تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة تتضمن جذورًا باستخدام قاعدة القوة الرياضيات

أوجد قيمة تكامل (٩ في الجذر التربيعي لـ(ﺱ) + ٢ﺱ − (١‏/‏الجذر التربيعي لـ ﺱ)) ﺩﺱ.

٠٧:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة تكامل تسعة في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد اثنين ﺱ ناقص واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل المجموع أو الفرق بين ثلاثة حدود، ونعلم أنه يمكننا إجراء هذا حدًّا حدًّا. نعلم كيف نوجد تكامل اثنين ﺱ باستخدام قاعدة القوة للتكامل. ومع ذلك، فإن الحدين الآخرين ليسا بسيطين للغاية. لا يمكننا إيجاد قيمة تكامل هذين الحدين مباشرة. هذا يعني أن علينا إعادة كتابتهما على صورة يمكننا إيجاد تكاملها. سنفعل ذلك باستخدام قوانين الأسس.

أول شيء علينا ملاحظته هو أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺱ على صورة ﺱ أس نصف باستخدام قوانين الأسس. هذا سيسمح لنا على الفور بإيجاد تكامل الحد الأول. في الواقع، سنستخدم ذلك أيضًا لإعادة كتابة الحد الثالث. إذن، باستخدام هذه الطريقة، نكون قد أعدنا كتابة التكامل على صورة تكامل تسعة ﺱ أس نصف زائد اثنين ﺱ ناقص واحد مقسومًا على ﺱ أس نصف بالنسبة إلى ﺱ. والآن نلاحظ أنه يمكننا إيجاد قيمة تكامل الحدين الأول والثاني باستخدام قاعدة القوة للتكامل. إذن، كل ما علينا فعله الآن هو إعادة كتابة الحد الثالث على صورة يمكننا إيجاد تكاملها.

وفي الواقع، الحد الثالث تقريبًا على صورة يمكننا إيجاد تكاملها باستخدام قاعدة القوة للتكامل. كل ما علينا فعله هو استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة الحد ﺱ في البسط. ولإجراء ذلك، علينا فقط تذكر أن واحدًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس سالب ﻥ لأي ثابت حقيقي ﻥ. في هذه الحالة، قيمة ﻥ هي نصف. إذن، يمكننا إعادة كتابة الحد الثالث في الدالة التي سيجرى عليها التكامل على صورة سالب واحد في ﺱ أس سالب نصف.

هذا يعني أننا الآن قد أعدنا كتابة التكامل على صورة التكامل تسعة ﺱ أس نصف زائد اثنين ﺱ ناقص ﺱ أس سالب نصف بالنسبة إلى ﺱ. والآن، كتبنا هذا على صورة يمكننا إيجاد تكاملها حدًّا حدًّا باستخدام قاعدة القوة للتكامل. نتذكر أن هذه القاعدة تنص على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. بعبارة أخرى، نضيف واحدًا إلى أس ﺱ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد.

نريد أن نطبق هذا حدًّا حدًّا. لنبدأ بالحد الأول من الدالة التي سيجرى عليها التكامل. نلاحظ أن أس ﺱ يساوي نصفًا. علينا إذن إضافة واحد إلى الأس نصف. هذا يعطينا أسًّا جديدًا هو ثلاثة على اثنين. وبعد ذلك، علينا القسمة على الأس الجديد وهو ثلاثة على اثنين. هذا يعطينا تسعة ﺱ أس ثلاثة على اثنين الكل مقسومًا على ثلاثة على اثنين. وتوجد بضعة طرق مختلفة لتبسيط هذا. سنفعل هذا بضرب كل من البسط والمقام في اثنين.

في المقام، لدينا اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. وفي البسط، اثنان مضروبًا في تسعة يساوي ١٨. إذن، بسطنا هذا ليصبح ١٨ﺱ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على ثلاثة. وبالطبع ١٨ مقسومًا على ثلاثة يساوي ستة. إذن، بتكامل الحد الأول باستخدام قاعدة القوة للتكامل والتبسيط، نحصل على ستة ﺱ أس ثلاثة على اثنين.

نريد الآن أن نفعل الشيء نفسه مع الحد الثاني. لاستخدام قاعدة القوة للتكامل، علينا معرفة أس ﺱ. ولإجراء ذلك، علينا أن نتذكر أن ﺱ هو نفسه ﺱ أس واحد. إذن، مرة أخرى، لإيجاد تكامل هذا، علينا إضافة واحد إلى الأس ثم القسمة على هذا الأس الجديد. بإضافة واحد إلى الأس، نحصل على أس جديد وهو اثنان. ثم علينا القسمة على اثنين. وبالطبع، يمكننا تبسيط هذا. اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. إذن، بإيجاد تكامل الحد الثاني باستخدام قاعدة القوة للتكامل، فإن تبسيط هذا يعطينا ﺱ تربيع.

وأخيرًا، علينا تطبيق العملية نفسها على الحد الثالث والأخير. علينا أن نضيف واحدًا إلى أس ﺱ وهو سالب نصف. بإضافة واحد إلى سالب نصف، نحصل على أس جديد وهو نصف. بعد ذلك، علينا القسمة على هذا الأس الجديد، وهو نصف. إذن، نطرح ﺱ أس نصف مقسومًا على نصف. ونعلم أن القسمة على نصف كالضرب في اثنين تمامًا. إذن، تكامل الحد الثالث باستخدام قاعدة القوة للتكامل يعطينا سالب اثنين في ﺱ أس نصف. وتذكر أنه علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. ويمكننا أن نترك الإجابة على هذه الصورة. لكن سنستخدم قوانين الأسس للتبسيط.

أولًا، تذكر أنه يمكننا إعادة كتابة ﺱ أس ثلاثة على اثنين على صورة ﺱ تكعيب الكل مرفوع للقوة نصف. لكن تذكر أن رفع عدد للقوة نصف يماثل أخذ الجذر التربيعي له. وعليه، فإن ﺱ مرفوعًا للقوة ثلاثة على اثنين يماثل الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب. لذا، سنعيد كتابة الحد الأول على صورة ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب. وسنعيد أيضًا كتابة الحد الثالث على صورة سالب اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ. هذا يعطينا ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص اثنين جذر ﺱ زائد ﺙ. وآخر تبسيط يمكننا فعله هو إعادة ترتيب الحدين الثالث والأول، وبذلك نحصل على الإجابة النهائية.

إذن، نكون قد أوجدنا أن تكامل تسعة جذر ﺱ زائد اثنين ﺱ ناقص واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب اثنين جذر ﺱ زائد ﺱ تربيع زائد ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب زائد ثابت التكامل ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.