لـ دﺹ على دﺱ. علينا اشتقاق د ﺱ الكل مرفوع للقوة نصف بالنسبة إلى ﺱ. وسنفعل ذلك باستخدام القاعدة العامة للقوة. نضع ﻙ يساوي نصفًا ور ﺱ يساوي د ﺱ. هذا يعطينا نصفًا في د شرطة ﺱ مضروبًا في د ﺱ الكل مرفوع للقوة نصف ناقص واحد.
ويجدر بنا التأكيد مرة أخرى على أنه لاستخدام القاعدة العامة للقوة، تطلب الأمر أن تكون د ﺱ قابلة للاشتقاق. وفي هذا السؤال، القيمة الوحيدة ﺱ التي نعرف أن د ﺱ قابلة للاشتقاق عندها هي ﺱ يساوي أربعة. إذن، المرة الوحيدة التي يمكننا فيها ضمان نجاح هذه الصيغة هي عندما يكون ﺱ يساوي أربعة. لحسن الحظ، هذا هو كل ما نحتاج إليه للإجابة عن السؤال. قبل أن نفعل ذلك، يمكننا التبسيط. في البداية، يمكننا تبسيط الأس نصف ناقص واحد ليساوي سالب نصف. ثم، نجري تبسيطًا آخر. نعلم أنه باستخدام قوانين الأسس، ﺃ مرفوعًا للأس سالب نصف يكافئ واحدًا مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ. إذن، باستخدام ذلك، يمكننا تبسيط التعبير دﺹ على دﺱ ليساوي د شرطة ﺱ مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لـ د ﺱ.
الآن، نحن جاهزون لإيجاد قيمة دﺹ على دﺱ عند ﺱ يساوي أربعة. ما علينا سوى التعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في التعبير دﺹ على دﺱ، ونعرف أن ذلك يكون صحيحًا عند ﺱ يساوي أربعة. بالتعويض بـ ﺱ يساوي أربعة في هذا التعبير، نحصل على قيمة دﺹ على دﺱ عند ﺱ يساوي أربعة يساوي د شرطة لأربعة مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لـ د لأربعة. وبالطبع، أخبرنا السؤال أن د شرطة لأربعة تساوي اثنين، ود لأربعة تساوي سبعة. لذا، سنعوض بهاتين القيمتين في هذا التعبير.
بالتعويض بـ د شرطة لأربعة يساوي اثنين، ود لأربعة يساوي سبعة، نحصل على اثنين مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لسبعة. وبالطبع، يمكننا التبسيط. يمكننا حذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام لنحصل على واحد مقسومًا على الجذر التربيعي لسبعة. يمكننا أن نترك الإجابة على الصورة واحد مقسومًا على الجذر التربيعي لسبعة. ولكن، يمكننا تبسيط ذلك عن طريق إنطاق المقام. نضرب كلًّا من البسط والمقام في الجذر التربيعي لسبعة. وهذا يعطينا الإجابة النهائية وهي الجذر التربيعي لسبعة مقسومًا على سبعة.
بذلك نكون قد أوجدنا أنه إذا كان ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ د ﺱ، ود شرطة لأربعة تساوي اثنين، ود لأربعة تساوي سبعة، فإن قيمة دﺹ على دﺱ عند ﺱ يساوي أربعة لا بد أن تساوي الجذر التربيعي لسبعة مقسومًا على سبعة.
