فيديو السؤال: الأعداد العشرية الدورية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

من خلال إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، عبر عن ٠٫٣٧٥ دوري في صورة كسر اعتيادي.

في هذا السؤال، لدينا عدد عشري به خط فوق الأعداد ثلاثة وسبعة وخمسة. هذا يعني أن هذه الأرقام الثلاثة تتكرر. ‏٠٫٣٧٥ دوري يساوي ٠٫٣٧٥٣٧٥٣٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام. تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن كتابة ذلك بوضع نقطة فوق كل من الرقمين الأول والأخير اللذين يتكرران. هناك عدة طرق لإعادة كتابة عدد عشري دوري على صورة كسر. وفي هذا السؤال، مطلوب منا القيام بذلك باستخدام معرفتنا بالمتتابعات الهندسية. نبدأ بتقسيم العدد ٠٫٣٧٥ دوري بالطريقة الموضحة. إنه يساوي ٠٫٣٧٥ زائد ٠٫٠٠٠٣٧٥ زائد ٠٫٠٠٠٠٠٠٣٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام. الطرف الأيسر من المعادلة مثال على متسلسلة هندسية، حيث الحد الأول ﺃ، والحد الثاني ﺃﺭ، والحد الثالث ﺃﺭ تربيع، وهكذا. يمكن أيضًا كتابة حدود المتسلسلة على صورة متتابعة هندسية حدها الأول ﺃ يساوي ٠٫٣٧٥.

يمكننا حساب قيمة أساس المتتابعة الهندسية ﺭ بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. إذن، ﺭ يساوي ٠٫٠٠٠٣٧٥ مقسومًا على ٠٫٣٧٥. وهذا يساوي واحدًا من ألف أو ٠٫٠٠١. وبما أن القيمة المطلقة لأساس المتتابعة الهندسية أقل من واحد، يمكننا إيجاد مجموع هذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية. يمكننا حساب المجموع بقسمة الحد الأول ﺃ على واحد ناقص ﺭ. بالتعويض بقيمتي ﺃ وﺭ، نحصل على ٠٫٣٧٥ مقسومًا على واحد ناقص ٠٫٠٠١. وهذا يساوي ٠٫٣٧٥ على ٠٫٩٩٩، وهو ما يكافئ ٣٧٥ على ٩٩٩. بسط هذا الكسر ومقامه يقبلان القسمة على ثلاثة. إذن، يمكن تبسيط الكسر إلى ١٢٥ على ٣٣٣. وعليه، يمكننا استنتاج أن العدد العشري الدوري ٠٫٣٧٥ مكتوبًا في صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة هو ١٢٥ على ٣٣٣.