نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطع مداه واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة. إذا كان احتمال أن ﺱ يساوي واحدًا هو سبعة على ٣٣، واحتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو ثمانية على ٣٣، واحتمال أن ﺱ يساوي ثلاثة هو واحد على ١١، واحتمال أن ﺱ يساوي أربعة هو واحد على ٣٣، فاحسب القيمة المتوقعة لـ ﺱ.
دعونا نبدأ بكتابة هذه المعطيات في جدول. ليس من الضروري أن نفعل ذلك، ولكنه يجعل الأمر أسهل بكثير. تذكر أن مجموع قيم كل احتمالات المتغير العشوائي المتقطع يساوي واحدًا. لذا، يمكننا إيجاد احتمال أن ﺱ يساوي خمسة بطرح مجموع قيم الاحتمالات الأخرى من واحد صحيح.
احتمال أن ﺱ يساوي خمسة هو واحد ناقص سبعة على ٣٣ زائد ثمانية على ٣٣ زائد واحد على ١١ زائد واحد على ٣٣. يمكننا حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، ولكن من المفيد أن نتذكر كيف نجمع الكسور ونطرحها بدون الآلة الحاسبة. ولنفعل ذلك، علينا أولًا التأكد من أن جميع الكسور لها المقام نفسه.
للتأكد من أن هذه الكسور لها المقام نفسه، علينا ضرب بسط الكسر واحد على ١١ ومقامه في ثلاثة. واحد على ١١ هو نفسه ثلاثة على ٣٣. بعد ذلك، يمكننا إيجاد مجموع قيم هذه الاحتمالات بجمع حدود البسط معًا. سبعة على ٣٣ زائد ثمانية على ٣٣ زائد ثلاثة على ٣٣ زائد واحد على ٣٣ يساوي ١٩ على ٣٣. ونحن نعلم أن الواحد الصحيح هو نفسه ٣٣ على ٣٣. ومن ثم، يمكننا طرح ١٩ على ٣٣ من ٣٣ على ٣٣ لإيجاد احتمال أن قيمة ﺱ تساوي خمسة. وهذا يساوي ١٤ على ٣٣.
والآن، بعد أن أصبح لدينا جميع الاحتمالات، يمكننا تطبيق صيغة القيمة المتوقعة لـ ﺱ. القيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع حواصل ضرب قيم كل النواتج الممكنة مضروبًا في احتمال حدوث هذا الناتج. دعونا نعوض بما لدينا في هذه الصيغة.
في العمود الأول، نجد أن ﺱ مضروبًا في احتمال ﺱ يساوي واحدًا مضروبًا في سبعة على ٣٣. في العمود الثاني، لدينا اثنان مضروبًا في ثمانية على ٣٣. في العمود الثالث، لدينا ثلاثة مضروبًا في ثلاثة على ٣٣. في العمودين الأخيرين، لدينا أربعة مضروبًا في واحد على ٣٣، وخمسة مضروبًا في ١٤ على ٣٣.
تذكر أن هذا الرمز ∑ يعني المجموع؛ لذا سنجمع كل هذه القيم معًا. واحد مضروبًا في سبعة على ٣٣ يساوي سبعة على ٣٣. اثنان مضروبًا في ثمانية على ٣٣ يساوي ١٦ على ٣٣. ثلاثة مضروبًا في ثلاثة على ٣٣ يساوي تسعة على ٣٣. أربعة مضروبًا في واحد على ٣٣ يساوي أربعة على ٣٣. خمسة مضروبًا في ١٤ على ٣٣ يساوي ٧٠ على ٣٣. مجموع هذه القيم هو ١٠٦ على ٣٣.
ويمكننا الآن النظر إلى الجدول للتحقق مما إذا كانت هذه الإجابة صحيحة أم لا. ١٠٦ على ٣٣ هو نفسه ثلاثة وواحد على ١١. بما أن القيم الممكنة لـ ﺱ هي واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة؛ وبما أن ثلاثة وواحد على ١١ يتجاوز المنتصف بقليل بين واحد وخمسة، فمن المرجح أن يكون ثلاثة وواحد على ١١ هو القيمة المتوقعة الصحيحة لهذا التوزيع الاحتمالي.
