فيديو الدرس: حل المعادلات التربيعية: القانون العام الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام.

٢١:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام. هذا القانون هو صيغة قياسية يمكن استخدامها لمساعدتنا في إيجاد حلول لأنواع معينة من المعادلات التربيعية. لنفترض أن لدينا المعادلة التربيعية العامة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، أي مجرد أعداد وﺃ لا يساوي صفرًا. هذا لأنه إذا كان ﺃ يساوي صفرًا، فسيصبح لدينا معادلة خطية. يوضح القانون العام أن حلول هذه المعادلة التربيعية، إن وجدت، تعطى بالعلاقة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ.

حسنًا، عندما قلنا إن وجدت، كنا نقصد أن هناك بعض المعادلات التربيعية التي ليس لها حلول ذات قيم حقيقية. وبالتالي، لن تفلح محاولة استخدام هذا القانون في تلك الحالة. هل يمكنك أن تستنتج من صيغة القانون السبب وراء ذلك؟ حسنًا، نلاحظ أن القانون يحتوي على الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ. ونحن نعلم أنه عند أخذ أي جذر تربيعي، يجب أن تكون القيمة التي نحاول إيجاد جذرها التربيعي عددًا موجبًا أو صفرًا. وعليه، فإذا كان المقدار داخل الجذر التربيعي، أي ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، له قيمة سالبة، فسيكون ما نحاول إيجاده هو الجذر التربيعي لقيمة سالبة، وهو ما لا يفلح معه القانون. مع ذلك، ليس عليك القلق بشأن هذا الأمر الآن لأنك لن تواجه هذه المشكلة مع المعادلات التربيعية المطلوب منك حلها في هذا المستوى. لكن إذا انتقلت إلى مستوى أعلى في دراسة الرياضيات، فستتناول هذا الموضوع بمزيد من التفصيل.

والآن، إذا كنت مهتمًّا بمعرفة من أين تأتي صيغة هذا القانون، ففي الواقع يمكنك استنتاجها بإعادة كتابة المعادلة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا لجعل ﺱ المتغير التابع؛ أي في طرف بمفرده. وقد كتبنا أولى خطوات هذه العملية. إحدى الخطوات الأساسية الأولى هي أخذ ﺃ عاملًا مشتركًا. هذا هو معامل ﺱ تربيع. وكما قلنا، ﺃ يجب ألا يساوي صفرًا. لذلك، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على هذا العامل. في الخطوة التالية علينا استخدام طريقة إكمال المربع. وقد كتبنا الخطوة الأولى منها هنا. إذا كنت تحب التحدي، فإن استكمال الخطوات الباقية من هذه الطريقة سيكون تدريبًا مفيدًا للغاية في تعزيز مهاراتك الجبرية.

من المهم أيضًا توضيح أنه إذا كان حل معادلة تربيعية ممكنًا بالتحليل، فسيكون من الممكن أيضًا استخدام القانون العام والذي سيعطي النتيجة نفسها. لكن هذا الأمر على الأرجح سيتطلب منك جهدًا أكبر، وستزيد احتمالية الوقوع في أخطاء. يكون استخدام القانون العام مفيدًا حقًّا في الحالات التي لا يمكن فيها تحليل المعادلة التربيعية. وسنركز في هذا الفيديو على كيفية إجادة تطبيق هذا القانون. بغض النظر عن بلدك أو معايير الامتحان فيها، فعلى الأرجح ستحتاج إلى حفظ هذا القانون عن ظهر قلب. ولا داعي للقلق إذا بدا هذا القانون صعبًا بعض الشيء في هذه المرحلة. فكلما زاد عدد مرات استخدامك له، صار مألوفًا بالنسبة إليك. وستندهش من سرعة تعلمك له. ألا تصدقني؟ حسنًا، هيا نتناول بعض الأمثلة.

أوجد مجموعة حل المعادلة خمسة ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص ٣٢ يساوي صفرًا، مقربًا الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

حسنًا، لدينا هنا معادلة تربيعية ومطلوب منا إيجاد مجموعة حلها؛ أي حل المعادلة. نعلم من السؤال أن علينا تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية. وهذا دليل واضح على أن المعادلة التربيعية المعطاة لن يتم حلها عن طريق التحليل. وبالتالي، علينا استخدام طريقة أخرى. سنحتاج هنا إلى استخدام القانون العام الذي علينا حفظه عن ظهر قلب. وفقًا للقانون العام، لدينا المعادلة التربيعية العامة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، فإن مجموعة الحل أو جذري هذه المعادلة، إن وجدا، يعطيان بالعلاقة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ.

لتطبيق هذا القانون، علينا تحديد قيم ﺃ وﺏ وﺟ. ‏ﺃ هو معامل ﺱ تربيع. ويساوي خمسة في هذه المعادلة. ‏ﺏ هو معامل ﺱ. ويساوي، في هذه المعادلة، سالب سبعة. وعلينا أن نتأكد من تضمين الإشارة السالبة. ‏ﺟ هو الحد الثابت. ويساوي سالب ٣٢ في هذه المعادلة. كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ في صيغة القانون العام. وبذلك، نحصل على ﺱ يساوي سالب ﺏ — أي سالب سالب سبعة — زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع — أي سالب سبعة تربيع — ناقص أربعة ﺃﺟ، وهو ما يساوي سالب أربعة في خمسة في سالب ٣٢. كل هذا مقسوم على اثنين ﺃ. وهو ما يساوي اثنين في خمسة. يمكننا تقسيم صيغة القانون على خطوات إذا أردنا، أو يمكننا التعويض مباشرة فيها. لكن، عليك مراعاة الدقة والانتباه أثناء ذلك.

سنرى الآن ما يمكن تبسيطه في هذه المعادلة. لدينا سالب سالب سبعة. أي لدينا سبعة. وفي المقام، لدينا اثنان في خمسة وهو ما يساوي ١٠. لنتناول الآن الجذر التربيعي. أولًا، لدينا سالب سبعة تربيع، وسالب سبعة تربيع يساوي ٤٩. إذا كنا نستخدم الآلة الحاسبة لمساعدتنا في الحل، فمن الشائع جدًّا ارتكاب خطأ عند إيجاد هذه القيمة. ذلك لأن ما يفعله كثير من الناس عن طريق الخطأ هو كتابة سالب سبعة تربيع في الآلة الحاسبة، تمامًا كما كتبتها باللون البرتقالي هنا.

وبفعل ذلك، تعطينا الآلة الحاسبة الناتج سالب ٤٩، لكن هذا لا يعني أن الآلة الحاسبة قد ارتكبت خطأ. بل هذا يعني أنك ارتكبت خطأ في كتابة السؤال. سالب سبعة تربيع يعني سالب واحد مضروبًا في سبعة تربيع. وباسترجاع قاعدة ترتيب إجراء العمليات الحسابية، سنحسب الأسس أو القوى قبل الضرب. إذن، سالب سبعة تربيع يعني سالب واحد مضروبًا في سبعة تربيع، وهو ما يساوي سالب واحد مضروبًا في ٤٩؛ أي سالب ٤٩. إذن، كان علينا كتابة سالب سبعة داخل قوس، الكل تربيع، في الآلة الحاسبة. وبذلك، نضمن أن تحسب الآلة الحاسبة القيمة السالبة أولًا، ثم نقوم بتربيعها. هذا خطأ شائع جدًّا، وعليك الانتباه حتى لا تقع فيه.

سنتابع العمليات الحسابية داخل الجذر التربيعي ونطرح أربعة في خمسة في سالب ٣٢. أربعة في خمسة في سالب ٣٢ يساوي سالب ٦٤٠. هذا يعني أننا نطرح سالب ٦٤٠، ما يعني أننا نضيف ٦٤٠. لكن مرة أخرى، علينا أن ننتبه جيدًا للإشارات السالبة هنا. بتبسيط القيم داخل الجذر التربيعي؛ ٤٩ زائد ٦٤٠ نحصل على ٦٨٩. وبهذا نكون قد حصلنا على ﺱ يساوي سبعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٦٨٩ على ١٠.

حسنًا، مطلوب منا أن يكون الحل في صورة أعداد عشرية، لذا علينا استخدام الآلة الحاسبة لحساب ذلك. القيمة أو الجذر الأول في مجموعة الحل هو سبعة زائد الجذر التربيعي لـ ٦٨٩ الكل مقسوم على ١٠، وهو ما يساوي ٣٫٣٢٤٨٨ مع توالي الأرقام. الجذر الثاني أو القيمة الثانية في مجموعة الحل هي سبعة ناقص الجذر التربيعي لـ ٦٨٩ الكل مقسوم على ١٠. وهذا يساوي سالب ١٫٩٢٤٨٨. مطلوب منا أن تكون القيم لأقرب ثلاث منازل عشرية، وفي القيمتين لدينا، العلامة العشرية الرابعة هي ثمانية. لذا سنقرب لأعلى. ويمكننا وضع قيمتي الجذرين في قوس المجموعة. وبالتالي، ستكون مجموعة حل هذه المعادلة هي ٣٫٣٢٥، سالب ١٫٩٢٥.

أهم مرحلتين في هذا السؤال كانتا تحديد قيم ﺃ وﺏ وﺟ بشكل صحيح من المعادلة التربيعية مع مراعاة تضمين إشارات تلك القيم، ثم استخدام الإشارات بدقة عند تطبيق القانون العام. في المثال التالي، سنرى كيف نطبق القانون العام على معادلة قد لا تبدو معادلة تربيعية للوهلة الأولى.

أوجد مجموعة حل المعادلة اثنان ﺱ ناقص خمسة يساوي ستة على ﺱ، مقربًا القيم لأقرب ثلاث منازل عشرية.

حسنًا، للوهلة الأولى، قد لا نعرف كيف نحل هذه المعادلة لأنها تتضمن حدًّا مقلوبًا؛ وهو ستة على ﺱ. لكن ثمة حيلة علينا معرفتها، وهي أنه إذا ضربنا المعادلة كلها في ﺱ، فسوف يلغى هذا الكسر. وبذلك، نحصل في الطرف الأيمن على ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص خمسة. وفي الطرف الأيسر، نحصل على ﺱ مضروبًا في ستة على ﺱ. يمكننا توزيع الأقواس أو فكها في الطرف الأيمن لنحصل على اثنين ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ. وفي الطرف الأيسر، يمكن تبسيط ﺱ مضروبًا في ستة على ﺱ إلى ستة. وبذلك نكون قد ألغينا الكسر. نلاحظ الآن أن لدينا معادلة تربيعية. وبالتالي، ستكون الخطوة التالية هي تجميع كل الحدود في الطرف نفسه.

يمكننا فعل ذلك بطرح ستة من طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا اثنان ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا، وهي معادلة تربيعية في أبسط صورة يمكن التعرف عليها. والآن، يمكننا التحقق سريعًا لمعرفة إذا ما كان يمكن حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل. لكن بما أن المطلوب منا في السؤال هو أن نقرب مجموعة الحل لأقرب ثلاث منازل عشرية، فإن هذا دليل كاف على أنه لا يمكن تحليلها. وبالتالي، علينا تطبيق القانون العام بدلًا من ذلك. يتعلق هذا القانون بالمعادلة التربيعية العامة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ففي هذه الحالة، تعطى مجموعة الحل أو جذرا هذه المعادلة التربيعية بالعلاقة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ.

من المهم ملاحظة أن القانون العام يستخدم معادلة تربيعية تكون فيها جميع الحدود في أحد الطرفين، والعدد صفر في الطرف الآخر. وبالتالي، عندما نحدد القيم ﺃ وﺏ وﺟ لنعوض بها في صيغة القانون، علينا استخدام المعادلة التربيعية في صورتها المعاد ترتيبها، وليس في صورتها السابقة وهي اثنان ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ يساوي ستة. وإذا استخدمنا الصورة السابقة، فسيكون لدينا إشارة خاطئة للقيمة ﺟ، وهذا سيؤدي إلى حل غير صحيح. دعونا نحدد الآن قيم ﺃ وﺏ وﺟ في المعادلة التربيعية. ‏ﺃ هو معامل ﺱ تربيع. إنه يساوي اثنين. ‏ﺏ هو معامل ﺱ، ويساوي سالب خمسة. وأخيرًا، ﺟ هو الحد الثابت، ويساوي سالب ستة. تذكر أن علينا تضمين الإشارة مع كل من هذه القيم.

بعد ذلك، علينا التعويض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ بدقة في القانون العام. لدينا ﺱ يساوي سالب ﺏ — أي سالب سالب خمسة — زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع — أي سالب خمسة تربيع — ناقص أربعة ﺃﺟ — أي ناقص أربعة في اثنين في سالب ستة — الكل مقسوم على اثنين ﺃ، وهو ما يساوي اثنين في اثنين. سنبسط هذا المقدار الآن، مع الانتباه جيدًا للإشارات السالبة. سالب سالب خمسة يساوي ببساطة خمسة. وفي المقام، اثنان في اثنين يساوي أربعة. وداخل الجذر التربيعي، لدينا سالب خمسة تربيع يساوي ٢٥.

انتبه جيدًا هنا، خاصة إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة. فمن الأخطاء الشائعة كتابة هذه القيمة كسالب ٢٥. بعد ذلك، سنطرح أربعة في اثنين في سالب ستة. أي إننا سنطرح سالب ٤٨. داخل الجذر التربيعي، ٢٥ ناقص سالب ٤٨ هو نفسه ٢٥ زائد ٤٨، وهو ما يساوي ٧٣. وبهذا، نحصل على ﺱ يساوي خمسة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٧٣ على أربعة. وهذه هي الإجابة الدقيقة بدلالة الجذور الصماء.

لكن السؤال يطلب منا تقريب القيم لأقرب ثلاث منازل عشرية. لذا، علينا الآن إيجاد هذه القيم على الآلة الحاسبة. القيمة الأولى هي ﺱ يساوي خمسة زائد الجذر التربيعي لـ ٧٣ الكل على أربعة، وهو ما يساوي ٣٫٣٨٦٠٠. القيمة الثانية هي خمسة ناقص الجذر التربيعي لـ ٧٣ الكل على أربعة، وهو ما يساوي سالب ٠٫٨٨٦٠٠. وبتقريب هاتين القيمتين لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على مجموعة الحل ٣٫٣٨٦، سالب ٠٫٨٨٦.

ثمة نقطتان مهمتان يتعين علينا تذكرهما من هذا السؤال. أولًا، علينا التأكد من أن المعادلة التربيعية على الصورة الصحيحة التي تكون فيها جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة قبل تحديد المعاملات ﺃ وﺏ وﺟ. وثانيًا، علينا الانتباه جيدًا للقيم السالبة التي ستكون موجودة بعد التعويض في صيغة القانون العام. هيا نتناول مثالًا أخيرًا سيتضح لنا من خلاله شيء مثير للاهتمام حول العلاقة بين مجموع جذري المعادلة التربيعية ومعاملاتها.

مجموع جذري المعادلة أربعة ﺱ تربيع زائد ﻙﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا هو سالب واحد. أوجد قيمة ﻙ ومجموعة حل المعادلة.

حسنًا نريد أولًا إيجاد قيمة ﻙ، وهو المعامل الناقص في هذه المعادلة التربيعية. إنه معامل ﺱ. علينا استخدام القانون العام لإيجاد المقدارين المعبرين عن جذري هذه المعادلة، وهذا سيكون بدلالة ﻙ. وكما نذكر، فإن أي معادلة تربيعية عامة، ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، يعطى جذراها بالعلاقة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ.

هيا نحدد إذن قيم ﺃ وﺏ وﺟ لهذه المعادلة التربيعية، وسنجد أنها مكتوبة بالصورة الصحيحة حيث إن جميع الحدود موجودة في الطرف نفسه. قيمة ﺃ هي معامل ﺱ تربيع. إذن، ﺃ يساوي أربعة. قيمة ﺏ هي معامل ﺱ. وعليه، فإن ﺏ يساوي هذه القيمة المجهولة ﻙ. وﺟ هو الحد الثابت، أي إن ﺟ يساوي سالب أربعة. وبالتعويض في القانون العام، نجد أن ﺱ يساوي سالب ﻙ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﻙ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في سالب أربعة الكل على اثنين مضروبًا في أربعة. في المقام، اثنان في أربعة يساوي ثمانية. وداخل الجذر التربيعي، أربعة في أربعة في سالب أربعة يساوي سالب ٦٤. وطرح سالب ٦٤ هو نفسه إضافة ٦٤. ومن ثم، يصبح لدينا سالب ﻙ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﻙ تربيع زائد ٦٤ الكل على ثمانية.

علمنا من المعطيات معلومة أساسية؛ وهي أن مجموع جذري هذه المعادلة يساوي سالب واحد. إذن، سنجمع المقدارين المعبرين عن الجذرين ونحصل على المعادلة الموجودة على الشاشة. والآن، بما أن هذين الكسرين لهما مقام مشترك، وهو ثمانية، يمكننا دمجهما ليصبح لدينا كسر واحد. نلاحظ هنا أن هناك الكثير من عمليات التبسيط التي يمكن فعلها. لدينا زائد الجذر التربيعي لـ ﻙ تربيع زائد ٦٤، ثم ناقص الجذر التربيعي لـ ﻙ تربيع زائد ٦٤. إذن، سيلغي هذان الحدان أحدهما الآخر. تتبقى لدينا المعادلة الأبسط وهي سالب اثنين ﻙ على ثمانية يساوي سالب واحد، والتي يمكننا حلها بالضرب في ثمانية والقسمة على سالب اثنين لنحصل على ﻙ يساوي أربعة.

في الحقيقة، لقد استنتجنا نتيجة عامة ومفيدة للغاية. فعندما جمعنا الجذرين معًا، حذف الجزءان الموجودان داخل الجذر التربيعي بسبب احتوائهما على إشارات مختلفة. وعليه، فما تبقى لدينا هو مساهمة كل جذر في المجموع، أي سالب ﺏ على اثنين ﺃ فقط. لذا، جمعنا مثلي هذا الناتج وهو ما يعطينا سالب اثنين ﺏ على اثنين ﺃ، والذي يبسط إلى سالب ﺏ على ﺃ. وقد وجدنا هنا أن ﻙ يساوي أربعة. إذن، قيمة ﺏ في المعادلة التربيعية هي أربعة. ومن ثم، فإن سالب ﺏ على ﺃ يعطينا سالب أربعة على أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد، أي المجموع الصحيح للجذرين. لكن يتضح لنا من هذا الاستنتاج بوجه عام أن مجموع جذري المعادلة التربيعية يساوي سالب ﺏ على ﺃ. ويمكننا كتابة هذا الجزء باعتباره نتيجة عامة.

والآن بعد أن عرفنا قيمة ﻙ، علينا إيجاد قيم ﺱ. لدينا سالب أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد ٦٤ على ثمانية. يمكننا تبسيط الجذر الأصم هنا. والجذر التربيعي لـ ٨٠ يساوي أربعة جذر خمسة. ومن ثم بقسمة الطرفين على العامل المشترك أربعة، نحصل على الحلين المبسطين؛ سالب واحد زائد أو ناقص الجذر التربيعي لخمسة على اثنين. وبذلك نكون قد أكملنا حل المسألة. قيمة ﻙ تساوي أربعة، ومجموعة حل المعادلة المكتوبة على صورة جذر أصم هي سالب واحد ناقص جذر خمسة على اثنين، سالب واحد زائد جذر خمسة على اثنين.

هيا نلخص الآن ما تناولناه في هذا الفيديو. يمكن استخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. تعطى مجموعة الحل أو جذرا هذه المعادلة، إن وجدا، بالعلاقة ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ. في المثال الأخير، رأينا أيضًا أن مجموع جذري المعادلة التربيعية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا هو سالب ﺏ على ﺃ، وهو ما يمكننا استخدامه كنتيجة عامة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.