فيديو السؤال: حل مسائل الاحتمالات باستخدام أشكال فن الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

مجموعة مكونة من ١٠٠ شخص، يمتلك ٤٦ منهم كلابًا، بينما يمتلك ٤١ منهم قططًا، ويمتلك ٢٨ منهم أرانب. يمتلك ١٢ شخصًا كلابًا وقططًا، بينما يمتلك ١٠ منهم قططًا وأرانب، ويمتلك تسعة منهم كلابًا وأرانب. يمتلك ثمانية أشخاص كلابًا وقططًا وأرانب. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لشخص يمتلك كلابًا وقططًا وأرانب. قرب الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة. ثم أوجد احتمال الاختيار العشوائي لشخص يمتلك كلابًا وأرانب فقط. قرب الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة. ثالثًا، أوجد احتمال اختيار شخص يمتلك حيوانات أليفة. قرب الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة. وأخيرًا، أوجد احتمال اختيار شخص ليس لديه حيوانات أليفة. قرب الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة.

توجد طريقة مفيدة للإجابة عن مثل هذه الأسئلة، وهي استخدام أشكال فن. لدينا ثلاث فئات متداخلة، وهي الكلاب، والقطط، والأرانب. عندما نملأ شكل فن، وخصوصًا الذي يحتوي على ثلاث فئات، فإنه من المفيد أن نبدأ من المنتصف، أي الموضع الذي تتداخل فيه هذه الدوائر الثلاث، وهو يمثل الأشخاص الذين يمتلكون جميع أنواع الحيوانات الأليفة الثلاثة، أي الكلاب والقطط والأرانب.

نعرف من المعطيات أن ثمانية أشخاص لديهم كلاب وقطط وأرانب. بعد ذلك، سننتقل إلى الأجزاء التي تمثل تداخلًا بين دائرتين فقط. هيا نلق نظرة على المساحة الموجودة بين فئتي الكلاب والأرانب. نعرف من المعطيات أن تسعة أشخاص يمتلكون كلابًا وأرانب، ولأننا نعرف أن ثمانية أشخاص يمتلكون كلابًا وقططًا وأرانب، فإنه لا يتبقى سوى شخص واحد يمتلك كلابًا وأرانب؛ وذلك لأننا نريد أن تكون المساحة الكلية بين فئتي الكلاب والأرانب مساوية لتسعة. ونلاحظ بالفعل أن لدينا ثمانية في المنتصف.

باتباع الخطوات نفسها، يمكننا إيجاد العدد الذي يجب أن نضعه بين فئتي الكلاب والقطط. يمتلك ١٢ شخصًا كلابًا وقططًا؛ ولكن ثمانية منهم يمتلكون أرانب أيضًا. وبذلك، يتبقى لدينا أربعة أشخاص فقط يمتلكون كلابًا وقططًا ولا يمتلكون أرانب. إذن، نلاحظ هنا أن المساحة بين فئتي الكلاب والقطط يساوي ١٢. إذن، ماذا عن مجموعة الأشخاص الذين يمتلكون قططًا وأرانب ولا يمتلكون كلابًا؟ حسنًا، لدينا ١٠ أشخاص يمتلكون قططًا وأرانب، وثمانية منهم يمتلكون كلابًا. هذا يعني أنه يمكننا القول إن اثنين من الأشخاص الذين يمتلكون قططًا وأرانب لا يمتلكون كلابًا.

والآن نحن جاهزون لإجراء خطوة أخيرة في شكل فن. هيا نبدأ بفئة الكلاب. إذا عرفنا أن ٤٦ شخصًا يمتلكون كلابًا، فإن لدينا بالفعل أربعة، وثمانية، وواحدًا من هؤلاء الأشخاص. إذن، على الرغم من أن ٤٦ شخصًا يمتلكون كلابًا، فإن منهم من يمتلك أيضًا حيوانات أليفة أخرى. لإيجاد عدد الأشخاص الذين لا يمتلكون إلا كلابًا، نقول إن ٤٦ ناقص أربعة زائد ثمانية زائد واحد، يساوي ٣٣. ولإيجاد عدد الأشخاص الذين لا يمتلكون إلا قططًا، نأخذ ٤١ شخصًا ممن يمتلكون قططًا، ونطرح منهم عدد الأشخاص الذين يمتلكون قططًا وحيوانات أليفة أخرى، أي إنه في هذه الحالة عددهم يساوي أربعة زائد ثمانية زائد اثنين. وبذلك، يمكننا القول إن عدد الأشخاص الذي لا يمتلكون إلا قططًا هو ٢٧.

علينا الآن إيجاد عدد الأشخاص الذين لا يمتلكون إلا أرانب. لدينا ٢٨ شخصًا يمتلكون أرانب. كما أن من بينهم شخصًا واحدًا، وثمانية أشخاص، وشخصين يمتلكون حيوانات أليفة أخرى. ‏٢٨ ناقص واحد زائد ثمانية زائد اثنين يساوي ١٧. إذن، لدينا ١٧ شخصًا يمتلكون أرانب ولا يمتلكون حيوانات أليفة أخرى.

قبل أن ننتهي، توجد مجموعة أخرى من الأشخاص يمكننا إضافتها إلى هذا الشكل. نريد أن نتحقق مما إذا كان يوجد أشخاص من هذه العينة لا يمتلكون حيوانات أليفة. وفي حالة وجودهم، يمكننا أن نضعهم خارج هذه الدوائر الثلاث. لفعل ذلك، نجمع عدد الأشخاص الذين يمتلكون حيوانات أليفة ونطرحه من ١٠٠. والعدد المتبقي سيكون هو عدد الأشخاص الذين لا يمتلكون حيوانات أليفة. ولكن، علينا أن ننتبه حتى لا نعد الأشخاص أكثر من مرة. وهذا يعني أننا سنحصي الأشخاص الذي يمتلكون كلابًا فقط، والأشخاص الذين يمتلكون قططًا وكلابًا فقط، والأشخاص الذين يمتلكون قططًا وكلابًا وأرانب، والأشخاص الذين يمتلكون قططًا فقط، والأشخاص الذين يمتلكون قططًا وأرانب فقط، والأشخاص الذين يمتلكون أرانب فقط، والأشخاص الذين يمتلكون كلابًا وأرانب فقط.

في شكل فن هذا نجد تقاطع ثلاث دوائر، يكون سبع فئات. وهذا يعني أننا سنجمع هذه القيم السبع معًا. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ٩٢. وإذا كان ٩٢ شخصًا يمتلكون حيوانات أليفة، وأخذت عينة مكونة من ١٠٠ شخص، فإننا نستنتج أن ثمانية أشخاص منهم ليس لديهم حيوانات أليفة، ومن ثم نضعهم خارج هذه الدوائر.

ربما نفكر في أن هذه الطريقة تتطلب الكثير من العمليات الحسابية. لم لا نجمع إجمالي عدد الأشخاص المالكين لكل من الكلاب والقطط والأرانب معًا؟. وإذا فعلنا ذلك، نحصل على ٤٦ زائد ٤١ زائد ٢٨ يساوي ١١٥. وهنا، يتبين لنا أن هذه الطريقة غير مجدية لأنها لا تحذف الأشخاص الذين يمتلكون قططًا وكلابًا معًا، وقططًا وأرانب معًا، وكلابًا وأرانب معًا، والأنواع الثلاثة معًا. إذا فعلنا ذلك إذن، فسيكون لدينا تكرارات لبعض الأشخاص، وهذا يجعل قيم احتمالاتنا غير دقيقة.

والآن، نحن جاهزون لاستخدام شكل فن هذا للإجابة عن الأسئلة الأربعة. الاحتمال الأول الذي نبحث عنه هو اختيار شخص يمتلك كلابًا وقططًا وأرانب. إنه هذا العدد الموجود في منتصف شكل فن. أي إن ثمانية أشخاص يمتلكون كلابًا وقططًا وأرانب من بين ١٠٠ شخص يشملهم الاستطلاع. كلا العددين ثمانية و١٠٠ يقبلان القسمة على أربعة. إذن، احتمال الاختيار العشوائي لشخص يمتلك كلابًا وقططًا وأرانب في أبسط صورة هو اثنان من ٢٥.

بعد ذلك، نحسب احتمال الاختيار العشوائي لشخص يمتلك كلابًا وأرانب فقط. وهذا يعني أن هذا الشخص لا يمكن أن يمتلك قططًا. عندما ننظر إلى التقاطع بين فئتي الكلاب والأرانب، نرى عددين، وهما واحد وثمانية. ولكن العدد ثمانية في المنتصف يشمل الأشخاص الذين يمتلكون كلابًا وأرانب وقططًا. وهذا يعني أنه يوجد شخص واحد فقط يمتلك كلابًا وأرانب ولا يمتلك قططًا. إذن، احتمال اختيار هذا الشخص هو واحد من ١٠٠.

احتمال اختيار شخص يمتلك حيوانات أليفة هو ٩٢ من ١٠٠. كلا العددين ٩٢ و١٠٠ يقبلان القسمة على أربعة. وعندما نبسط، نحصل على ٢٣ من ٢٥.

وأخيرًا، فإن احتمال اختيار شخص ليس لديه حيوانات أليفة، هو من هؤلاء الأشخاص الثمانية الذين لا ينتسبون لأي أي فئة في شكل فن، أي ثمانية على ١٠٠، وهو ما يبسط إلى اثنين من ٢٥.

من الجدير بالملاحظة هنا أن مجموع الإجابتين الأخيرتين يساوي واحدًا. هذا يعني أن احتمال اختيار شخص يمتلك حيوانات أليفة زائد احتمال اختيار شخص لا يمتلك حيوانات أليفة يجب أن يساوي واحدًا. وهو ما يمثل جميع الأشخاص في المجموعة. وعندما يحدث هذا، نقول إن هذين الاحتمالين مكملان أحدهما للآخر.