فيديو: حل معادلتين في متغيرين جبريًّا

يوضح الفيديو كيفية الحل الجبري لمعادلتين من متغيرين باستخدام التعويض، وأمثلةً عليها.

٠٩:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

دلوقتي هنتكلّم عن حل معادلتين في متغيرين جبريًّا. يعني إيه نحل معادلتين؟ يعني نجيب الأزواج المرتبة، اللي بتحقّق المعادلتين في نفس الوقت. هنحل المعادلتين جبريًّا. هنستخدم طريقة التعويض.

طريقة التعويض: بعبّر عن قيمة أحد المتغيرين، بدلالة المتغيّر الآخر من المعادلة الأولى. وبعدين بعوّض في المعادلة التانية، عشان أحصل على معادلة واحدة في مجهول واحد. بحل المعادلة عن طريق التحليل، أو القانون العام. وبرجع أعوّض في المعادلة الأولى، عشان أحصل على قيمة المتغيّر التاني.

دلوقتي هناخد مثال. أوجد مجموعة حل المعادلتين، بطريقة التعويض. المعادلة الأولى هي: ص تساوي اتنين س تربيع زائد تلاتة س ناقص ستة. المعادلة التانية: ص تساوي سالب س تربيع.

بما إنه الطرف اليمين لكلٍّ من المعادلتين، هو ص. يعني أقدر أقول إن الطرف اليسار للمعادلة الأولى، هيساوي الطرف اليسار للمعادلة التانية. يعني أقدر أقول إنه اتنين س تربيع زائد تلاتة س ناقص ستة، هتساوي سالب س تربيع. عشان أتخلص من سالب س تربيع، هجمع على طرفَي المعادلة، س تربيع. وبكده أقدر أقول إنه تلاتة س تربيع زائد تلاتة س ناقص ستة، هتساوي صفر.

هقسم طرفَي المعادلة على تلاتة، معامل الـ س تربيع. هحصل على س تربيع زائد س ناقص اتنين، هتساوي صفر. معادلة تربيعية، هحلّلها لقوسين، حاصل ضربهم يساوي صفر. وكل قوس هيبتدي بِـ س. وهفكّر في رقمين، حاصل ضربهم يساوي سالب اتنين، ومجموعهم يساوي واحد. والرقمين هم: اتنين، وسالب واحد.

وبكده أقدر أقول إنه س زائد اتنين هتساوي صفر، أو س ناقص واحد تساوي صفر. هطرح اتنين من طرفَي المعادلة الأولى، هحصل على س تساوي سالب اتنين. وهجمع واحد على طرفَي المعادلة التانية، هحصل على س تساوي واحد.

دلوقتي هعوّض في المعادلة التانية. مرة عن س تساوي سالب اتنين، ومرة عن س تساوي واحد. عشان أجيب قيم ص. يعني أقدر أقول إنه ص تساوي سالب س تربيع. وبكده لمّا س تساوي سالب اتنين، ص هتساوي سالب أربعة. ولمّا س تساوي واحد، ص هتساوي سالب واحد.

وبكده أقدر أقول إنه مجموعة الحل هتساوي الزوج المرتب سالب اتنين وسالب أربعة، والزوج المرتب واحد وسالب واحد. وبكده أكون جِبت مجموعة حل المعادلتين جبريًّا، بطريقة التعويض.

هناخد مثال تاني في الصفحة اللي جايّة. أوجد مجموعة حل المعادلتين جبريًّا. المعادلة الأولى هي: ص تساوي نص س. المعادلة التانية: اتنين س تربيع ناقص ص تربيع هتساوي سبعة.

هنستخدم طريقة التعويض. هعوّض في المعادلة التانية، عن ص تساوي نص س. وبكده أقدر أقول إنه اتنين س تربيع ناقص، نص س الكل تربيع، هيساوي سبعة. يعني اتنين س تربيع، ناقص واحد على أربعة س تربيع، هتساوي سبعة. اتنين س تربيع، ممكن أكتبها على صورة: تمنية على أربعة س تربيع. وبكده تمنية على أربعة س تربيع، ناقص واحد على أربعة س تربيع، هتساوي سبعة على أربعة س تربيع، هتساوي سبعة.

هضرب طرفَي المعادلة في المعكوس الضربي لسبعة على أربعة، وهو أربعة على سبعة. عشان أتخلص من معامل الـ س تربيع. وبكده أقدر أقول إنه س تربيع هتساوي سبعة في، أربعة على سبعة. يعني هتساوي أربعة. وبكده هحسب الجذر التربيعي للطرفين. هحصل على س تساوي موجب أو سالب اتنين.

هعوض دلوقتي في المعادلة الأولى. مرة عن س تساوي اتنين، ومرة عن س تساوي سالب اتنين. يعني لمّا س تساوي اتنين، ص تساوي نص في اتنين؛ يعني ص هتساوي واحد. ولمّا س تساوي سالب اتنين، ص هتساوي نص في سالب اتنين؛ يعني ص هتساوي سالب واحد.

وبكده أقدر أقول إنه مجموعة الحل هتساوي الزوج المرتب اتنين وواحد، والزوج المرتب سالب اتنين وسالب واحد. وبكده أكون جِبت مجموعة حل المعادلتين، جبريًّا. في الصفحة اللي جايّة، هناخد مثال تاني.

أوجد مجموعة حل المعادلتين: ص تساوي س زائد واحد. وَ س تربيع زائد ص تربيع هتساوي خمسة وعشرين.

هنحل المعادلتين جبريًّا، بطريقة التعويض. هعوّض في المعادلة التانية، عن ص تساوي س زائد واحد. وبكده أقدر أقول إنه س تربيع زائد، س زائد واحد الكل تربيع، هتساوي خمسة وعشرين. يعني س تربيع زائد … هفكّ المربع الكامل لِـ س تربيع زائد اتنين س زائد واحد، هتساوي خمسة وعشرين.

هجمع الحدود المتشابهة. س تربيع زائد س تربيع، يعني اتنين س تربيع، زائد اتنين س زائد واحد، هتساوي خمسة وعشرين. هطرح من طرفَي المعادلة خمسة وعشرين. هحصل على اتنين س تربيع زائد اتنين س ناقص أربعة وعشرين، تساوي صفر. هقسم طرفَي المعادلة على معامل الـ س تربيع، اللي هو اتنين. هحصل على س تربيع زائد س ناقص اتناشر، هتساوي صفر.

معادلة تربيعية، هحلّلها لقوسين، حاصل ضربهم هيساوي صفر، كل قوس هيبتدي بِـ س. وهفكّر في رقمين، حاصل ضربهم سالب اتناشر، ومجموعهم واحد. وهم: سالب تلاتة، وأربعة. وبكده أقدر أقول إنه يا إمّا القوس الأولاني هيساوي صفر، يعني س ناقص تلاتة تساوي صفر. أو القوس التاني س زائد أربعة يساوي صفر.

هجمع تلاتة على طرفَي المعادلة الأولى، هحصل على س تساوي تلاتة. وهطرح أربعة من طرفَي المعادلة التانية، هحصل على س تساوي سالب أربعة. دلوقتي هعوّض في المعادلة الأولى، وهي: ص تساوي س زائد واحد. هعوّض مرة عن س تساوي تلاتة، ومرة س تساوي سالب أربعة.

يعني هلاقي إنه ص تساوي … لمّا س تساوي تلاتة، ص بتساوي أربعة. ولمّا س تساوي سالب أربعة، ص تساوي سالب تلاتة. وبكده أقدر أقول إنه مجموعة الحل هتساوي الزوج المرتب تلاتة وأربعة، والزوج المرتب سالب أربعة وسالب تلاتة.

عشان نتخيّل الحل أكتر، هنمثّل المعادلتين بيانيًّا. هيظهر قدامي دلوقتي محور السينات ومحور الصادات. هلاحظ إنه المعادلة التانية: س تربيع زائد ص تربيع، هي عبارة عن دايرة، نصف قطرها خمسة. هتبقى بالشكل ده. والمعادلة الأولى هي عبارة عن خط مستقيم. لمّا س تساوي صفر، ص تساوي واحد. يعني هيقطع محور الصادات عند النقطة صفر وواحد. ص تساوي س زائد واحد. لمّا ص تساوي صفر، س تساوي سالب واحد. يعني هيقطع محور السينات عند النقطة سالب واحد وصفر.

هوصّل النقطتين، هحصل على خط مستقيم. هلاحظ إنه الخط المستقيم هيتقاطع مع الدايرة في نقطتين. والنقطتين هم هيكونوا النقط اللي حصلنا عليها: تلاتة وأربعة. والنقطة التانية: سالب أربعة وسالب أربعة. وبكده أكون جِبت الحل جبريًّا، واتأكّدت منه بيانيًّا.

وبكده هنكون اتعلّمنا إزّاي أحل معادلتين في متغيرين جبريًّا. وقلنا عشان أحل معادلتين، يعني أجيب الأزواج المرتبة، اللي بتحقّق المعادلتين في نفس الوقت. واستخدمنا طريقة التعويض: إني بعبّر عن قيمة أحد المتغيرين، بدلالة المتغيّر الآخر من المعادلة الأولى. وبعوّض في المعادلة التانية، عشان أحصل على معادلة في مجهول واحد. بحل المعادلة، وبجيب قيمة المجهول الأولاني، عن طريق التحليل أو القانون العام. وبرجع أعوّض في المعادلة الأولى، عشان أحصل على قيمة المتغيّر التاني.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.