نسخة الفيديو النصية
إذا كان واحد و١٢ جذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ﻡﺱ زائد ﻥ يساوي صفرًا، فأوجد قيمتي ﻡ وﻥ.
ما يخبرنا به هذا السؤال هو أن واحدًا و١٢ هما جذرا المعادلة أو حلاها. والمعادلة التي نتناولها هي معادلة تربيعية على الصورة ﺱ تربيع زائد ﻡﺱ زائد ﻥ يساوي صفرًا. لكن لدينا في الواقع طريقتين يمكننا استخدامهما لمساعدتنا في حل هذه المسألة. إذن، سنلقي نظرة على الطريقة الأولى، والمتعلقة باستخدام الصورة التحليلية للمعادلة التربيعية.
حسنًا، نعلم أن الدالة التربيعية في الصورة التحليلية ستكون ﺱ ناقص واحد مضروبًا في ﺱ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. لذا، قد تتساءل «كيف تمكنا من الحصول على الصورة التحليلية مباشرة؟» حسنًا، عندما تكون لدينا الصورة التحليلية لدالة تربيعية، فإن قيمتي ﺱ، أو الحلين أو الجذرين، هما القيمتان اللتان تجعلان كلًّا من القوسين يساوي صفرًا. على سبيل المثال، إذا كان لديك ﺱ يساوي واحدًا، فإن واحدًا ناقص واحد يساوي صفرًا فيما يتعلق بالقوس الأيمن. وإذا كانت قيمة ﺱ تساوي ١٢، فإن ١٢ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. ونريد أن يساوي أحد القوسين صفرًا؛ لأن الناتج في الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا. وإذا كان لدينا صفر مضروبًا في أي شيء، فسنحصل على صفر. رائع. حسنًا، لقد حصلنا على المعادلة التربيعية في الصورة التحليلية. إذن، ما الذي نريد فعله بعد ذلك؟
الآن، كي نتمكن من حساب قيمتي ﻡ وﻥ، ما سنفعله هو توزيع القوسين. أولًا، سنحصل على ﺱ مضروبًا في ﺱ، وهو ما يساوي ﺱ تربيع. ثم، سنحصل على ﺱ مضروبًا في سالب ١٢، ما يعطينا سالب ١٢ﺱ. ومن ثم، ننتقل بعد ذلك إلى سالب واحد في القوس الأول. وذلك لأننا ضربنا ﺱ في حدي القوس الثاني. وعليه، لدينا سالب واحد مضروبًا في ﺱ. إذن، لدينا ناقص ﺱ. وأخيرًا، لدينا سالب واحد مضروبًا في سالب ١٢، وهو ما يعطينا موجب ١٢. إذن، لدينا ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ ناقص ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا.
حسنًا، الآن الخطوة الأخيرة هي تبسيط المعادلة التربيعية، وذلك من خلال تجميع الحدود المتشابهة. إذن، بفعل ذلك، نحصل على ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا. والآن، إذا عدنا إلى المعادلة الأصلية، فإن ما يمكننا ملاحظته هو أن معامل ﺱ هو ﻡ وأن القيمة العددية وحدها هي ﻥ. إذن، يمكننا القول إن قيمة ﻡ تساوي سالب ١٣، وقيمة ﻥ تساوي ١٢.
رائع. ذكرنا أنه يمكننا استخدام طريقتين مختلفتين لحل هذه المسألة. وهذه هي الطريقة الأولى. سنتناول الآن طريقة أخرى. حسنًا، في الطريقة الثانية، ما علينا فعله هو إلقاء نظرة على المعادلة التربيعية، ونلاحظ أنها على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ولدينا مجموعة خاصة من العلاقات للتعامل مع جذري المعادلة. حسنًا، العلاقتان اللتان نتناولهما هما مجموع الجذرين يساوي سالب ﺏ على ﺃ، وحاصل ضرب الجذرين يساوي ﺟ على ﺃ.
حسنًا، كما أشرنا في الطريقة الأولى، الجذران هما واحد و١٢. ومن ثم، ما يمكننا تحديده أيضًا هو ﺃ وﺏ وﺟ. حسنًا، ﺃ يساوي واحدًا لأننا حصلنا على ﺱ تربيع منفردة وﺏ يساوي ﻡ وﺟ يساوي ﻥ. وعليه، باستخدام العلاقة الأولى، وهي مجموع الجذرين يساوي سالب ﺏ على ﺃ، يمكننا القول إن واحدًا زائد ١٢ يساوي سالب ﻡ على واحد. إذن، يمكننا القول إن ١٣ يساوي سالب ﻡ. ثم إذا قسمنا الطرفين على سالب واحد، فسنحصل على سالب ١٣ يساوي ﻡ، وهو ما حصلنا عليه بالطريقة الأولى. رائع، أوجدنا قيمة ﻡ. والآن دعونا نوجد قيمة ﻥ.
حسنًا، لإيجاد قيمة ﻥ، سنستخدم العلاقة الثانية، وهي أن حاصل ضرب الجذرين يساوي ﺟ على ﺃ. حسنًا، سيعطينا هذا واحدًا مضروبًا في ١٢ يساوي ﻥ على واحد. إذن، يمكننا القول إن ١٢ يساوي ﻥ. لذا، مرة أخرى، هذه القيمة هي نفس القيمة التي حصلنا عليها في الطريقة الأولى. إذن، يمكننا التأكيد على أن قيمتي ﻡ وﻥ هما سالب ١٣ و١٢، على الترتيب.
