فيديو: تحليل القطع المكافئ

يوضح الفيديو تعريف القطع المكافئ، وشكله وخصائصه؛ وهي البؤرة والرأس والدليل ومحور التماثل، وكيفية استنتاج معادلته باستخدامها.

٠٨:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم عن القطع المكافئ. هنتكلّم عن شكله وخصائصه. وهنستنتج المعادلة بتاعته.

أولًا: القطع المكافئ هو أحد القطاعات المخروطية. والقطاعات المخروطية هي القطاعات اللي بتنشأ نتيجة تقاطع المخروط مع مستواه. التقاطع ده بينتج عنه أربع أنواع من القطاعات المخروطية. الأربع أنواع دول همّ الدايرة، والقطع الناقص، والقطع المكافئ، والقطع الزائد. في الفيديو ده إحنا هنتكلّم بس عن القطع المكافئ.

لمّا مستوى ما بيتقاطع مع المخروط بالشكل اللي ظاهر قدامنا ده، بينتج عنه القطع المكافئ، اللي هو موضوع الفيديو ده. أمَّا بالنسبة لتحليل المنحنى بتاع القطع المكافئ، فزيّ ما ظاهر في الشكل اللي قدامنا، ده شكل القطع المكافئ. المنحنى اللي مرسوم بالأزرق هو اللي بيمثّل القطع المكافئ. عندنا خطّين مرسومين بالأسود؛ الخطّ الرأسي ده بنسمّيه الدليل. والخطّ الأفقي بنسمّيه محور التماثُل.

وفيه نقطتين مهمّين لازم نعرّفهم؛ النقطة دي بنسمّيها الرأس بتاع القطع المكافئ. والنقطة دي بنسمّيها البؤرة. وباستخدام التعريفات دي، نقدر نقول: إن القطع المكافئ هو المحلّ الهندسي لأيّ نقطة بتقع على مسافة متساوية بين البؤرة والدليل. ملاحظة أخيرة ممكن نقولها، هو إن دايمًا الرأس والبؤرة بيقعوا على محور التماثُل. ومحور التماثُل ده بيكون الخطّ العمودي على الدليل بتاع القطع المكافئ.

في الصفحة اللي جايّة، هنستنتج معادلة بتعبّر عن القطع المكافئ. زيّ ما ظاهر في الشكل قدامنا، ده قطع مكافئ. هنحاول نستخدمه؛ عشان نستنتج معادلة بتعبّر عن القطع المكافئ. أولًا عندنا الرأس بتاع القطع المكافئ بيقع على مسافة م أفقيًّا، ومسافة ر رأسيًّا. يعني إحداثيات نقطة الرأس هي م وَ ر. أمَّا بالنسبة للبؤرة بتاعة القطع المكافئ، فهي بتقع على مسافة ن من الرأس بتاع القطع المكافئ. وطبعًا النقطتين بيقعوا على محور التماثُل بتاع القطع.

أمَّا بالنسبة للدليل، فمن تعريف القطع المكافئ، لازم المسافة ما بين الدليل والرأس بتاع القطع المكافئ تبقى هي هي المسافة ما بين الرأس بتاع القطع المكافئ والبؤرة. إذن المسافة ما بين الدليل والرأس بتاعة القطع المكافئ بتساوي ن. ويبقى إذن الدليل نقدر نعبّر عنه بالخطّ الرأسي اللي المعادلة بتاعته: س تساوي م ناقص ن.

دلوقتي لو أخدنا أيّ نقطة عامّة؛ أ إحداثياتها س وَ ص، بتقع على القطع المكافئ. طيب النقطة أ هي نقطة عامّة بتقع على منحنى القطع المكافئ. وإحداثياتها س وَ ص. إذن لازم تحقَّق شرط القطع المكافئ، اللي هو إن المسافة ما بينها وبين البؤرة تساوي المسافة ما بينها وبين الدليل. يعني معنى كده إن المسافة أ ب لازم تساوي المسافة أ ج. والمسافة ما بين النقطة أ والدليل هي هتيجي بإننا نسقط عمود من النقطة أ للدليل. يعني إذن الخطّ أ ج عمودي على الدليل وموازي لمحور التماثُل. ويبقى الشرط الهندسي اللي لازم نحقّقه هو إن القطعة المستقيمة أ ب بتساوي القطعة المستقيمة أ ج. أو بتربيع الطرفين، نقدر نقول: إن القطعة المستقيمة أ ب تربيع بتساوي القطعة المستقيمة أ ج تربيع.

طيب المسافة ما بين النقطة أ والنقطة ب تربيع هي عبارة عن الإحداث السيني للنقطة أ، اللي هو س. ناقص الإحداث السيني للنقطة ب، اللي هو م زائد ن الكل تربيع. زائد الإحداث الصادي للنقطة أ، اللي هو ص. ناقص الإحداث الصادي للنقطة ب، اللي هو ر الكل تربيع. المقدار ده المفروض يساوي مسافة ما بين النقطة أ والنقطة ج تربيع، اللي هي الإحداث السيني للنقطة أ، اللي هو س، ناقص الإحداث السيني للنقطة ج، اللي هو نفس الإحداث السيني بتاع الخطّ الرأسي س تساوي م ناقص ن.

يبقى إذن الإحداث السيني بتاع النقطة ج هو م ناقص ن. يبقى إذن س ناقص، م ناقص ن الكل تربيع. زائد الإحداث الصادي للنقطة أ، اللي هو ص. ناقص الإحداث الصادي للنقطة ج، اللي هو برضو ص. لأن الخطّ أ ج هو خطّ أفقي. يبقى إذن النقطة أ والنقطة ج ليهم نفس الإحداث الصادي.

طيب لو بسّطنا المعادلة دي، هتبقى عبارة عن: س تربيع، ناقص اتنين س مضروبة في، م زائد ن، زائد م زائد ن الكل تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع. يساوي س تربيع، ناقص اتنين س مضروبة في، م ناقص ن، زائد م ناقص ن الكل تربيع، زائد … ص ناقص ص طبعًا بيساوي صفر، يبقى زائد صفر تربيع. هنلاقي هنا في الطرف الأيمن فيه س تربيع، وفي الطرف الأيسر فيه س تربيع. ممكن نختصرهم مع بعض.

لو فكّينا الأقواس اللي في الطرف الأيمن والطرف الأيسر، هيبقوا سالب اتنين م س، ناقص اتنين ن س، زائد م تربيع، زائد اتنين م ن، زائد ن تربيع، زائد ص ناقص ر الكل تربيع. القوس ده مش هنفكّه، هنسيبه زيّ ما هو. يساوي سالب اتنين م س، زائد اتنين ن س، زائد م تربيع، ناقص اتنين م ن، زائد ن تربيع.

لو بصّينا على الطرفين، هنلاقي إن فيه سالب اتنين م س، وهنا سالب اتنين م س، ممكن نختصرهم مع بعض. وبرضو هنلاقي م تربيع وم تربيع، برضو ممكن نختصرهم مع بعض. وكمان فيه ن تربيع وَ ن تربيع، نقدر نختصرهم مع بعض. لو أعدنا ترتيب الحدود اللي فاضلة، هتبقى أربعة ن س، ناقص أربعة م ن يساوي ص ناقص ر الكل تربيع. لو أخدنا أربعة ن عامل مشترك في الطرف الأيمن، المعادلة هتبقى: ص ناقص ر الكل تربيع يساوي أربعة ن مضروبة في، س ناقص م. ويبقى هي دي المعادلة اللي بتعبّر عن قطع مكافئ مفتوح أفقيًّا.

في الصفحة اللي جايّة، هنشوف بعض الملاحظات على المعادلة اللي استنتجناها. في الصفحة اللي فاتت استنتجنا إن المعادلة بتاعة القطع المكافئ المفتوح أفقيًّا هي: ص ناقص ر الكل تربيع تساوي أربعة ن مضروبة في، س ناقص م. أول ملاحظة هنلاحظها هو إن ص مطروح منها ر، اللي هي الإحداث الصادي للرأس بتاع القطع المكافئ. والملاحظة التانية إن س مطروح منها م، اللي هي الإحداث السيني بتاع الرأس. وأخيرًا ن هي كانت عبارة عن المسافة ما بين الرأس والبؤرة، أو ما بين الرأس والدليل. يبقى بكل بساطة، لو عرفنا الإحداثيات بتاع الرأس بتاع القطع المكافئ، اللي همّ م وَ ر، وكمان عرفنا المسافة ما بين الرأس والبؤرة، أو ما بين الرأس والدليل. نقدر نجيب المعادلة بتاعة القطع المكافئ.

أمَّا بالنسبة لقطع مكافئ مفتوح رأسيًّا، فنقدر نتّبع نفس الإثبات اللي عملناه في الصفحة اللي فاتت. فلو عملنا كده، المعادلة بتاعة القطع المكافئ ده هتبقى عبارة عن: س ناقص م الكل تربيع يساوي أربعة ن مضروبة في، ص ناقص ر. حيث م وَ ر هي الإحداثيات بتاعة نقطة الرأس؛ م الإحداث السيني، وَ ر الإحداث الصادي، وَ ن هي المسافة ما بين الرأس والبؤرة، أو ما بين الرأس والدليل.

طيب كده في الفيديو ده إحنا اتعرّفنا على القطاعات المخروطية. وشُفنا حالة واحدة منهم، اللي هي القطع المكافئ. وشُفنا خصائص القطع المكافئ، والمصطلحات اللي بتعرّفوا. وكمان استنتجنا معادلة بتعبّر عن القطع المكافئ المفتوح أفقيًّا، ومعادلة للقطع المكافئ المفتوح رأسيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.