نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مساحتي مضلعين متشابهين بمعلومية طولي ضلعين متناظرين، أو معامل القياس بينهما وإحدى مساحتي المضلعين. نبدأ باسترجاع المقصود بمضلعين متشابهين.
يتشابه مضلعان لهما نفس عدد الأضلاع في حالة تحقق شرطين. أولًا أن تكون زواياهما المتناظرة متطابقة، وثانيًا أن تكون أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة. نفترض مثلًا أن لدينا هذين المستطيلين. كلا الشكلين له أربعة أضلاع. وبما أن جميع الزوايا الداخلية في المستطيل زوايا قائمة، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة. بالنظر إلى أطوال الأضلاع، إذا قسمنا طول الضلع الأطول للمستطيل الأول على طول الضلع الأطول للمستطيل الثاني؛ فسيكون لدينا ﺃﺏ على ﺱﺹ، وهو ما يكافئ ﺟﺩ على ﻉﻝ. وهذا يساوي ثمانية على أربعة، وهو ما يساوي اثنين.
إذا نظرنا إلى أطوال الأضلاع الأقصر، نجد لدينا ﺏﺟ على ﺹﻉ، وهو ما يساوي ﺩﺃ على ﻝﺱ. وهذا يساوي ثلاثة على ١٫٥، وهو ما يساوي اثنين أيضًا. لذلك، فإن النسبة هي نفسها لكل طولي ضلعين متناظرين، ومن ثم فإن أطوال الأضلاع المتناظرة بالفعل متناسبة. لاحظ أن المستطيلين في هذا المثال رسما في اتجاهين مختلفين. الأضلاع المتناظرة رأسية في مستطيل، ولكنها أفقية في الآخر. لذلك، هذا شيء يجب أن نكون على دراية به عند العمل مع المضلعات المتشابهة. يمكننا القول إن ﺃﺏﺟﺩ مشابه لـ ﺱﺹﻉﻝ. وترتيب الحروف مهم هنا لأنه يعكس أي الرءوس من المضلعين مناظر للآخر.
لإيجاد معامل قياس التشابه من مضلع إلى آخر، دعونا نفكر أولًا في معامل قياس التشابه من ﺃﺏﺟﺩ إلى ﺱﺹﻉﻝ، نقسم أيًّا من أطوال أضلاع ﺱﺹﻉﻝ على طول الضلع المناظر في ﺃﺏﺟﺩ. لذلك، على سبيل المثال، معامل قياس التشابه من ﺃﺏﺟﺩ إلى ﺱﺹﻉﻝ هو ﺱﺹ على ﺃﺏ. وهذا يساوي أربعة على ثمانية، وهو ما يساوي نصفًا. دائمًا ما يضرب في معامل القياس. وهذا يعني أنه للانتقال من أحد الأطوال في ﺃﺏﺟﺩ إلى الطول المناظر في ﺱﺹﻉﻝ، فإننا نضرب في نصف. للانتقال في الاتجاه العكسي، نضرب في اثنين.
يجب أن نتحقق دائمًا من منطقية أي معامل قياس للتشابه نحسبه. إذا كنا ننتقل من المضلع الأكبر إلى المضلع الأصغر، يجب أن يكون معامل قياس التشابه أقل من واحد. وإذا كنا ننتقل في الاتجاه المعاكس، يجب أن يكون معامل قياس التشابه أكبر من واحد. وبشكل عام، إذا كان معامل قياس التشابه في أحد الاتجاهين هو ﻙ، فسيكون عندئذ في الاتجاه المعاكس مقلوبه؛ واحد على ﻙ.
توجد طريقة بديلة للتعبير عن العلاقة بين أطوال أضلاع مضلعين متشابهين وهي استخدام النسبة. على سبيل المثال، نسبة تشابه ﺃﺏﺟﺩ لـ ﺱﺹﻉﻝ هي نسبة طول الضلع ﺃﺏ إلى طول الضلع ﺱﺹ. وهذا يساوي ثمانية إلى أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: اثنين إلى واحد. يجب أن يكون كل ما ناقشناه حتى الآن تلخيصًا لمعرفتنا بالمضلعات المتشابهة. سنوسع الآن هذا لفهم كيفية ارتباط بعض مساحات المضلعات المتشابهة ببعض.
لنفترض إذن أن لدينا مضلعين متشابهين؛ حيث معامل قياس التشابه هو ﻙ. قد تكون فكرتنا الأولى هي أن معامل القياس بين المساحتين هو ﻙ أيضًا. دعونا نختبر ذلك بالنسبة إلى المثلثين المتشابهين الموضحين هنا. مساحة المثلث الأول هي طول قاعدته مضروبة في ارتفاعه العمودي على اثنين. ومساحة المثلث الثاني هي طول قاعدته مضروبة في ارتفاعه العمودي على اثنين. وهذا يساوي ﻙﻕ مضروبًا في ﻙﻉ على اثنين. يمكننا إعادة كتابة هذا على صورة: ﻙ تربيع مضروبًا في ﻕﻉ على اثنين. وبما أن مساحة المثلث الأول هي ﻕﻉ على اثنين، نجد أن مساحة المثلث الثاني هي ﻙ تربيع مضروبًا في مساحة المثلث الأول. لذلك، فإن معامل قياس المساحة ليس ﻙ، بل ﻙ تربيع.
إذا فكرنا في الأمر، نجد أن هذا منطقي؛ لأن المساحة مقياس ثنائي الأبعاد، وكلا البعدين قد كبر بواسطة المعامل ﻙ. ومن ثم، فالتأثير على المساحة هو تكبيرها بالضرب في المعامل ﻙ تربيع. هذه النتيجة صحيحة لجميع المضلعات. لذلك، نحتاج إلى أن نكون أكثر تحديدًا عند الإشارة إلى معامل قياس التشابه للمضلعات المتشابهة. وعلينا استخدام مصطلح «معامل قياس الطول» لتعريف معامل القياس بين الأطوال، و«معامل قياس المساحة» لوصف معامل القياس بين المساحات. يمكننا كتابة هذه النتيجة بشكل عام؛ إذ عندما يكون معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ﻙ، فإن معامل قياس المساحة يكون ﻙ تربيع.
وبدلالة النسب، يمكننا أيضًا كتابة أنه إذا كانت نسبة الطول لمضلعين متشابهين هي ﻑ إلى ﻕ، فإن النسبة بين مساحتيهما هي ﻑ تربيع إلى ﻕ تربيع. وبعد أن حددنا العلاقة بين مساحات المضلعات المتشابهة، دعونا نتناول بعض الأمثلة التي نطبق فيها هذه النتائج.
بالاستعانة بالشكل الآتي، أوجد مساحة المضلع المشابه ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة، الذي فيه ﺃ شرطة ﺏ شرطة يساوي ستة.
علمنا من السؤال أن هناك مضلعًا مشابهًا للمضلع الموضح في الشكل؛ حيث طول الضلع ﺃ شرطة ﺏ شرطة يساوي ست وحدات. من المنطقي أن نفترض أن نفس الأحرف قد استخدمت لتمثيل الرءوس المتناظرة في المضلعين. لنقارن إذن الطول ﺃ شرطة ﺏ شرطة بالطول ﺃﺏ في المضلع الموجود بالشكل. الضلع ﺃﺏ أفقي ويمتد من اثنين إلى خمسة، لذلك يبلغ طوله ثلاث وحدات. يمكننا إذن حساب معامل قياس الطول من ﺃﺏﺟﺩ إلى ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة بقسمة الطول ﺃ شرطة ﺏ شرطة على الطول ﺃﺏ. وهذا يساوي ستة على ثلاثة، وهو ما يساوي اثنين. وهذا يعني أن الأطوال في المضلع ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة هي ضعف قيم الأطوال المناظرة في المضلع ﺃﺏﺟﺩ.
نحن الآن مهتمون بمساحة المضلع الثاني. نتذكر إذن أنه إذا كان معامل قياس الطول لمضلعين متشابهين يساوي ﻙ، فإن معامل قياس المساحة يساوي ﻙ تربيع. ومن ثم، فإن معامل قياس المساحة من ﺃﺏﺟﺩ إلى ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة هو اثنان تربيع، وهو ما يساوي أربعة. بعبارة أخرى، مساحة ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة تساوي أربعة أمثال مساحة ﺃﺏﺟﺩ. يمكننا إيجاد مساحة المضلع ﺃﺏﺟﺩ من الشكل. إنه مستطيل ذو بعد طوله ثلاث وحدات، والبعد الآخر طوله خمس وحدات. إذن، مساحته تساوي ثلاثة في خمسة، وهو ما يساوي ١٥ وحدة مربعة.
مساحة ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة إذن هي أربعة في ١٥، وهو ما يساوي ٦٠. لذا بتذكر أنه إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ﻙ، فإن معامل قياس المساحة هو ﻙ تربيع؛ نجد أن مساحة المضلع المشابه ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة هي ٦٠ وحدة مربعة.
لنتناول مثالًا آخر.
المستطيل ﺃﺏﺟﺩ مشابه للمستطيل ﻫﻭﺯﺡ، والنسبة بين أطوال أضلاعهما تساوي ثمانية إلى تسعة. إذا أصبحت قيم أبعاد كل من المستطيلين الضعف، فأوجد النسبة بين مساحتي المستطيلين الكبيرين.
علمنا من السؤال أن النسبة بين أطوال أضلاع المستطيلين الأصليين تساوي ثمانية إلى تسعة. يمكننا أن نسترجع أنه إذا كانت نسبة الطول لمضلعين متشابهين هي ﻑ إلى ﻕ، فإن النسبة بين مساحتيهما هي ﻑ تربيع إلى ﻕ تربيع. وعلمنا أن أبعاد كل مستطيل تتضاعف، ولكن هذا لا يؤثر في الواقع على نسبة الطول؛ لأن الأطوال في كل مضلع قد ضربت في نفس المعامل وهو اثنان. وسيكون هذا مكافئًا لجعل نسبة الطول اثنين ﻑ إلى اثنين ﻕ. ولكن يمكننا بالطبع تبسيط هذه النسبة بقسمة كلا جزأيها على اثنين حتى نحصل ثانية على ﻑ إلى ﻕ. لا تزال نسبة الطول في المستطيلين المكبرين ثمانية إلى تسعة. باستخدام النتيجة التي كتبناها، فإن النسبة بين المساحتين في المستطيلين الكبيرين هي ثمانية تربيع إلى تسعة تربيع؛ أي ٦٤ إلى ٨١.
هذا يوضح نقطة عامة. إذا كان لدينا مضلعان متشابهان نسبة الطول لهما معلومة، وطبق نفس معامل القياس على المضلعين كليهما؛ فإن نسبة الطول تظل كما هي، بالإضافة إلى أن نسبة المساحة ستظل كما هي أيضًا. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي سنستخدم فيها محيط الأشكال المتشابهة لحل المسائل التي تتضمن مساحاتها.
المربع ﺃ عبارة عن تصغير للمربع ﺏ بمعامل قياس مقداره ثلثان. إذا كان محيط المربع ﺃ يساوي ٥٦ سنتيمترًا، فما مساحة المربع ﺏ؟ قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
علمنا من السؤال أن المربع ﺃ عبارة عن تصغير للمربع ﺏ بمعامل قياس مقداره ثلثان. وبما أن معامل القياس هذا أقل من واحد، فهذا يعني أن المربع ﺃ أصغر بالفعل. جميع المربعات يشابه بعضها بعضًا. لذلك، يمكننا استخدام خصائص التشابه هنا. علمنا من السؤال أن محيط المربع ﺃ يساوي ٥٦ سنتيمترًا. ونعلم أن محيط المربع يساوي أربعة في طول الضلع. إذن، أربعة في ﺟ ﺃ، وهو ما يمثل طول ضلع المربع ﺃ، يساوي ٥٦. بقسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، نجد أن طول ضلع المربع ﺃ يساوي ١٤ سنتيمترًا.
يمكننا بعد ذلك المتابعة بطريقتين مختلفتين. في طريقتنا الأولى، سنحسب طول ضلع المربع ﺏ باستخدام معامل قياس الطول ثم نحسب المساحة. وبما أن معامل قياس الطول من المربع ﺏ إلى المربع ﺃ يساوي ثلثين، فإن معامل قياس الطول في الاتجاه المعاكس هو مقلوب هذا؛ ويساوي ثلاثة على اثنين. ومن ثم، فإن طول ضلع المربع ﺏ يساوي ثلاثة على اثنين مضروبًا في طول ضلع المربع ﺃ. هذا يعني ثلاثة على اثنين في ١٤، وهو ما يساوي ٢١. لإيجاد مساحة المربع، نقوم بتربيع طول ضلعه. إذن، مساحة المربع ﺏ تساوي ٢١ تربيع؛ أي ٤٤١.
الطريقة الثانية التي يمكننا استخدامها هي إيجاد مساحة المربع ﺃ ثم دراسة العلاقة بين مساحتي هذين الشكلين المتشابهين. مساحة المربع ﺃ تساوي طوله تربيع. وهذا يساوي ١٤ تربيع؛ أي ١٩٦ سنتيمترًا مربعًا. نسترجع بعد ذلك أنه إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ﻙ، فإن معامل قياس المساحة هو ﻙ تربيع. إذن، معامل قياس المساحة من ﺃ إلى ﺏ يساوي ثلاثة على اثنين تربيع، وهو ما يساوي تسعة على أربعة. مساحة المربع ﺏ تساوي تسعة على أربعة مضروبًا في مساحة المربع ﺃ. أي تسعة على أربعة مضروبًا في ١٩٦، وهو ما يساوي ٤٤١ أيضًا. يطلب منا السؤال أن نقرب إجابتنا لأقرب جزء من مائة. إذن، نجد أن مساحة المربع ﺏ تساوي ٤٤١٫٠٠ سنتيمترًا مربعًا.
سنتناول الآن مثالًا آخر نستعرض فيه العلاقة بين مساحات المضلعات المتشابهة ومحيطاتها.
مضلعان متشابهان مساحتاهما ٣٦١ سنتيمترًا مربعًا و ٨١ سنتيمترًا مربعًا. إذا كان محيط الأول ٣٨ سنتيمترًا، فأوجد محيط الثاني.
لدينا مساحتا مضلعين متشابهين. ومن ثم، يمكننا كتابة نسبة المساحة؛ وهي ٣٦١ إلى ٨١. نريد إيجاد محيط المضلع الثاني بمعلومية محيط المضلع الأول. ولفعل ذلك، علينا معرفة نسبة الطول. يمكننا أن نسترجع أنه إذا كان لدينا مضلعان متشابهان ونسبة الطول بين أطوال أضلاعهما المتناظرة هي ﻑ إلى ﻕ، فإن نسبة المساحة تكون ﻑ تربيع إلى ﻕ تربيع، وهذا ما يعني أنه إذا كنا نريد العمل بشكل عكسي بمعلومية نسبة المساحة لحساب نسبة الطول، فنحن بحاجة لإيجاد الجذر التربيعي لكلا الجزأين. ومن ثم، فإن نسبة الطول هي الجذر التربيعي لـ ٣٦١ إلى الجذر التربيعي لـ ٨١، وهو ما يساوي ١٩ إلى تسعة.
والآن النسبة بين محيطي الشكلين المتشابهين هي نفسها النسبة بين أطوال أضلاعهما المتناظرة؛ لأن المحيط مجرد مجموع للأطوال المنفردة. إذن، النسبة بين المحيطين ٣٨ سنتيمترًا، والقيمة غير المعروفة هي أيضًا ١٩ إلى تسعة. للانتقال من ١٩ إلى ٣٨، علينا الضرب في اثنين. بفعل الشيء نفسه مع كلا جزأي النسبة، ١٩ إلى تسعة يكافئ ٣٨ إلى ١٨. وبالعمل عكسيًّا بمعلومية نسبة المساحة بين هذين المضلعين المتشابهين لحساب نسبة الطول، ومن ثم حساب النسبة بين المحيطين؛ وجدنا أن محيط المضلع الثاني يساوي ١٨ سنتيمترًا.
دعونا الآن نتناول مثالًا أخيرًا نطبق فيه نظرية مساحات المضلعات المتشابهة على مسألة واقعية.
يقدر مبلغ ٣٧٩٩ جنيهًا مصريًّا تكلفة تركيب أرضية خشبية في فصل دراسي بعداها ٢٨ مترًا و ١٠ أمتار. كم تبلغ تكلفة تركيب أرضية خشبية في غرفة مماثلة بعداها ٨٤ مترًا و ٣٠ مترًا؟
نظرًا لعدم معرفتنا بشكل الغرفتين، يمكننا أن نفترض أنهما مستطيلان. علمنا من السؤال أن هاتين الغرفتين متشابهتان، وهو ما يمكننا افتراض أنه يعني تشابهًا رياضيًّا. ولكن دعونا نتحقق من ذلك. نحتاج إلى إثبات أن الزوايا المتناظرة متطابقة، وأن الأضلاع المتناظرة متناسبة. نحن نعلم أن الزوايا المتناظرة متطابقة لأن جميع الزوايا الداخلية للمستطيل تساوي ٩٠ درجة. والآن نحدد إذا ما كانت أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. لذا دعونا نتحقق من النسب بين أبعاد الغرفتين.
باستخدام طولي الضلعين الأطول لكل منهما، لدينا ٨٤ على ٢٨، وهو ما يساوي ثلاثة. وباستخدام طولي الضلعين الأقصر، لدينا ٣٠ على ١٠، وهو ما يساوي ثلاثة أيضًا. النسبتان متساويتان. إذن أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة بالفعل، والمستطيلان متشابهان رياضيًّا. نحتاج إلى حساب تكلفة تركيب الأرضية الخشبية في الغرفة الأكبر، الذي سيعتمد على مساحتها. علمنا من السؤال أن التكلفة للفصل الأصغر هي ٣٧٩٩ جنيهًا. ويمكننا حساب مساحة هذه الغرفة باستخدام صيغة مساحة المستطيل. وهي طوله مضروبًا في عرضه؛ أي ٢٨ مضروبًا في ١٠، ويساوي ٢٨٠ مترًا مربعًا.
يمكننا أيضًا إيجاد مساحة الغرفة الأكبر. وهي ٨٤ مضروبًا في ٣٠، وهو ما يساوي ٢٥٢٠ مترًا مربعًا. نسبة المساحة بين الغرفتين هي ٢٥٢٠ إلى ٢٨٠. وفي الواقع، يمكن تبسيط هذا إلى: تسعة إلى واحد. نحن نعلم أن مساحة الغرفة الأكبر تساوي تسعة أمثال مساحة الغرفة الأصغر. وبافتراض أن التكلفة تتناسب طرديًّا مع المساحة، فإن تكلفة الأرضية للغرفة الأكبر ستكون تسعة أمثال التكلفة للغرفة الأصغر. وهذا يساوي تسعة في ٣٧٩٩، وهو ما يساوي ٣٤١٩١.
كان بإمكاننا أيضًا تحديد أن معامل قياس المساحة يساوي تسعة. وذلك من خلال استرجاع أنه إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ﻙ، فإن معامل قياس المساحة هو ﻙ تربيع. نجد أن معامل قياس الطول يساوي ثلاثة. ومن ثم، فإن معامل قياس المساحة هو ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي تسعة. وجدنا أن تكلفة تركيب الأرضية الخشبية في الغرفة الأكبر هي ٣٤١٩١ جنيهًا.
دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. يتشابه مضلعان لهما نفس عدد الأضلاع إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة وأطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة. إذا كان معامل قياس الطول بين مضلعين متشابهين هو ﻙ، فإن معامل قياس المساحة هو ﻙ تربيع. إذا كانت نسبة الطول بين مضلعين متشابهين هي ﻑ إلى ﻕ، فإن النسبة بين مساحتيهما هي ﻑ تربيع إلى ﻕ تربيع. ورأينا أنه يمكننا العمل في الاتجاه المعاكس لحساب نسبة الطول بمعلومية نسبة المساحة. وأخيرًا؛ حيث إن المحيط عبارة عن طول، يمكننا أيضًا أن نقول إن النسبة بين مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع النسبة بين محيطيهما.
