نسخة الفيديو النصية
وتر في دائرة ونصف قطرها طول كل منهما يساوي ٢٤ سنتيمترًا. أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى لأقرب منزلتين عشريتين.
سنبدأ برسم هذه الدائرة التي نصف قطرها يساوي ٢٤ سنتيمترًا. يوجد وتر طوله ٢٤ سنتيمترًا أيضًا. تذكر أن الوتر هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة، لذلك فإن الوتر يبدو هكذا. مطلوب منا الآن إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى. حسنًا، دائمًا ما يقسم كل وتر الدائرة إلى قطعتين دائرتين: قطعة دائرية صغرى، وهي أصغر من نصف الدائرة، وقطعة دائرية كبرى، وهي أكبر من نصف الدائرة. إذن، المساحة التي نبحث عنها هي المساحة المظللة باللون الوردي. لإيجاد هذه المساحة، دعونا أولًا نرسم نصف قطر آخر للدائرة، وهو نصف القطر الذي يصل بين الطرف الآخر لهذا الوتر ومركز الدائرة. وبالطبع، طول نصف القطر هذا يساوي أيضًا ٢٤ سنتيمترًا.
يمكن بعد ذلك إيجاد مساحة هذه القطعة الدائرية الصغرى من خلال الفرق بين مساحة القطاع المحدد باللون البرتقالي ومساحة المثلث المكون من نصفي القطرين والوتر. الآن، لإيجاد كل مساحة من هذه المساحات، علينا معرفة قياس الزاوية المركزية للقطاع. يمكن إيجادها بسهولة نسبيًّا. نظرًا لأن لنصفي القطرين والوتر نفس الطول، فهذا مثلث متساوي الأضلاع. ونعرف أن جميع قياسات زوايا المثلث المتساوي الأضلاع تساوي ٦٠ درجة، أو 𝜋 على ثلاثة راديان. يمكننا اختيار استخدام الدرجات أو الراديان في هذه المسألة. وبما أن صيغ مساحة القطاعات ومساحة القطع الدائرية تكون أكثر وضوحًا بالراديان، دعونا نختر طريقة الحل بالراديان.
صيغة المساحة للقطاع الذي نصف قطره نق وزاويته المركزية 𝜃 مقيسة بالراديان هي نصف نق تربيع 𝜃. لإيجاد مساحة المثلث الأخضر، يمكننا استخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث. بوجه عام، هذه الصيغة هي نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ، حيث ﺃ شرطة وﺏ شرطة يمثلان طولي ضلعين في المثلث، وﺟ يمثل قياس الزاوية المحصورة بينهما. في هذا المثلث، يمكننا استخدام نصفي القطرين والزاوية المحصورة بينهما، وهي الزاوية المركزية للقطاع، أي 𝜃. إذن، نحصل على نصف نق تربيع جا 𝜃. يمكن تحليل هذه الصيغة بأخذ نصف نق تربيع عاملًا مشتركًا. إذن، نحصل على نصف نق تربيع مضروبًا في 𝜃 ناقص جا 𝜃. ويمكننا، إذا أردنا، أن نتعلم هذه الصيغة باعتبارها الصيغة العامة لمساحة قطعة دائرية.
لحل هذه المسألة، علينا التعويض بـ ٢٤ عن قيمة نق وبـ 𝜋 على ثلاثة عن قيمة 𝜃. إذن، نحصل على نصف مضروبًا في ٢٤ تربيع مضروبًا في 𝜋 على ثلاثة ناقص جا 𝜋 على ثلاثة. نصف مضروبًا في ٢٤ تربيع يساوي ٢٨٨. و𝜋 على ثلاثة هي إحدى الزوايا الخاصة التي يمكن لقيم النسب المثلثية: الجيب، وجيب التمام، والظل التعبير عنها تعبيرًا تامًّا بدلالة الجذور الصماء وخوارج القسمة. جا 𝜋 على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، نحصل على ٢٨٨ مضروبًا في 𝜋 على ثلاثة ناقص جذر ثلاثة على اثنين.
الآن مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين، لذا علينا إيجاد قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، وهو ما يعطينا ٥٢٫١٧٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام. الرقم الموجود في المنزلة العشرية الثالثة هو سبعة. إذن، سنقرب لأعلى إلى ٥٢٫١٨. وحدة قياس الطول في السؤال هي السنتيمتر، إذن وحدة قياس هذه المساحة ستكون السنتيمتر المربع. بذلك نكون قد أوجدنا أن مساحة هذه القطعة الدائرية الصغرى لأقرب منزلتين عشريتين تساوي ٥٢٫١٨ سنتيمترًا مربعًا.
