فيديو السؤال: إيجاد نهاية الفرق بين قوى أسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية ﺱ ناقص أربعة تربيع ناقص ١٦ على ﺱ عندما يقترب ﺱ من صفر.

أولًا علينا تجربة التعويض المباشر هنا: هل يمكننا التعويض بصفر في المقدار؟ عند التعويض عن ﺱ بصفر، نحصل على صفر ناقص أربعة تربيع ناقص ١٦ الكل مقسومًا على صفر. صفر ناقص أربعة يساوي سالب أربعة وسالب أربعة تربيع يساوي ١٦. بمزيد من التبسيط، نجد أن التعويض المباشر بصفر في المقدار يعطينا الصيغة غير المعينة صفر على صفر.

علينا أن نفكر بطريقة أكثر ذكاء هنا. علينا تبسيط هذا المقدار أولًا قبل التعويض فيه. أول شيء علينا فعله هو التوزيع. ‏ﺱ ناقص أربعة تربيع يصبح ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد ١٦. يمكننا بعد ذلك إلغاء موجب ١٦ مع سالب ١٦. إذن يتبقى لدينا ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ في البسط.

كلا حدي البسط يتضمنان العامل ﺱ. إذن يمكننا تحليل البسط إلى ﺱ في ﺱ ناقص ثمانية. ثم يلغي عامل ﺱ في البسط العامل ﺱ في المقام، فيتبقى ﺱ ناقص ثمانية. وبما أن هذين المقدارين متساويان، لا بد أن نهايتيهما متساويتان أيضًا. ورغم أن التعويض المباشر في الطرف الأيمن أعطانا الصيغة غير المعينة صفر على صفر، فإن التعويض المباشر في الطرف الأيسر — التعويض عن ﺱ بصفر — يعطينا سالب ثمانية. إذن، قيمة النهاية التي نريدها هي سالب ثمانية.

أحد الأسئلة المنطقية المطروحة هنا هي أنه بافتراض أن المقدارين متساويان، فلماذا أعطانا التعويض بصفر في الطرف الأيمن إجابة مختلفة عن تلك التي حصلنا عليها عند التعويض بصفر في الطرف الأيسر؟ في الطرف الأيمن، لدينا الصيغة غير المعينة صفر على صفر وفي الطرف الأيسر، لدينا سالب ثمانية. الإجابة هي أنه في الخطوة الأخيرة من العملية الجبرية، التي ألغينا فيها العامل ﺱ في البسط والعامل ﺱ في المقام، حولنا مقدارًا غير معرف عندما ﺱ يساوي صفرًا إلى مقدار معرف.

المقداران متساويان لكل قيم ﺱ غير الصفرية. أما بالنسبة لـ ﺱ يساوي صفرًا، فإن المقدار في الطرف الأيمن غير معرف. وإذا كنا نتحدث عن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر، فإننا لا نهتم بقيمة المقدار عندما يساوي ﺱ صفرًا. بل نهتم بقيم ﺱ القريبة فقط من الصفر. وهذه النهايات في الواقع متساوية فعلًا. ورأينا أنها تساوي سالب ثمانية.