فيديو الدرس: العمليات على المتجهات في ثلاثة أبعاد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات في ثلاثة أبعاد، مثل: الجمع والطرح والضرب في عدد ثابت. سنبدأ بتذكر بعض الخواص الأساسية للمتجهات في ثلاثة أبعاد. نعلم أن أي متجه في الفضاء الثلاثي الأبعاد له معيار واتجاه. إذا فكرنا في شبكة الإحداثيات الثلاثية الأبعاد كما هو موضح، فسنجد أن متجهات الوحدة في الاتجاه ﺱ، وﺹ، وﻉ يشار إليها بـ ﺱ، وﺹ، وﻉ، على الترتيب. وعليه، يمكن كتابة أي متجه على الصورة: ﺱﺱ زائد ﺹﺹ زائد ﻉﻉ. وقيم ﺱ، وﺹ، وﻉ هي عدد الوحدات التي يتم قطعها في تلك الاتجاهات. إذا كانت إحداثيات النقطة ﺃ هي ﺱ، ﺹ، ﻉ، فإن المتجه ﺃ يساوي ﺱﺱ زائد ﺹﺹ زائد ﻉﻉ. ويمكن كتابة هذا أيضًا على الصورة الإحداثية كما هو موضح.

سنتناول الآن كيفية جمع المتجهات وطرحها في ثلاثة أبعاد. إذا نظرنا إلى المتجهين ﺃ وﺏ ومركباتهما ﺱ واحد، وﺹ واحد، وﻉ واحد، وﺱ اثنين، وﺹ اثنين، وﻉ اثنين، على الترتيب، فيمكننا عندئذ جمع المتجهين وطرحهما من خلال مركباتهما المتناظرة. سيكون للمتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ المركبات ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين، وﺹ واحد زائد ﺹ اثنين، وﻉ واحد زائد ﻉ اثنين. وبالمثل، المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ سيكون له المركبات ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين، وﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين، وﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين. تتيح لنا هذه الطريقة جمع أو طرح متجهين أو أكثر. سنتناول الآن بعض الأمثلة.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص ثمانية ﺹ زائد ستة ﻉ، والمتجه ﺏ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ١٣ﻉ، فأوجد المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ.

نتذكر أنه إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﺱ واحد ﺱ زائد ﺹ واحد ﺹ زائد ﻉ واحد ﻉ، والمتجه ﺏ يساوي ﺱ اثنين ﺱ زائد ﺹ اثنين ﺹ زائد ﻉ اثنين ﻉ، فإن المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ يساوي ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين ﺱ زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين ﺹ زائد ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين ﻉ. في هذا السؤال، علينا طرح أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ١٣ﻉ من سالب خمسة ﺱ ناقص ثمانية ﺹ زائد ستة ﻉ. طرح أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ١٣ﻉ هو نفسه ناقص أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص ١٣ﻉ. يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة. سالب خمسة ﺱ ناقص أربعة ﺱ يساوي سالب تسعة ﺱ. سالب ثمانية ﺹ زائد ثلاثة ﺹ يساوي سالب خمسة ﺹ. وأخيرًا، ستة ﻉ ناقص ١٣ﻉ يساوي سالب سبعة ﻉ.

إذن المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ يساوي سالب تسعة ﺱ ناقص خمسة ﺹ ناقص سبعة ﻉ.

سنتناول الآن مسألة جمع.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب اثنين، سالب ثلاثة، صفرًا، والمتجه ﺏ يساوي سالب ثلاثة، ثلاثة، سالب اثنين، فأوجد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ.

لجمع أي متجهين في ثلاثة أبعاد، علينا ببساطة جمع مركباتهما المتناظرة. هذا يعني أنه إذا كان للمتجه ﺃ المركبات ﺱ واحد، وﺹ واحد، وﻉ واحد، وللمتجه ﺏ المركبات ﺱ اثنان، وﺹ اثنان، وﻉ اثنان، فإن المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ سيكون له المركبات ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين وﺹ واحد زائد ﺹ اثنين وﻉ واحد زائد ﻉ اثنين. في هذا السؤال، نجمع المركبتين ﺱ، أي سالب اثنين وسالب ثلاثة. ثم نجمع المركبتين ﺹ، أي سالب ثلاثة وموجب ثلاثة. وأخيرًا، نجمع المركبتين ﻉ، وهما صفر وسالب اثنين. سالب اثنين زائد سالب ثلاثة هو نفسه سالب اثنين ناقص ثلاثة. وهذا يساوي سالب خمسة. سالب ثلاثة زائد ثلاثة يساوي صفرًا. وأخيرًا، صفر زائد سالب اثنين هو نفسه صفر ناقص اثنين، وهو ما يساوي سالب اثنين.

إذن إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب اثنين، سالب ثلاثة، صفرًا، والمتجه ﺏ يساوي سالب ثلاثة، ثلاثة، سالب اثنين، فإن المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ يساوي سالب خمسة، صفرًا، سالب اثنين.

سنتناول الآن ما يحدث عندما نضرب متجهًا في كمية قياسية. عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة من مركبات المتجه في الكمية القياسية. هذا يعني أنه إذا كان للمتجه ﺃ المركبات ﺱ، وﺹ، وﻉ، فإنه عند ضربه في الكمية القياسية أو الثابت ﻙ، فسنحصل على متجه مركباته ﻙﺱ، وﻙﺹ، وﻙﻉ. سنتناول الآن سؤالًا يتضمن الضرب في عدد ثابت.

ما المتجه الناتج عن ضرب المتجه ﺃ يساوي سالب ستة، سالب ثلاثة، سالب واحد في المعامل سالب ستة؟

عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، نضرب ببساطة كل مركبة من مركبات المتجه في الكمية القياسية. في هذا السؤال، نريد ضرب المتجه سالب ستة، سالب ثلاثة، سالب واحد في الكمية القياسية أو الثابت سالب ستة. نتذكر أنه عند ضرب عددين سالبين، نحصل على ناتج موجب. وهذا يعني أن سالب ستة مضروبًا في سالب ستة يساوي موجب ٣٦. وسالب ستة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي ١٨. وسالب ستة مضروبًا في سالب واحد يساوي ستة. إذن إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ستة، سالب ثلاثة، سالب واحد، فإن ضرب ذلك في الكمية القياسية سالب ستة يعطينا المتجه ٣٦، ١٨، ستة.

يتضمن السؤال التالي كلًّا من الضرب في كمية قياسية وطرح متجهين.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ثمانية، تسعة، تسعة، والمتجه ﺏ يساوي سالب ستة، أربعة، تسعة، فأوجد خمسي المتجه ﺃ ناقص أربعة أخماس المتجه ﺏ.

سنبدأ حل هذا السؤال بحساب خمسي المتجه ﺃ. عند ضرب أي متجه في كمية قياسية أو ثابت، نضرب كل مركبة من المركبات في هذه الكمية القياسية. في هذا السؤال، علينا ضرب المركبات سالب ثمانية، وتسعة، وتسعة في خمسين. سالب ثمانية مضروبًا في خمسين يساوي سالب ١٦ على خمسة. وتسعة مضروبًا في خمسين يساوي ١٨ على خمسة. هذا يعني أن خمسي المتجه ﺃ لهما المركبات سالب ١٦ على خمسة، و١٨ على خمسة، و١٨ على خمسة. ويمكننا تكرار هذه العملية لحساب أربعة أخماس المتجه ﺏ. إذن علينا ضرب المتجه سالب ستة، أربعة، تسعة في أربعة أخماس. وهذا يعطينا المتجه ذا المركبات سالب ٢٤ على خمسة، و١٦ على خمسة، و٣٦ على خمسة.

خطوتنا التالية هي طرح أربعة أخماس المتجه ﺏ من خمسي المتجه ﺃ. عند طرح متجهين، نطرح ببساطة مركباتهما المتناظرة. لذا نبدأ بطرح سالب ٢٤ على خمسة من سالب ١٦ على خمسة. سالب ١٦ ناقص سالب ٢٤ يساوي موجب ثمانية. إذن، المركبة ﺱ تساوي ثمانية أخماس. بطرح ١٦ على خمسة من ١٨ على خمسة، نحصل على خمسين. إذن المركبة ﺹ للمتجه تساوي خمسين. وأخيرًا، علينا طرح ٣٦ على خمسة من ١٨ على خمسة. وبما أن ١٨ ناقص ٣٦ يساوي سالب ١٨، فإن القيمة في اتجاه ﻉ أو المركبة ﻉ تساوي سالب ١٨ على خمسة. إذن، خمسا المتجه ﺃ ناقص أربعة أخماس المتجه ﺏ يساوي ثمانية أخماس، خمسين، سالب ١٨ على خمسة.

وعلى الرغم من أننا لا نحتاج إلى ذلك في هذا السؤال، فإنه يمكننا أخذ خمس كعامل مشترك، وهو ما يعطينا الكمية القياسية خمسًا مضروبًا في المتجه ثمانية، اثنين، سالب ١٨.

في السؤال التالي، سنوجد المتجه الناقص في تعبير يحتوي متجهات.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب واحد، واحدًا، واحدًا، والمتجه ﺏ يساوي واحدًا، واحدًا، سالب اثنين، فأوجد المتجه ﺟ؛ حيث اثنان ﺟ زائد خمسة ﺃ يساوي خمسة ﺏ.

هناك الكثير من الطرق لحل هذه المسألة. تتمثل إحدى هذه الطرق في إعادة ترتيب المعادلة لجعل المتجه ﺟ المتغير التابع. يمكننا فعل ذلك بطرح خمسة ﺃ أولًا من كلا الطرفين. هذا يعطينا اثنين ﺟ يساوي خمسة ﺏ ناقص خمسة ﺃ. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، بحيث يكون المتجه ﺟ يساوي خمسة ﺏ ناقص خمسة ﺃ مقسومًا على اثنين. يمكن إعادة كتابة الطرف الأيسر على الصورة نصف خمسة ﺏ ناقص خمسة ﺃ.

يمكننا الآن حساب خمسة مضروبًا في المتجه ﺏ، وخمسة مضروبًا في المتجه ﺃ. عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، نضرب ببساطة كل مركبة من مركباته في هذه الكمية القياسية. لحساب خمسة ﺏ، نضرب المتجه واحدًا، واحدًا، سالب اثنين في خمسة. هذا يعطينا المتجه خمسة، خمسة، سالب ١٠. وبالطريقة نفسها، خمسة مضروبًا في المتجه ﺃ يساوي خمسة مضروبًا في المتجه سالب واحد، واحد، واحد. وهذا يساوي سالب خمسة، خمسة، خمسة.

يمكننا الآن طرح هذين المتجهين. وسنفعل ذلك بطرح المركبات المتناظرة. خمسة ناقص سالب خمسة يساوي ١٠. خمسة ناقص خمسة يساوي صفرًا. وسالب ١٠ ناقص خمسة يساوي سالب ١٥. إذن خمسة ﺏ ناقص خمسة ﺃ يساوي ١٠، صفر، سالب ١٥. ونحن نعلم أن المتجه ﺟ يساوي نصفًا من هذا. فهو يساوي نصف المتجه ١٠ ، صفر، سالب ١٥. ونصف ١٠ يساوي خمسة، ونصف صفر يساوي صفرًا، ونصف سالب ١٥ يساوي سالب ١٥ على اثنين. إذن المتجه ﺟ حيث اثنان ﺟ زائد خمسة ﺃ يساوي خمسة ﺏ هو خمسة، صفر، سالب ١٥ على اثنين.

في السؤال الأخير، سنتناول أيضًا معيار المتجهات في ثلاثة أبعاد.

‏ﺱ وﺹ متجهان؛ حيث المتجه ﺱ يساوي سالب واحد، خمسة، سالب اثنين، والمتجه ﺹ يساوي ثلاثة، واحدًا، واحدًا. بالمقارنة بين معيار المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ، ومعيار المتجه ﺱ ناقص معيار المتجه ﺹ، أي المقدارين أكبر؟

نتذكر هنا أن معيار أي متجه ﺃ له المركبات ﺱ، وﺹ، وﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع. نوجد قيمة مجموع مربعات فرادى المركبات، ثم نوجد الجذر التربيعي للناتج. هذا يعني أن معيار المتجه ﺱ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد خمسة تربيع زائد سالب اثنين تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لواحد زائد ٢٥ زائد أربعة. إذن معيار المتجه ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٠. ويمكننا تكرار هذه العملية مع المتجه ﺹ. هذا سوف يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد واحد تربيع زائد واحد تربيع، وهو ما يبسط إلى الجذر التربيعي لتسعة زائد واحد زائد واحد، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١١. إذن، معيار المتجه ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١.

قبل حساب القيمة العددية لمعيار المتجه ﺱ ناقص معيار المتجه ﺹ، علينا أولًا إيجاد قيمة المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ. نعلم أنه لطرح متجهين، نطرح المركبات المتناظرة. سالب واحد ناقص ثلاثة يساوي سالب أربعة. خمسة ناقص واحد يساوي موجب أربعة. وسالب اثنين ناقص واحد يساوي سالب ثلاثة. إذن المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ يساوي سالب أربعة، أربعة، سالب ثلاثة. ومعيار هذا يساوي الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد أربعة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى الجذر التربيعي لـ ١٦ زائد ١٦ زائد تسعة. إذن، معيار المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ٤١.

علينا الآن حساب القيمتين العشريتين لمعيار المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ، ومعيار المتجه ﺱ ناقص معيار المتجه ﺹ. الجذر التربيعي لـ ٤١ يساوي ٦٫٤٠٣١، وهكذا مع توالي الأرقام. والجذر التربيعي لـ ٣٠ ناقص الجذر التربيعي لـ ١١ يساوي ٢٫١٦٠٦ وهكذا مع توالي الأرقام. هذا يعني أن الجذر التربيعي لـ ٤١ أكبر من الجذر التربيعي لـ ٣٠ ناقص الجذر التربيعي لـ ١١. يمكننا إذن استنتاج أن معيار المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ أكبر من معيار المتجه ﺱ ناقص معيار المتجه ﺹ. والكمية الأكبر هي معيار المتجه ﺱ ناقص المتجه ﺹ.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا في هذا الفيديو أنه لكي نجمع المتجهات أو نطرحها في ثلاثة أبعاد، علينا ببساطة جمع المركبات المتناظرة أو طرحها. إذا كان للمتجه ﺃ المركبات ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، وللمتجه ﺏ المركبات ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين، إذن لحساب المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ، نجمع مركباتهما المتناظرة ولحساب المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ، نطرح المركبات المتناظرة. كما رأينا أنه لضرب متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة من مركبات المتجه في الكمية القياسية. لذا إذا كان للمتجه ﺃ المركبات ﺱ، وﺹ، وﻉ، فإن ضرب هذا في الكمية القياسية ﻙ يعطينا المتجه ذا المركبات ﻙﺱ، وﻙﺹ، وﻙﻉ.