فيديو الدرس: محصلة القوى المستوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد محصلة مجموعة قوى تؤثر عند نقطة.

نفترض أن هناك عدة قوى تؤثر عند نقطة، كما هو موضح في الشكل. القوة الكلية التي يؤثر بها دمج جميع القوى تسمى «القوة المحصلة». ويمثلها، في هذه الحالة، المتجه ﺡ. لحساب محصلة أي عدد من القوى، يمكننا جمع القوى معًا عن طريق توصيل رأس بذيل. يعني هذا أن نحرك نقطة بداية (أو ذيل) القوة ﻕ اثنين إلى نقطة نهاية (أو رأس) القوة ﻕ واحد. ونحرك ذيل القوة ﻕ ثلاثة إلى رأس القوة ﻕ اثنين، ونكرر الأمر نفسه مع أي عدد من القوى لدينا. تعطى القوة المحصلة من خلال المتجه الذي يبدأ من نقطة البداية وينتهي عند رأس القوة الأخيرة، ﻕ ثلاثة. ‏ﺡ هو المجموع الاتجاهي للقوى ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة.

توجد طريقة أخرى لإيجاد المحصلة، وهي جمع المركبات المتعامدة لكل قوة معًا. نفترض أن لدينا القوة ﻕ واحدًا، التي يمكن تحليلها إلى المركبتين الأفقية والرأسية ﻕ واحد ﺱ وﻕ واحد ﺹ. ولدينا كذلك القوة ﻕ اثنان التي يمكن تحليلها إلى ﻕ اثنين ﺱ وﻕ اثنين ﺹ. بعد ذلك يمكننا إيجاد محصلة هاتين القوتين عن طريق جمع المركبات، كما هو موضح. ‏ﺡ هو المجموع الاتجاهي للقوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. والمركبة الأفقية لـ ﺡ، أي ﺡﺱ، هي مجموع المركبتين الأفقيتين ﻕ واحد ﺱ وﻕ اثنين ﺱ. المركبة الرأسية لـ ﺡ، أي ﺡﺹ، هي مجموع المركبتين الرأسيتين ﻕ واحد ﺹ وﻕ اثنين ﺹ.

يمكن إيجاد المركبة الأفقية، ﻕﺱ، والمركبة الرأسية، ﻕﺹ، لقوة ما ﻕ، من زاوية ميل القوة ﻕ. المركبة الأفقية ﻕﺱ تساوي مقدار القوة ﻕ مضروبًا في جيب تمام الزاوية المجاورة ﻫ واحد أو في جيب الزاوية المقابلة ﻫ اتنين. والمركبة الرأسية ﻕﺹ تساوي ﻕ مضروبًا في جا ﻫ واحد أو ﻕ مضروبًا في جتا ﻫ اتنين. مقدار القوة ﻕ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين. نستنتج من هذا أن ظا ﻫ واحد يساوي المركبة الرأسية ﻕﺹ على المركبة الأفقية ﻕﺱ. ويترتب على ذلك أن ﻫ واحد تساوي الدالة العكسية لـ ظا لـ ﻕﺹ على ﻕﺱ.

دعونا نتناول مثالًا يتضمن عدة قوى تؤثر عند نقطة.

جسم تؤثر عليه قوة مقدارها ١٠ نيوتن أفقيًّا، وتؤثر عليه قوة مقدارها ٢٥ نيوتن رأسيًّا لأعلى، وتؤثر عليه قوة مقدارها خمسة نيوتن بزاوية ٤٥ درجة مع الأفقي كما هو موضح في الشكل. ما مقدار القوة المحصلة المفردة التي تؤثر على الجسم، وبأي زاوية مع الأفقي تؤثر هذه القوة المحصلة على الجسم؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

في البداية، يمكن تحليل القوة التي مقدارها خمسة نيوتن إلى مركبتيها الأفقية والرأسية. يمكننا بعد ذلك إضافة هاتين المركبتين إلى القوتين الأفقية والرأسية الأخريين لإيجاد القوة المحصلة. المركبة الأفقية تساوي المقدار خمسة مضروبًا في جيب تمام الزاوية المجاورة، أي ٤٥ درجة. والمركبة الرأسية تساوي خمسة مضروبًا في جيب الزاوية المجاورة، التي قياسها ٤٥ درجة. بجمع المركبتين الأفقيتين معًا، نجد أن المركبة الأفقية للقوة المحصلة، ﻕﺱ، تساوي ١٠ زائد خمسة في جتا ٤٥ درجة.

وبالمثل، المركبة الرأسية للقوة المحصلة، ﻕﺹ، تساوي ٢٥ زائد خمسة في جا ٤٥ درجة. كل من جتا ٤٥ درجة وجا ٤٥ درجة يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. إذن يصبح لدينا ١٠ زائد خمسة في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، و٢٥ زائد خمسة في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، على الترتيب.

تذكر أن مقدار أي قوة في بعدين يساوي الجذر التربيعي الموجب لمجموع مربعي مركبتيها الأفقية والرأسية. تعطى زاوية الميل ﻫ واحد بقسمة الدالة العكسية للظل للمركبة الرأسية، ﻕﺹ، على المركبة الأفقية، ﻕﺱ. ومن ثم مقدار القوة المحصلة، ﺡ، يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠ زائد خمسة في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين تربيع زائد ٢٥ زائد خمسة في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين تربيع. بإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن مقدار القوة المحصلة لأقرب منزلة عشرية هو ٣١٫٦ نيوتن.

زاوية الميل ﻫ واحد تساوي الدالة العكسية لـ ظا لـ ٢٥ زائد خمسة في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين مقسومًا على ١٠ زائد خمسة في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. بإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن قياس الزاوية التي تصنعها القوة المحصلة مع الأفقي يساوي ٦٤٫٦ درجة لأقرب منزلة عشرية.

لاحظ أنه لا يوجد حد لعدد القوى التي يمكنها التأثير عند نقطة ما. ويمكن تحليل القوى التي تؤثر عند نقطة ما إلى مركبات متعامدة.

لنتناول الآن مثالًا لست قوى تؤثر عند نقطة.

يوضح الرسم الشكل السداسي المنتظم ﺃﺏﺟﺩﻫﻭ الذي تتقاطع أقطاره عند النقطة ﻡ. القوى الست الموضحة التي تؤثر عند ﻡ مقيسة بالنيوتن. أوجد مقدار المحصلة ﺡ للقوى، والزاوية المحصورة، ﻫ واحد، بين محصلة القوى والاتجاه الموجب للمحور ﺱ. قرب قيمة ﻫ واحد لأقرب دقيقة، إذا لزم الأمر.

يتكون الشكل السداسي المنتظم من ستة مثلثات متساوية الأضلاع متطابقة، ولكل مثلث زاوية داخلية قياسها ٦٠ درجة. لنتناول القوة المؤثرة في الخط المستقيم ﻡﻭ. تعطى المركبة الأفقية للقوة بضرب المقدار ٦٠ نيوتن في جيب تمام الزاوية التي تصنعها القوة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، وقياسها ٦٠ درجة. وبالمثل، المركبة الرأسية للقوة تساوي المقدار ٦٠ نيوتن مضروبًا في جيب الزاوية التي تصنعها القوة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، وقياسها ٦٠ درجة.

بالنسبة إلى باقي القوى، فستنطبق عليها الصيغة نفسها، لكن الزاوية ستتغير. يكون قياس كل زاوية من الزوايا التي تصنعها القوى في الاتجاهات ﻫ وﺩ وﺟ وﺏ وﺃ مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ أكبر بمقدار ٦٠ درجة من قياس الزاوية التي قبلها، أي ١٢٠ درجة و١٨٠ درجة و٢٤٠ درجة و٣٠٠ درجة و٣٦٠ درجة، على الترتيب.

يمكننا جمع هذه المركبات الأفقية معًا لنحصل على المركبة الأفقية للقوة المحصلة كما هو موضح. ويمكننا تطبيق العملية نفسها مع المركبة الرأسية للقوة، ولكن هذه المرة سنأخذ جيب الزوايا التي تصنعها القوة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، كما هو موضح. يمكن إيجاد قيم هذه المركبات المثلثية، بحيث نحصل على قيم بسيطة نوعًا ما يمكننا التعويض بها.

نجري الآن بعض الخطوات لتبسيط المركبة الأفقية للقوة، أي ﻕﺱ. بإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن ﻕﺱ تساوي خمسة. يمكننا إجراء العملية نفسها مع المركبات الرأسية؛ حيث تكون قيم المركبات المثلثية بسيطة أيضًا. مرة أخرى، نجري بعض خطوات التبسيط. وهنا نجد أنه يمكننا أخذ الجذر التربيعي لثلاثة عاملًا مشتركًا لتبسيط الإجابة. ومن ثم نجد أن ﻕﺹ تساوي تسعة في الجذر التربيعي لثلاثة. سنترك هذا الناتج على صورة جذر أصم لحساب القوة المحصلة.

الآن بعد أن حصلنا على المركبتين الأفقية والرأسية للقوة المحصلة، يمكننا إيجاد مقدارها بأخذ الجذر التربيعي الموجب لمجموع مربعي هاتين المركبتين. يمكننا إيجاد زاوية ميل القوة بأخذ الدالة العكسية للظل للمركبة الرأسية على المركبة الأفقية. وبالنسبة إلى مقدار القوة، فإننا نحصل على الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد تسعة في الجذر التربيعي لثلاثة تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى اثنين في الجذر التربيعي لـ ٦٣ نيوتن.

بالنسبة إلى زاوية الميل ﻫ واحد، لدينا الدالة العكسية لـ ظا لتسعة في الجذر التربيعي لثلاثة على خمسة. وهذا يساوي ٧٢٫٢١ درجة تقريبًا، وهو ما يساوي لأقرب دقيقة ٧٢ درجة و١٣ دقيقة.

يمكن التعبير عن القوى بدلالة مركباتها المتعامدة أيضًا. في النظام الإحداثي الكارتيزي الثنائي الأبعاد، يتم ذلك باستخدام مضاعفات متجهي الوحدة ﺱ وﺹ، اللذين يؤثران في الاتجاهين ﺱ وﺹ، على الترتيب، بضربهما في كميات قياسية.

لنتناول الآن مثالًا يتضمن إيجاد محصلة عدة قوى معبر عنها بهذه الطريقة.

محصلة القوى ﻕ واحد تساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ نيوتن، وﻕ اثنان تساوي خمسة ﺱ ناقص سبعة ﺹ نيوتن، وﻕ ثلاثة تساوي اثنين ﺱ زائد تسعة ﺹ نيوتن، تصنع زاوية ﻫ واحد مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. أوجد مقدار المحصلة ﺡ، وقيمة ظا ﻫ واحد.

لنبدأ برسم مخطط للقوى ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة التي تؤثر عند نقطة. يمكننا إيجاد المركبتين الأفقية والرأسية للمحصلة عن طريق جمع المركبات الأفقية والمركبات الرأسية للقوى المفردة. نعلم من السؤال أن المركبات الأفقية لـ ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة هي سالب أربعة، وخمسة، واثنان نيوتن، على الترتيب. وبالمثل، نعلم أن المركبات الرأسية هي اثنان وسالب سبعة وتسعة نيوتن، على الترتيب.

ومن ثم فإن المركبة الأفقية للمحصلة، ﺡﺱ، تساوي سالب أربعة زائد خمسة زائد اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة نيوتن. وبالمثل، المركبة الرأسية للمحصلة، ﺡﺹ، تساوي اثنين ناقص سبعة زائد تسعة، وهو ما يساوي أربعة نيوتن. وبهذا نجد أن القوة المحصلة ﺡ تساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ نيوتن.

يمكننا تصور تمثيل مرئي لهذه المحصلة مرسوم بمقياس رسم على المخطط، وملاحظة أنه يبدو صحيحًا. مقدار المحصلة ﺡ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين الأفقية والرأسية، ﺡﺱ وﺡﺹ. لدينا هنا الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع. ويمكن تبسيط ذلك إلى الجذر التربيعي لـ ٢٥، وهو ما يساوي خمسة نيوتن.

يعطى ظل الزاوية التي تصنعها المحصلة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ بقسمة المركبة الرأسية، ﺡﺹ، على المركبة الأفقية، ﺡﺱ. إذن، ظا ﻫ واحد هنا يساوي أربعة على ثلاثة، أي أربعة أثلاث.

بما أن لدينا القيم الفعلية لمركبات هذه القوى ويمكننا رسمها بمقياس رسم، يمكننا أيضًا إيجاد المحصلة باستخدام طريقة توصيل الرأس بالذيل. نبدأ برسم ﻕ واحد. بعد ذلك نرسم ﻕ اثنين بدءًا من رأس ﻕ واحد. وأخيرًا نرسم ﻕ ثلاثة بدءًا من رأس ﻕ اثنين.

نحصل على القوة المحصلة من خلال المتجه الذي يبدأ من نقطة البداية الأصلية وينتهي عند رأس القوة الأخيرة، ﻕ ثلاثة. على مخطط مرسوم بمقياس رسم، يمكننا قياس المركبتين ﺱ وﺹ لـ ﺡ لنحصل على القوة المحصلة التي تساوي ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ نيوتن. نلاحظ أن هذا يتطابق مع النتيجة السابقة. سنحسب مقدار هذا المتجه باستخدام الطريقة نفسها التي استخدمناها سابقًا. وسنجد أن هذا يساوي خمسة نيوتن. وبالمثل سنتوصل إلى قيمة ظا ﻫ واحد نفسها التي نحسبها عن طريق قسمة المركبة الرأسية على المركبة الأفقية. وهذا يساوي أربعة على ثلاثة.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية. يمكن جمع عدة قوى عن طريق جمع المركبات المتعامدة للقوى وإيجاد محصلة هذه المركبات. إذا كانت ﻕﺱ المركبة الأفقية للقوة ﻕ، فإن مقدار ﻕﺱ يساوي مقدار ﻕ مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بين ﻕ وﻕﺱ. نسمي هذه الزاوية ﻫ واحد.

وبالمثل، إذا كانت ﻕﺹ المركبة الرأسية للقوة ﻕ، التي تكون عمودية على ﻕﺱ، فإن هذا المقدار يساوي ﻕ في جا ﻫ واحد. يعطى مقدار محصلة المركبات المتعامدة لقوة ما بالعلاقة: ﻕ تساوي الجذر التربيعي لـ ﻕﺱ تربيع زائد ﻕﺹ تربيع. إذا كانت القوة ﻕﺃ تساوي ﺱﺃ في ﺱ زائد ﺹﺃ في ﺹ زائد 𝑧ﺃ في ﻉ، وكانت القوة ﻕﺏ تساوي ﺱﺏ في ﺱ زائد ﺹﺏ في ﺹ زائد 𝑧ﺏ في ﻉ، فإن محصلة هاتين القوتين تساوي ﻕﺃ زائد ﻕﺏ. هذا يساوي ﺱﺃ زائد ﺱﺏ في ﺱ زائد ﺹﺃ زائد ﺹﺏ في ﺹ زائد 𝑧ﺃ زائد 𝑧ﺏ في ﻉ.