نسخة الفيديو النصية
احسب متوسط معدل تغير الدالة ﺩ في المتغير ﺱ يساوي سالب سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة عندما تتغير ﺱ من واحد إلى ١٫٥.
لحل هذه المسألة، سنستخدم صيغة لمتوسط معدل التغير. لأي دالة ﺩ في المتغير ﺱ، يكون متوسط معدل تغير الدالة ﺩ في المتغير ﺱ عندما يتغير ﺱ من ﺃ إلى ﺏ بهذه الصيغة: ﺩ في المتغير ﺏ ناقص ﺩ في المتغير ﺃ الكل مقسوم على ﺏ ناقص ﺃ.
إذا قارنا هذا التعريف بمسألتنا، فسنجد أن قيمة ﺃ هي واحد وقيمة ﺏ هي واحد ونصف. علينا كذلك إيجاد قيمتي الدالة ﺩ لـ ﺃ والدالة ﺩ لـ ﺏ، وذلك بالتعويض في هذا المقدار هنا. إذن بالتعويض بواحد، نحصل على سالب سبعة في واحد تربيع ناقص ثلاثة في واحد زائد ثلاثة. وبحساب ذلك، نحصل على سالب سبعة.
نوجد كذلك الدالة ﺩ لـ ﺏ، والتي هي الدالة ﺩ لـ ١٫٥ إذ رأينا سابقًا أن ﺏ يساوي ١٫٥. ومرة أخرى، كل ما علينا فعله هو التعويض. هذه المرة نعوض بـ ١٫٥ بدلًا من واحد. وهذه المرة نحصل على سالب ١٧٫٢٥.
إذن الآن لدينا هذه القيم. لنعوض بها في الصيغة التي لدينا، متوسط معدل التغير هنا. وبالطبع نتذكر أن ﺩ لواحد هي ﺩ لـ ﺃ لأن ﺃ يساوي واحدًا. وبالمثل، ﺩ لـ ١٫٥ هي ﺩ لـ ﺏ. ويمكننا رؤية هذا بوضوح عندما نعوض عن قيم ﺃ وﺏ في الصيغة، إذ نحصل على ﺩ لـ ١٫٥ ناقص ﺩ لواحد على ١٫٥ ناقص واحد.
وبالتعويض عن قيمتي ﺩ لـ ١٫٥ وﺩ لواحد، نحصل على سالب ١٧٫٢٥ ناقص سالب سبعة الكل على ١٫٥ ناقص واحد. وبحساب قيمتي البسط والمقام، نحصل على سالب ١٠٫٢٥ على ٠٫٥. وأخيرًا، نحصل على سالب ٢٠٫٥. هذا متوسط معدل تغير الدالة ﺩ في المتغير ﺱ تساوي سالب سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة عندما يتغير ﺱ من واحد إلى ١٫٥. يمكننا تصور هذا في بدلالة التمثيل البياني للدالة ﺩ في المتغير ﺱ حيث يتغير ﺱ من واحد إلى ١٫٥.
رأينا أن قيمة الدالة ﺩ في المتغير ﺱ تتغير من سالب سبعة إلى سالب ١٧٫٢٥. ويتضح أن متوسط معدل تغير الدالة بين هاتين القيمتين للمتغير ﺱ هو انحدار القطعة المستقيمة بين نقطتي نهاية المنحنى. إذن الانحدار، والمعروف أيضًا باسم الميل، يساوي سالب ٢٠٫٥. إذا كان هذا تمثيلًا بيانيًا للإزاحة مع الزمن، حيث تمثل ﺩ الإزاحة وهي دالة في المتغير ﺱ وهو الزمن، فسيكون متوسط معدل تغير ﺩ هو متوسط السرعة في الفترة من واحد إلى ١٫٥.
