فيديو الدرس: ربط الحجوم ومساحات السطوح الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نربط حجوم الأشكال المختلفة ومساحات سطوح الأشكال المختلفة، وحجم شكل بمساحة سطحه. بما أن ما يعنينا هو الربط بين حجوم الأشكال ومساحات سطوحها، فسنبدأ بتذكر الصيغ المستخدمة لحساب هذه الكميات.

سنبدأ بتناول حجم الكرة ومساحة سطحها. إذا افترضنا أن نق هو نصف قطر الكرة، فإن حجمها ﺡ يعطى بالعلاقة ﺡ يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏نق تكعيب. ومساحة سطحها ﻡ تساوي أربعة ‏𝜋‏نق تربيع. نلاحظ أن كلتا الصيغتين بهما متغير واحد فقط، وهو نصف القطر نق. هذا يعني أنه إذا كان لدينا طول نصف القطر، فإنه يمكننا حساب كل من الحجم ومساحة السطح. وبدلًا من ذلك، إذا كان لدينا مساحة السطح ﻡ، فإنه يمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة لجعل نق هو المتغير التابع. بقسمة الطرفين على أربعة ‏𝜋‏ ثم حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على نق يساوي الجذر التربيعي لـ ﻡ على أربعة ‏𝜋‏. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة نصف القطر هذه في الصيغة الأولى لدينا لحساب الحجم. تنطبق هذه العملية أيضًا بطريقة عكسية. فإذا كان لدينا الحجم، يمكننا إيجاد طول نصف القطر وبالتبعية مساحة السطح.

سنتناول الآن مثالًا على هذا النوع من المسائل.

إذا كان حجم كرة ٥٦٢٫٥‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا، فأوجد مساحة سطحها بدلالة ‏𝜋‏.

نبدأ بتذكر أن حجم الكرة ﺡ يمكن حسابه باستخدام الصيغة أربعة أثلاث ‏𝜋‏نق تكعيب؛ حيث نق هو نصف قطر الكرة. يمكننا أيضًا حساب مساحة سطح الكرة ﻡ باستخدام الصيغة ﻡ تساوي أربعة ‏𝜋‏نق تربيع. في هذا السؤال، لدينا الحجم بوحدة السنتيمتر المكعب. ويمكننا استخدام ذلك لحساب طول نصف قطر الكرة ثم مساحة سطحها.

بالتعويض بقيمة ﺡ التي تساوي ٥٦٢٫٥‏𝜋‏، نحصل على المعادلة الآتية. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة نق بقسمة الطرفين على ‏𝜋‏ أولًا. ويمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على أربعة أثلاث، وهو ما يساوي ضرب كلا الطرفين في ثلاثة أرباع. هذا يعطينا ٤٢١٫٨٧٥ يساوي نق تكعيب. وأخيرًا، يمكننا أخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي هذه المعادلة لحساب قيمة نق. هذا يساوي ٧٫٥. ومن ثم، فإن طول نصف قطر الكرة يساوي ٧٫٥ سنتيمترات.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في صيغة مساحة السطح. لدينا ﻡ تساوي أربعة ‏𝜋‏ مضروبًا في ٧٫٥ تربيع. بتربيع ٧٫٥، نحصل على ٥٦٫٢٥. وبضرب هذه القيمة في أربعة ‏𝜋‏، نحصل على ﻡ تساوي ٢٢٥‏𝜋‏. وبما أن طول نصف القطر مقيس بوحدة السنتيمتر، يمكننا استنتاج أن مساحة سطح الكرة تساوي ٢٢٥‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا.

في المثال الآتي، سنتناول أسطوانة. لذا سنذكر أولًا صيغتي حجم الأسطوانة ومساحة سطحها. الأسطوانة المرسومة نصف قطر قاعدتها نق وارتفاعها ﻉ. وعليه، فإننا نعلم أن حجمها ﺡ يساوي ‏𝜋‏نق تربيع مضروبًا في ﻉ. وتعطى مساحة السطح الكلية ﻡ بصيغة أكثر تعقيدًا. إنها تساوي اثنين ‏𝜋‏نقﻉ زائد اثنين ‏𝜋‏نق تربيع. هذه الصيغة ترجع إلى حقيقة أن المساحة الجانبية للأسطوانة عبارة عن مساحة مستطيل، وأن طرفيها عبارة عن دائرتين. إننا نعلم أن مساحة الدائرة تساوي ‏𝜋‏نق تربيع، ولدينا هنا دائرتان. كما نعلم أن مساحة المستطيل تساوي طوله مضروبًا في عرضه. وفي هذه الحالة، طول المستطيل يساوي محيط الدائرة الموجودة عند أي من الطرفين.

يتضح من هاتين الصيغتين أننا إذا عرفنا طول نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها، يمكننا حساب حجمها ومساحة سطحها. علاوة على ذلك، إذا كان لدينا إما طول نصف القطر أو الارتفاع بالإضافة إلى الحجم أو مساحة السطح، فإنه يمكننا إيجاد القياسين الآخرين. ويمكننا أن نفعل ذلك بإعادة ترتيب الصيغتين لحساب المتغيرين الناقصين. في المثال الآتي، سيكون لدينا مساحة السطح الجانبية لأسطوانة وطول قطرها، ومطلوب منا إيجاد حجمها.

أسطوانة مساحتها الجانبية ٦٥٦ سنتيمترًا مربعًا وطول قطرها ١٠٫٢ سنتيمترات. أوجد حجمها لأقرب سنتيمتر مكعب.

في هذا السؤال، سنبدأ بتحديد المعلومات الأساسية المعطاة في السؤال. في البداية، علمنا من السؤال أن مساحة السطح الجانبية للأسطوانة تساوي ٦٥٦ سنتيمترًا مربعًا. ونتذكر أن هذه المساحة الجانبية تساوي مساحة مستطيل طول قاعدته يساوي اثنين ‏𝜋‏نق؛ أي محيط دائرة الأسطوانة، وارتفاعه يساوي ﻉ. إذن، مساحة السطح الجانبية تساوي اثنين ‏𝜋‏نقﻉ. ومن ثم، يمكننا مساواة ذلك بالقيمة ٦٥٦.

علمنا أيضًا من السؤال أن طول قطر الأسطوانة يساوي ١٠٫٢ سنتيمترات. وبما أن طول نصف القطر يساوي نصف تلك القيمة، فإنه يساوي ٥٫١ سنتيمترات. بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة لدينا، يصبح لدينا اثنان ‏𝜋‏ مضروبًا في ٥٫١ مضروبًا في ﻉ يساوي ٦٥٦. يمكننا تبسيط الطرف الأيمن إلى ١٠٫٢ ‏𝜋‏ مضروبًا في ﻉ. وبقسمة الطرفين على ١٠٫٢ ‏𝜋‏، نحصل على المقدار الآتي الذي يعبر عن ﻉ. بقسمة ٦٥٦ على ١٠٫٢، نجد أن ﻉ يساوي ٣٢٨٠ على ٥١‏𝜋‏.

أصبح لدينا الآن مقدار يعبر عن ارتفاع الأسطوانة بوحدة السنتيمتر. ويطلب منا السؤال حساب حجم الأسطوانة. لكي نفعل ذلك، نتذكر أن حجم أي أسطوانة يساوي ‏𝜋‏نق تربيع ﻉ. إذا افترضنا أن حجم هذه الأسطوانة هو ﺡ، فإن ﺡ يساوي ‏𝜋‏ مضروبًا في ٥٫١ تربيع مضروبًا في ٣٢٨٠ على ٥١‏𝜋‏. يمكننا حذف العامل المشترك ‏𝜋‏ من كل من البسط والمقام. وبكتابة بقية الطرف الأيسر على الآلة الحاسبة، يصبح لدينا ﺡ يساوي ١٦٧٢٫٨.

مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر مكعب. وهذا يعني أن الأسطوانة التي مساحتها الجانبية تساوي ٦٥٦ سنتيمترًا مربعًا، وطول قطرها يساوي ١٠٫٢ سنتيمترات، حجمها يساوي ١٦٧٣ سنتيمترًا مكعبًا، لأقرب سنتيمتر مكعب.

قبل أن نتناول المثال الآتي، سنذكر الصيغ التي نستخدمها لحساب حجم ومساحة سطح متوازيات المستطيلات والمكعبات. إذا كان طول متوازي مستطيلات ﻝ وعرضه ﺽ وارتفاعه ﻉ كما هو موضح، فإن حجمه ﺡ يعطى بالعلاقة ﺡ يساوي ﻝ مضروبًا في ﺽ مضروبًا في ﻉ. ومساحة سطح متوازي المستطيلات ﻡ تعطى بالعلاقة ﻡ تساوي اثنين مضروبًا في ﻝﺽ زائد ﺽﻉ زائد ﻉﻝ. من ناحية أخرى، إذا كان لدينا مكعب؛ حيث يتساوى فيه الطول والعرض والارتفاع، فإن الحجم ﺡ يساوي ﻝ تكعيب، ومساحة السطح ﻡ تساوي ستة ﻝ تربيع. في المثال التالي، سنحتاج إلى ربط حجم شكلين مختلفين معًا.

إذا رسمت كرة داخل مكعب حجمه ثمانية سنتيمترات مكعبة، فما حجم الكرة؟

يتمثل حل هذا السؤال في القدرة على ربط أبعاد المكعب بالكرة. بما أن الكرة مرسومة داخل المكعب، فهذا يعني أن الكرة تمس كل وجه من أوجه المكعب دون وجود أي فجوات بينهما. وعليه، فإن طول قطر الكرة ﻕ يساوي طول المكعب ﻝ. وبدلًا من ذلك، يمكننا القول إن طول نصف القطر نق يساوي نصف طول المكعب.

بعد ذلك، نتذكر أن حجم أي مكعب يساوي طول ضلعه تكعيب. وفي هذا السؤال، نعلم أن هذا الحجم يساوي ثمانية سنتيمترات مكعبة. هذا يعني أن ﻝ تكعيب يساوي ثمانية. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التكعيبي لكلا الطرفين؛ بحيث ﻝ يساوي اثنين. ومن ثم، فإن طول ضلع المكعب يساوي سنتيمترين.

لقد أوضحنا بالفعل أن طول نصف قطر الكرة يساوي نصف طول هذا الضلع. ومن ثم، فإن هذا يساوي سنتيمترًا واحدًا. ويمكننا حساب حجم أي كرة بمعرفة طول نصف قطرها. نتذكر أن الحجم يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏نق تكعيب. إذا افترضنا أن حجم الكرة هو ﺡ، فإن ﺡ يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏ مضروبًا في واحد تكعيب. وهذا ببساطة يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏. إذن، يمكننا استنتاج أنه إذا كان حجم المكعب ثمانية سنتيمترات مكعبة، وكانت الكرة مرسومة داخل هذا المكعب، فإن حجمها يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏ سنتيمتر مكعب.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا؛ حيث يكون لدينا عدة كرات مجمعة معًا، وعلينا التفكير في علاقتها بأسطوانة ما.

رسمت ثلاث كرات داخل أسطوانة، كما هو موضح في الشكل. إذا كان حجم الكرة ٣٦‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا، فأوجد مساحة السطح الكلية للأسطوانة.

في هذا السؤال، علينا التفكير في كيفية ربط كرة واحدة بأبعاد الأسطوانة التي تحتوي على الكرات الثلاث. لكي نفعل ذلك، يمكننا الاستفادة من حقيقة أن الكرات مرسومة داخل الأسطوانة، وهذا يعني أنها تناسب أبعاد الأسطوانة بالضبط دون وجود أي فجوات بالأعلى أو بالأسفل أو في الجوانب. ويعني هذا تحديدًا أن أطوال أنصاف أقطار الكرات في الأسطوانة يجب أن تكون متساوية. كما يعني هذا أن ارتفاع الأسطوانة يجب أن يساوي ثلاثة أمثال طول قطر الكرة الواحدة، أو ستة أمثال طول نصف قطر الكرة الواحدة. إذا افترضنا أن نق هو نصف القطر، فإن ارتفاع الأسطوانة يساوي ستة نق.

لإيجاد مساحة السطح الكلية للأسطوانة، علينا أولًا إيجاد قيمة نق؛ حيث سنحصل منها على طول نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها. نتذكر أن حجم الكرة يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏نق تكعيب. وفي هذا السؤال، نعلم أن حجم الكرة يساوي ٣٦‏𝜋‏. بمساواة هذين المقدارين معًا، يصبح لدينا أربعة أثلاث ‏𝜋‏نق تكعيب يساوي ٣٦‏𝜋‏.

يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة نق بقسمة الطرفين على ‏𝜋‏ أولًا. بعد ذلك، سنقسم طرفي هذه المعادلة على أربعة أثلاث، وهو ما يساوي الضرب في ثلاثة أرباع، وهو ما يعطينا نق تكعيب يساوي ٢٧. وبحساب الجذر التكعيبي لطرفي هذه المعادلة، نجد أن نق يساوي ثلاثة. إذن، طول نصف قطر كل كرة من الكرات، ومن ثم الأسطوانة، يساوي ثلاثة سنتيمترات. بضرب هذه القيمة في ستة، نجد أن ارتفاع الأسطوانة يساوي ١٨ سنتيمترًا.

بعد ذلك، نتذكر أن مساحة السطح الكلية للأسطوانة تساوي اثنين ‏𝜋‏نقﻉ زائد اثنين ‏𝜋‏نق تربيع. وتتكون هذه المساحة من المساحة الجانبية، التي هي عبارة عن مساحة مستطيل، ومساحتي الدائرتين عند كلا الطرفين. بافتراض أن مساحة السطح الكلية هي ﻡ، وبالتعويض بقيمتي نق وﻉ، نحصل على ﻡ تساوي اثنين ‏𝜋‏ مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ١٨ زائد اثنين ‏𝜋‏ مضروبًا في ثلاثة تربيع. هذا يساوي ١٠٨‏𝜋‏ زائد ١٨‏𝜋‏، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٢٦‏𝜋‏. إذن، مساحة السطح الكلية للأسطوانة الموضحة في الشكل تساوي ١٢٦‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. في هذا الفيديو، رأينا أنه بالنسبة للكرة، إذا كان لدينا أي من الحجم ﺡ أو نصف القطر نق أو مساحة السطح ﻡ، فإنه يمكننا إيجاد القياسين الآخرين باستخدام الصيغتين: ﺡ يساوي أربعة أثلاث ‏𝜋‏نق تكعيب، وﻡ تساوي أربعة ‏𝜋‏نق تربيع. عند التعامل مع الأسطوانة، إذا كان لدينا طول نصف القطر نق والارتفاع ﻉ، فإنه يمكننا إيجاد الحجم ﺡ ومساحة السطح ﻡ باستخدام الصيغتين: ﺡ يساوي ‏𝜋‏نق تربيع ﻉ، وﻡ تساوي اثنين ‏𝜋‏نقﻉ زائد اثنين ‏𝜋‏نق تربيع.

علاوة على ذلك، إذا كان لدينا أي من الحجم أو مساحة السطح بالإضافة إلى طول نصف القطر أو الارتفاع، فإنه يمكننا حساب القياسين الآخرين عن طريق إعادة الترتيب. بالنسبة إلى متوازي المستطيلات أو المكعب، إذا كان لدينا الطول ﻝ والعرض ﺽ والارتفاع ﻉ، فإنه يمكننا إيجاد الحجم ﺡ ومساحة السطح ﻡ باستخدام الصيغتين: ﺡ يساوي ﻝﺽﻉ، وﻡ تساوي اثنين مضروبًا في ﻝﺽ زائد ﺽﻉ زائد ﻉﻝ. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان لدينا بعدان من أبعاد متوازي المستطيلات وأي من الحجم أو مساحة السطح، فإنه يمكننا مرة أخرى إيجاد القياسين المتبقيين عن طريق إعادة الترتيب. وأخيرًا، في المثال الأخير، رأينا أنه في المسائل التي لدينا فيها أشكال مختلفة، يمكننا الربط بينها باستخدام المعلومات المعطاة لنا في المسألة وإعادة ترتيب الصيغ السابقة.