نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏ سلم وزنه ٤٠ جذر ثلاثة ثقل كيلوجرام، وطوله خمسة أمتار، يرتكز في مستوى رأسي؛ حيث يقع طرفه ﺏ على أرض ملساء وطرفه ﺃ على حائط رأسي أملس. ربط الطرف ﺏ باستخدام حبل بنقطة على الأرض تقع رأسيًّا أسفل ﺃ. إذا كان الطرف ﺏ على بعد ٢٫٥ متر من الحائط، ووزن السلم يؤثر عند نقطة على السلم تبعد مترين عن ﺏ، فأوجد الشد في الحبل.
قبل إجراء أي عمليات حسابية، سنبدأ برسم مخطط لجسم حر. هذا رسم مبسط جدًّا للسيناريو لدينا لتوضيح جميع القوى التي تعنينا. لدينا هنا سلم طوله خمسة أمتار يرتكز على حائط رأسي أملس. نحن لا نعرف الزاوية التي يميل بها السلم على الأفقي، لكن سيتعين علينا إيجادها في إحدى الخطوات. لذا، دعونا نطلق عليها 𝜃. ونعلم أن الطرف ﺏ مربوط باستخدام حبل بنقطة على الأرض تقع رأسيًّا أسفل ﺃ. هذا يعني أن علينا إضافة قوة الشد ﺵ إلى المخطط كما هو موضح. بعد ذلك، علمنا أن الطرف ﺏ يقع على بعد ٢٫٥ متر من الحائط. هذا المعطى سيفيدنا بعد قليل لأنه سيمكننا من استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب قيمة 𝜃.
علمنا أيضًا أن وزن السلم يؤثر على السلم عند نقطة تبعد مسافة مترين عن الطرف ﺏ. ومن ثم، تكون هناك قوة مؤثرة لأسفل مقدارها ٤٠ جذر ثلاثة ثقل كيلوجرام. هناك قوتان أخريان علينا التفكير فيهما. وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، فإننا نعلم أنه عندما يؤثر السلم بقوة ما على الأرض والحائط، تنشأ قوتا رد فعل عموديتان للأرض والحائط على السلم، على الترتيب. وسنطلق عليهما ﺭﺏ وﺭﺃ. حسنًا، لدينا الآن جميع المعلومات الأساسية، ونريد إيجاد الشد في الحبل. وقد أطلقنا عليه ﺵ. لذا، سنفرغ بعض المساحة للحل.
حسنًا، ما الذي علينا فعله بعد ذلك؟ نحن نعلم أن السلم مستقر في موضعه. ومن ثم يمكننا افتراض أنه في حالة اتزان. لكي يكون الجسم الجاسئ مثل هذا السلم في حالة اتزان، لا بد من توفر شرطين. أولًا، يجب أن يكون مجموع جميع القوى المؤثرة على الجسم مساويًا لصفر. وغالبًا ما نقسم هذه القوى إلى قوى أفقية ورأسية بحيث يكون مجموع القوى الأفقية صفرًا، ومجموع القوى الرأسية صفرًا. وثانيًا، يمكننا قول إن مجموع كل العزوم المؤثرة على الجسم لا بد أن يساوي صفرًا، حيث يحسب العزم عن طريق إيجاد حاصل ضرب القوة ﻕ والمسافة ﻑ؛ حيث ﻑ هو البعد العمودي لخط عمل القوة من النقطة التي يحاول الجسم الدوران حولها.
وكما فعلنا مع القوى، سنعطي اتجاهًا للعزوم أيضًا. لكنه سيكون هذه المرة في اتجاه دوران عقارب الساعة وعكس اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، دعونا نبدأ بإيجاد مجموع القوى المؤثرة في المخطط لدينا. نحن نريد حساب مقدار الشد. ولسنا مهتمين على الإطلاق بإيجاد ﺭﺏ. لذلك، دعونا نبدأ بحساب مجموع القوى الأفقية. لنفترض أن اتجاه تأثير قوة الشد هو الاتجاه الموجب. إذن، سيكون تأثير القوة ﺭﺃ في الاتجاه المعاكس. ومن ثم، فإن مجموع القوى في الاتجاه الأفقي يساوي ﺵ ناقص ﺭﺃ. وهذا بالطبع يساوي صفرًا.
سنحسب بعد ذلك العزوم حول النقطة ﺏ. حسنًا، يمكننا حساب العزوم حول أي نقطة على السلم، لكننا عادة ما نختار قاعدة السلم نظرًا لأن عدد القوى المؤثرة عندها يكون أكبر. في الواقع، هناك قوتان سنتناولهما؛ إنهما قوة الوزن المؤثرة لأسفل وقوة رد الفعل عند النقطة ﺃ. لكن تذكر، لقد قلنا إن قيمة العزم تحسب بضرب القوة في البعد العمودي لهذه القوة من محور العزم. ولذلك، علينا تحليل هاتين القوتين لمعرفة مركبتيهما اللتين تؤثران عموديًّا على السلم. يمكننا رسم مثلثين قائمي الزاوية، بحيث يتضمن المثلثان الزاوية 𝜃. علينا إذن إيجاد قيمة 𝜃 في الخطوة التالية.
بتكبير المخطط الذي يتضمن الأرض والحائط والسلم، نلاحظ أن بإمكاننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. لدينا ضلع مجاور طوله ٢٫٥ متر، ووتر طوله خمسة أمتار. ومن ثم، سنستخدم نسبة جيب التمام. جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وفي هذا المثلث، جتا 𝜃 يساوي ٢٫٥ مقسومًا على خمسة. لكن ٢٫٥ مقسومًا على خمسة يساوي نصفًا. وبما أننا نعلم أن جتا ٦٠ يساوي نصفًا، فلا بد أن قياس 𝜃 يساوي ٦٠ درجة. إذن، يمكننا كتابة ٦٠ درجة بدلًا من 𝜃. وبهذا، نكون مستعدين لبدء حساب مركبتي الوزن وقوة رد الفعل العموديتين على السلم.
سنبدأ بمركبة الوزن. دعونا نقم بتكبير هذا المثلث قليلًا. سنطلق على المركبة التي نحاول إيجادها ﺱ. ﺱ هو طول الضلع المجاور في هذا المثلث، بينما طول الوتر يساوي ٤٠ جذر ثلاثة ثقل كيلوجرام. يمكننا إذن استخدام نسبة جيب التمام مرة أخرى لإيجاد قيمة ﺱ. وعليه، يصبح لدينا جتا ٦٠ يساوي ﺱ على ٤٠ جذر ثلاثة. لكن تذكر أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. لذا دعونا نحل هذه المعادلة بضرب الطرفين في ٤٠ جذر ثلاثة. نصف في ٤٠ جذر ثلاثة يساوي ٢٠ جذر ثلاثة. إذن، مركبة قوة الوزن المؤثرة عموديًّا على السلم تساوي ٢٠ جذر ثلاثة ثقل كيلوجرام.
لكن ما قيمة عزم هذه القوة؟ سنقول إن قيمته سالبة، لأننا اخترنا أن يكون الاتجاه عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب. وعليه، فإنه يساوي سالب ٢٠ جذر ثلاثة مضروبًا في البعد من محور العزم؛ أي اثنين. سنكرر هذه العملية الآن مع القوة ﺭﺃ. سنطلق على مركبة هذه القوة التي نحاول إيجادها ﺹ. هذه المرة، ﺹ هو طول الضلع المقابل في المثلث. ولدينا تعبير للوتر. النسبة المثلثية التي تربط بينهما هي نسبة الجيب. إذن، سنعوض بما نعرفه عن المثلث في هذه الصيغة.
عندما نفعل ذلك، يكون لدينا جا ٦٠ يساوي ﺹ على ﺭﺃ. وفي الحقيقة، جا ٦٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين. لذلك، سنضرب طرفي هذه المعادلة في ﺭﺃ لإيجاد تعبير لـ ﺹ. بفعل ذلك، نحصل على ﺹ يساوي جذر ثلاثة على اثنين في ﺭﺃ. حسنًا، قبل إيجاد قيمة العزم، دعونا نرجع إلى المعادلة الأولى التي كتبناها. إذا أضفنا ﺭﺃ إلى الطرفين، فسنجد أن ﺵ يساوي ﺭﺃ. وهذا مفيد جدًّا لأننا إذا عوضنا عن ﺭﺃ بـ ﺵ، فسنجد أن ﺹ يساوي جذر ثلاثة على اثنين ﺵ. وعندما نكمل المعادلة التي توضح أن مجموع العزوم يساوي صفرًا، سيكون لدينا معادلة بدلالة ﺵ.
عزم هذه القوة يساوي جذر ثلاثة على اثنين ﺵ في البعد من محور العزم؛ أي خمسة. ونحن نعرف بالطبع أن مجموع هذه العزوم يساوي صفرًا. علينا إذن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺵ، لذا أول ما سنفعله هو قسمة الطرفين على جذر ثلاثة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على المعادلة سالب ٤٠ زائد خمسة على اثنين ﺵ يساوي صفرًا. سنضيف ٤٠ إلى الطرفين، وفي الخطوة الأخيرة سنقسم الطرفين على خمسة على اثنين. وهذا يماثل القسمة على خمسة والضرب في اثنين. ٤٠ مقسومًا على خمسة على اثنين يساوي ١٦. وبذلك نكون قد حسبنا مقدار الشد في الحبل. نحن نعلم أن وحدة القوة في هذا السؤال هي ثقل كيلوجرام. إذن، الشد يساوي ١٦ ثقل كيلوجرامًا.
