فيديو السؤال: إيجاد الزاوية بين متجه معطى ومتجه وحدة في اتجاه معين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المتجه ﺃ تسعة، ١٠، سالب أربعة، ومتجه الوحدة ﺹ. قرب إجابتك لأقرب درجة.

في هذه السؤال، لدينا متجهان هما: المتجه ﺃ، ومتجه الوحدة في اتجاه ﺹ. وعلينا إيجاد قياس الزاوية بين هذين المتجهين. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب درجة. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية بين متجهين. نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين متجهين ﻉ وﻕ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ مقسومًا على معيار المتجه ﻉ في معيار المتجه ﻕ. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قياس الزاوية 𝜃. كل ما علينا فعله هو إيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة.

حسنًا، تجدر الإشارة هنا إلى أنه نظرًا لأن نطاق الدالة العكسية لجيب التمام يكون بين صفر درجة و ١٨٠ درجة، فنحصل بذلك دائمًا على الزاوية الأصغر بين المتجهين ﻉ وﻕ. ومن ثم، لإيجاد الزاوية بين المتجهين المعطيين في السؤال، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين ومعيار كل منهما. هيا نبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. لإيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، سنبدأ بكتابة متجه الوحدة في اتجاه ﺹ في الصورة الإحداثية.

نعلم طول هذا المتجه واتجاهه. فطول هذا المتجه يساوي واحدًا لأنه متجه وحدة واتجاهه ﺹ. هذه هي المركبة الثانية. إذن، هذا المتجه هو المتجه صفر، واحد، صفر. ومن ثم، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺹ يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه تسعة، ١٠، سالب أربعة، في المتجه صفر، واحد، صفر.

والآن، علينا حساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. تذكر أن هذا يعني أن علينا إيجاد مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة لكل من المتجهين. لهذين المتجهين، إنه يساوي تسعة مضروبًا في صفر زائد ١٠ مضروبًا في واحد زائد سالب أربعة مضروبًا في صفر. وإذا حسبنا هذا التعبير، فإن الحدين الأول والأخير يساويان صفرًا. إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺹ يساوي ١٠.

بعد ذلك، علينا إيجاد معيار كل من هذين المتجهين. نبدأ بمعيار المتجه ﺃ. لفعل ذلك، نتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. بعبارة أخرى، معيار المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد معيار المتجه ﺃ. إنه يساوي الجذر التربيعي لتسعة تربيع زائد ١٠ تربيع زائد سالب أربعة الكل تربيع. وإذا حسبنا التعبير أسفل علامة الجذر التربيعي، فسنجد أن معيار المتجه ﺃ هو الجذر التربيعي لـ ١٩٧.

يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه لإيجاد معيار المتجه ﺹ. ولكن هذا ليس ضروريًّا. إذ إننا علمنا من رأس السؤال أن هذا متجه وحدة. هذا يعني أن معيار هذا المتجه يجب أن يساوي واحدًا. لاحظ هنا أن رمز المتجه لدينا فوقه سهم غير مكتمل. ونحن نستخدم هذا الرمز لتمثيل متجهات الوحدة. نحن الآن جاهزون لإيجاد تعبير لـ 𝜃، حيث إننا نعلم الضرب القياسي لهذين المتجهين ومعيار كل من هذين المتجهين.

أولًا، نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ في المتجه ﺹ مقسومًا على معيار المتجه ﺃ في معيار المتجه ﺹ. بعد ذلك، يمكننا التعويض بقيم كل من حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺹ، ومعيار كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺹ. فنجد أن جتا 𝜃 يساوي ١٠ مقسومًا على جذر ١٩٧ مضروبًا في واحد. بعد ذلك، يمكننا حل ذلك لإيجاد قيمة 𝜃. أولًا، القسمة على واحد لا تغير القيمة. بعد ذلك، يمكننا إيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. تذكر أنه بما أننا نريد إيجاد الناتج لأقرب درجة، فعلينا التأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات.

وهذا يعطينا أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ١٠ مقسومًا على جذر ١٩٧، وهو ما يمكننا حساب قيمته لنجد أنه يساوي ٤٤٫٥٦ درجة مع توالي أرقام هذا العدد. نريد تقريب هذا إلى أقرب درجة. يمكننا ملاحظة أن الخانة العشرية الأولى في العدد بها الرقم خمسة. هذا يعني أن علينا التقريب لأعلى، وبهذا نحصل على الإجابة النهائية وهي أن قياس الزاوية بين المتجه ﺃ تسعة، ١٠، سالب أربعة؛ ومتجه الوحدة ﺹ لأقرب درجة، يساوي ٤٥ درجة.