نسخة الفيديو النصية
أي الخطوط الموضحة على التمثيل البياني يمثل بصورة صحيحة كيفية تغير السرعة الخطية لجسم بتغير نصف قطر المسار الدائري الذي يتبعه الجسم؟ افترض أن السرعة الزاوية للجسم ثابتة. (أ) الخط البرتقالي، (ب) الخط الرمادي، (ج) الخط الأزرق، (د) الخط الأحمر.
يوضح لنا هذا التمثيل البياني السرعة الخطية لجسم، بوحدة السنتيمتر لكل ثانية، مقابل نصف قطر المسار الدائري الذي يتحرك فيه هذا الجسم. تخيل أن لدينا جسمًا تمثله هذه النقطة الزرقاء، ويتحرك في مسار دائري. وأثناء ذلك، يحتفظ هذا الجسم بسرعة خطية ثابتة، سنسميها 𝑣، وتعتمد هذه السرعة على نصف قطر الدائرة التي يتحرك حولها الجسم، وسنسمي نصف القطر هذا 𝑟.
ما نريده في هذا السؤال هو إيجاد العلاقة الرياضية بين السرعة الخطية 𝑣 ونصف القطر 𝑟 على صورة بيانية. بينما يتحرك الجسم حول دوائر لها أنصاف أقطار مختلفة، فإننا نعلم أن السرعة الزاوية للجسم تظل ثابتة. وهذه معلومة مهمة لأن السرعة الزاوية 𝜔 لجسم يتحرك في مسار دائري تساوي السرعة الخطية 𝑣 لهذا الجسم مقسومة على نصف قطر الدائرة التي يدور حولها الجسم. ونحن نعلم من هذه المعطيات أنه بغض النظر عن قيمة 𝑟، فإن 𝜔 تظل ثابتة دائمًا. لاحظ أننا إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في نصف القطر 𝑟، فسيحذف هذا المعامل من الطرف الأيمن. وسيصبح لدينا 𝑟 في 𝜔 يساوي 𝑣، أو بعكس طرفي المعادلة، 𝑣 يساوي 𝑟 في 𝜔.
على هذا التمثيل البياني، نصف القطر 𝑟 هو المتغير المستقل. ويمثله 𝑟 في هذه المعادلة. والمتغير التابع هو السرعة الخطية للجسم. ويمثلها 𝑣. نلاحظ أن هذين المتغيرين مرتبطان رياضيًّا بالقيمة الثابتة 𝜔. عادة ما تكون 𝜔 قيمة غير ثابتة، لكن في هذه الحالة يخبرنا السؤال أنها ثابتة. إذن يمكننا كتابة هذا. يمكننا القول إن السرعة الخطية للجسم الذي يتحرك في مسار دائري نصف قطره 𝑟 تساوي الثابت، الذي نطلق عليه 𝐶، مضروبًا في 𝑟. وأيًّا كان الخط الصحيح من الخطوط الأربعة الموضحة على التمثيل البياني، فإنه سيتبع هذا الشكل العام للدالة.
أول ما يمكننا ملاحظته في هذه المعادلة هو أنها خطية. أي إن المتغيرات في الطرف الأيمن من المعادلة، وهي المتغير 𝑟 فقط، مرفوعة للأس واحد. وهذا يعني أن أي منحنى غير خطي على التمثيل البياني لا يمكن أن يكون الإجابة الصحيحة. نلاحظ أن المنحنى الأزرق هنا والمنحنى البرتقالي هنا لا يتبعان هذه الصورة الخطية. لذا، لن نختار الإجابة (أ) أو الإجابة (ج) المناظرتين لهذين المنحنيين.
لكي نحدد إذا ما كان المنحنى الأحمر أو المنحنى الرمادي هو الإجابة الصحيحة، دعونا ننظر مرة أخرى إلى المعادلة التي نريد تمثيلها: 𝑣 يساوي ثابتًا مضروبًا في 𝑟. حسنًا، لنفترض أنه عند قيمة محددة لـ 𝑟، تزيد هذه القيمة بمقدار المعامل اثنين على سبيل المثال. وعند ضرب 𝑟 في اثنين، وبما أن 𝐶 قيمة ثابتة، فإن الطرف الأيمن من المعادلة سيزيد بأكمله بمقدار المعامل اثنين. ولكي تصبح هذه المعادلة صحيحة، يجب أن يزداد 𝑣 في الطرف الأيسر بمقدار المعامل اثنين أيضًا. ويوضح لنا هذا أنه عندما يتغير 𝑟، أي بمضاعفة 𝑟 على سبيل المثال، فلا بد أن تتغير السرعة الخطية 𝑣 وفقًا لذلك لكي تصبح المعادلة صحيحة. يمكننا ملاحظة أن المنحنى الأحمر منحنى مستو، وهو ما يعني أن 𝑣 ثابتة دائمًا. ولكن وفقًا للمعادلة التي لدينا، لا يمكن أن تظل 𝑣 ثابتة مع تغير 𝑟. لذا، لن نختار الإجابة (د)، أي المنحنى الأحمر.
وبذلك يتبقى لدينا المنحنى الرمادي. لاحظ أن هذا الخط يمر عبر النقطة 0.5 على محور نصف القطر و 0.50 على محور السرعة الخطية. نتوقع إذن أنه إذا ضاعفنا 𝑟 إلى 1.0، فإنه بناء على المعادلة التي لدينا ستتضاعف قيمة السرعة الخطية 𝑣 أيضًا. وبالفعل، يحدث ذلك على امتداد المنحنى باللون الرمادي. عندما تكون قيمة نصف القطر 𝑟 هي 1.0 سنتيمتر، نجد أن السرعة الخطية ستساوي 1.00 سنتيمتر لكل ثانية. وهذا يؤكد لنا أن المنحنى الرمادي يمثل بصورة صحيحة كيفية تغير السرعة الخطية لجسم بتغير نصف قطر المسار الدائري الذي يتبعه الجسم. ونلاحظ أن هذا التمثيل البياني صحيح لأنه يحقق شرط أن تكون السرعة الزاوية ثابتة. ومن ثم، نختار الإجابة (ب).
