نسخة الفيديو النصية
استخدم المشتقات لتحديد أي من الآتي هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. الخيارات (أ) و(ب) و(ج) و(د) و(هـ).
في هذا السؤال، لدينا دالة ﺩﺱ، ومطلوب منا تحديد أي التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة يمثل منحنى هذه الدالة. أسهل طريقة للإجابة عن هذا السؤال هي استبعاد الخيارات باستخدام خواص الدالة. على سبيل المثال، يمكننا تحديد الجزء المقطوع من المحور ﺹ لمنحنى الدالة ﺩﺱ من خلال التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على ﺩ لصفر تساوي صفرًا تكعيب زائد اثنين في صفر تربيع زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة. إذن، الجزء المقطوع من المحور ﺹ لمنحنى هذه الدالة يجب أن يقع عند ثلاثة. ونلاحظ في الخيار (أ) أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لا يقع عند ثلاثة. وفي الخيار (ج) لا يقع الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند ثلاثة. وكذلك لا يقع الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند ثلاثة في الخيار (د).
يمكننا الاستمرار في استخدام هذا المنطق لتحديد أي الخيارين المعطيين هو الخيار الصحيح؛ الخيار (ب) أم الخيار (هـ). إحدى طرق فعل ذلك هي ملاحظة أنه في الخيار (ب) يقع الجزء المقطوع من المحور ﺱ عند سالب واحد. هذا يعني أن قيمة ﺩ عند سالب واحد يجب أن تساوي صفرًا. وإذا عوضنا بسالب واحد في الدالة ﺩﺱ، فسنحصل على سالب واحد تكعيب زائد اثنين في سالب واحد تربيع زائد ثلاثة. يمكننا إيجاد قيمة ذلك؛ إنها تساوي أربعة. وعليه، فإن ﺱ يساوي سالب واحد ليس الجزء المقطوع من المحور ﺱ لمنحنى الدالة ﺩﺱ. إذن، الخيار (ب) لا يمكن أن يكون صحيحًا. هذا يكفي لاستنتاج أن الخيار (هـ) يجب أن يكون التمثيل البياني الصحيح.
لكن هناك بعض المشكلات في هذه الطريقة. أولًا: تتطلب هذه الطريقة أن تعطى لنا خيارات حتى نتمكن من استبعاد الخيارات الخاطئة. ثانيًا: يطلب منا السؤال استخدام المشتقات تحديدًا، ونحن لم نستخدم المشتقات لإيجاد التمثيل البياني لهذه الدالة. وأخيرًا، من المهم أن نكون قادرين على رسم التمثيلات البيانية للدوال. لذا، عوضًا عن ذلك، دعونا نحاول الإجابة عن هذا السؤال برسم التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. سنفعل ذلك بتحليل الدالة المعطاة ﺩﺱ. دعونا نبدأ بحذف الخيارات الخمسة المعطاة، وكتابة أننا أوضحنا بالفعل أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا التمثيل البياني لا بد أن يقع عند ثلاثة.
الشيء التالي الذي يمكننا ملاحظته هو أن الدالة ﺩﺱ كثيرة حدود. على وجه التحديد، أعلى درجة لـ ﺱ هي ثلاثة. إذن فهي كثيرة حدود من الدرجة الثالثة، وتسمى دالة تكعيبية. هذا يسمح لنا بتحديد مجال الدالة ومداها. أولًا: مجال أي دالة كثيرة حدود هو جميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. هذا يعني أنه عندما نرسم الدالة التي لدينا، سنرسمها لجميع قيم ﺱ. ثانيًا: يمكننا استرجاع أن كثيرات الحدود التي درجتها فردية يكون لها سلوك طرفي متعاكس. هذا يعني أن مدى الدالة التكعيبية سيشمل دائمًا جميع القيم الحقيقية. يمكننا الآن محاولة تحديد جذري الدالة ﺩﺱ. إحدى طرق فعل ذلك هي التعويض بقيم ﺱ في الدالة، وملاحظة أي منها قريب من صفر.
على سبيل المثال، يمكننا إيجاد قيمة ﺩ عند سالب ثلاثة وسالب اثنين وسالب واحد وصفر. وسنجد بذلك أن ﺩ لسالب ثلاثة تساوي سالب ستة، وﺩ لسالب اثنين تساوي ثلاثة، وﺩ لسالب واحد تساوي أربعة، وﺩ لصفر تساوي ثلاثة. نلاحظ هنا أن مخرجات الدالة تتغير إشاراتها بين ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي سالب ثلاثة. ويمكننا استنتاج أن هذا يعني وجود جذر بين ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي سالب ثلاثة.
يمكننا تحليل سلوك طرفي الدالة لتحديد أن هذا هو الجذر الوحيد. ومع ذلك، فهذه ليست الطريقة الوحيدة لفعل ذلك؛ إذ يمكننا أيضًا استخدام المشتقات. وبما أن السؤال يطلب منا استخدام المشتقات، فسنستخدم هذه الطريقة. سنكتب فقط أننا أوضحنا وجود جذر، أو جزء مقطوع من المحور ﺱ، للمنحنى بين ﺱ يساوي سالب ثلاثة وﺱ يساوي سالب اثنين.
لكي نستخدم المشتقات لتحليل هذه الدالة، علينا إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺩﺱ. سنفعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب كل حد في أس ﺱ، ثم سنطرح واحدًا من أس ﺱ. هذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ. هناك عدة أشياء مختلفة يمكننا تحديدها بشأن التمثيل البياني للدالة باستخدام مشتقتها الأولى. بداية، نحن نعلم أن النقاط الحرجة للدالة هي النقاط التي لا تكون المشتقة معرفة عندها أو التي تكون المشتقة عندها تساوي صفرًا. في حالة كثيرات الحدود، تكون المشتقة موجودة دائمًا. إذن، ستكون النقاط الحرجة الوحيدة موجودة عندما تكون المشتقة الأولى تساوي صفرًا. إذن، علينا حل ثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ يساوي صفرًا.
يمكننا فعل ذلك من خلال أخذ ﺱ عامل مشترك بالطرف الأيمن من المعادلة. هذا يعطينا ﺱ في ثلاثة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا. يمكننا الآن حل هذه المعادلة بجعل كل عامل يساوي صفرًا. وبذلك نحصل على ﺱ يساوي صفرًا، أو ﺱ يساوي سالب أربعة على ثلاثة. وهاتان هما قيمتا الإحداثي ﺱ للنقطتين الحرجتين للدالة؛ حيث يكون ميلها يساوي صفرًا. هذا يعني أن هاتين النقطتين ستكونان نقطتي تحول منحنى الدالة. يمكننا إيجاد الإحداثيات الدقيقة لنقطتي التحول بالتعويض بهاتين القيمتين في الدالة ﺩﺱ.
حسنًا، لقد أوجدنا بالفعل قيمة ﺩ عند صفر؛ وكانت القيمة المخرجة لها تساوي ثلاثة. إذن، إحدى النقطتين الحرجتين ستكون نقطة التقاطع مع المحور ﺹ عند صفر، ثلاثة. بعد ذلك، إذا أوجدنا قيمة ﺩ عند سالب أربعة على ثلاثة، فسنحصل على ١١٣ على ٢٧، ومفكوكه العشري هو ٤٫١٨٥ دوري. وهذه القيمة دقيقة لدرجة تجعل من غير الممكن تحديدها بدقة على الرسم. ومع ذلك، من المهم تحديد موضعي النقطتين الحرجتين، وقد يكون من المفيد عادة كتابتهما في صورة مفكوكات عشرية، وسيكون لدينا بذلك النقطة سالب ١٫٣ دوري، ٤٫١٨٥ دوري.
قبل أن ننتقل إلى المشتقة الثانية، يمكننا أن نتذكر أيضًا أن هذا ليس الشيء الوحيد الذي يمكننا استخدام المشتقة الأولى لإيجاده. يمكننا كذلك تحديد فترات التزايد والتناقص لمنحنى الدالة باستخدام إشارة مشتقتها الأولى. وأسهل طريقة لفعل ذلك هي رسم التمثيل البياني لثلاثة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ. سنفعل ذلك باستخدام صورتها التحليلية.
إنها معادلة تربيعية لها معامل رئيسي موجب، وجذراها عند صفر وسالب أربعة على ثلاثة. وسيبدو تمثيلها البياني كالآتي. يمكننا الآن بسهولة ملاحظة أنه عندما تقع قيمة ﺱ بين صفر وسالب أربعة على ثلاثة، فإن إشارة المشتقة الأولى تكون سالبة. وعندما تكون ﺱ أقل من سالب أربعة على ثلاثة أو أكبر من صفر، تكون إشارة المشتقة الأولى موجبة.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أن منحنى الدالة ﺩﺱ يزداد عندما يكون ﺱ أقل من سالب أربعة على ثلاثة أو عندما يكون ﺱ أكبر من صفر، ويتناقص عندما تكون قيمة ﺱ بين سالب أربعة على ثلاثة وصفر.
دعونا الآن نتناول المشتقة الثانية للدالة. هذه المشتقة تقيس معدل تغير المشتقة الأولى. كما تقيس معدل تغير ميل المنحنى. ويمكننا استخدامها لتحديد تحدب المنحنى. سنوجد ﺩ شرطتين ﺱ عن طريق اشتقاق ﺩ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ومن ثم، يصبح لدينا ﺩ شرطتين ﺱ تساوي ستة ﺱ زائد أربعة.
حسنًا، يمكننا تحديد متى يكون المنحنى محدبًا لأسفل عن طريق تحديد متى تكون المشتقة الثانية موجبة؛ أي عندما يزداد ميل المنحنى. علينا هنا حل ستة ﺱ زائد أربعة أكبر من صفر. يمكننا حل هذه المتباينة بطرح أربعة من الطرفين، ثم قسمتهما على ستة وتبسيط الناتج. ونجد بذلك أن ﺱ يجب أن يكون أكبر من سالب اثنين على ثلاثة.
إذن، عندما يكون ﺱ أكبر من سالب اثنين على ثلاثة، تكون المشتقة الثانية لـ ﺩﺱ موجبة؛ أي يتزايد ميلها. بعبارة أخرى، يكون المنحنى محدبًا لأسفل. على هذه الفترة، تقع جميع خطوط المماس أسفل المنحنى. يمكننا فعل الأمر نفسه لتحديد فترة تحدب المنحنى لأعلى. علينا هنا حل ستة ﺱ زائد أربعة أقل من صفر، ونلاحظ أن ذلك يحدث عندما يكون ﺱ أقل من سالب اثنين على ثلاثة. إذن على هذه الفترة، تقع خطوط المماس أعلى المنحنى؛ لأن ميل المنحنى يتزايد على هذه الفترة.
هناك شيء أخير يمكننا ملاحظته. يتغير تحدب المنحنى عندما يكون ﺱ يساوي سالب اثنين على ثلاثة. ويطلق على النقاط التي يتغير عندها تحدب المنحنى نقاط الانقلاب. إذن، يكون للمنحنى نقطة انقلاب عندما يكون ﺱ يساوي سالب اثنين على ثلاثة. يمكننا تحديد الإحداثيات الدقيقة لنقطة الانقلاب هذه بالتعويض بسالب ثلثين في الدالة ﺩﺱ. لكن هذا ليس ضروريًّا.
ثمة أمر أخير يمكننا تحليله بشأن الدالة دون استخدام المشتقات. يمكننا التفكير في سلوك طرفي المنحنى. نلاحظ هنا أن ﺩﺱ هي دالة تكعيبية كثيرة الحدود لها معامل رئيسي موجب. إذن، عندما تقترب قيم ﺱ من ∞، تقترب المخرجات من ∞. وعندما تقترب قيم ﺱ من سالب ∞، تقترب المخرجات أيضًا من سالب ∞. وهذا يتوافق مع تحليلنا للمشتقة الأولى.
يمكننا الآن استخدام كل هذه المعلومات لرسم المنحنى. بداية، سنرسم زوجًا من محاور الإحداثيات، ويمكننا إضافة النقطتين الحرجتين إلى المنحنى. يتضمن ذلك أيضًا نقطة التقاطع مع المحور ﺹ عند صفر، ثلاثة. إننا نعلم أن ميل الدالة سيكون صفرًا عند مروره بهاتين النقطتين. ونعلم أيضًا أنه لا توجد أي نقاط تحول أخرى في المنحنى. وكلما اقترب ﺱ من ∞، اقتربت مخرجات الدالة من ∞. وبالمثل، كلما اقتربت قيم ﺱ من سالب ∞، اقتربت المخرجات من سالب ∞.
يمكننا أيضًا تحديد بعض المعلومات الرئيسية الأخرى على هذا التمثيل البياني. على سبيل المثال، لقد أوضحنا أن الجزء الوحيد المقطوع من المحور ﺱ لهذا المنحنى سيقع بين سالب اثنين وسالب ثلاثة. يمكننا أيضًا تحديد إحداثيات نقطة انقلاب هذا المنحنى. لكن كما ذكرنا من قبل، هذا ليس ضروريًّا تمامًا؛ لأننا نعلم بالفعل أن ما توصلنا إليه يتوافق مع الخيار (هـ). إذن، باستخدام المشتقات، تمكنا من تحديد أن التمثيل البياني الصحيح للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة يمثله الخيار (هـ).
