فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني عشر

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني عشر

٠٦:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى ص بتساوي أربعة ناقص س تربيع، والخط المستقيم ص بتساوي س زائد اتنين.

في البداية لو عند منحنى أيّ دالة، ولتكن الدالة ر س، وكان بالشكل ده … فلو عايزين نوجد مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى ر س، من أ إلى ب، فهتكون بتساوي تكامل الدالة ر س بالنسبة لِـ س من أ إلى ب. ولو كان عندنا دالتين بالشكل ده، ومنحنى ل س ومنحنى ن س بالشكل ده … لو كنا محتاجين نوجد مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنيين، من س بتساوي أ إلى س بتساوي ب، فهتكون بتساوي مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى ل س. وهنطرح منها مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى ن س. يعني مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى ل س والمنحنى ن س، هتكون بتساوي تكامل ل س بالنسبة لِـ س من أ إلى ب، ناقص تكامل ن س بالنسبة لِـ س من أ إلى ب. وممكن نكتبها على الصورة: تكامل ل س ناقص ن س بالنسبة لِـ س من أ إلى ب.

وبما إن مطلوب نوجد مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى ص بتساوي أربعة ناقص س تربيع، والخط المستقيم ص بتساوي س زائد اتنين … يعني هنستخدم صيغة إيجاد مساحة المنطقة المحدّدة بين منحنيين. أول حاجة هنفرض إن المنحنى هو ص واحد بيساوي أربعة ناقص س تربيع. وهنفرض إن الخط المستقيم هو ص اتنين، وهيساوي س زائد اتنين. محتاجين نوجد نقط التقاطع بين المنحنى والخط المستقيم. وعشان نقدر نوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع، هنضع ص واحد بتساوي ص اتنين.

ص واحد بتساوي أربعة ناقص س تربيع. هيساوي … ص اتنين هتساوي س زائد اتنين. هنطرح من الطرفين أربعة ناقص س تربيع. هيكون عندنا صفر بيساوي س زائد اتنين ناقص أربعة ناقص س تربيع. يعني صفر هيساوي س زائد اتنين ناقص أربعة زائد س تربيع. اتنين ناقص أربعة، هتساوي سالب اتنين. يعني صفر هيساوي س ناقص اتنين زائد س تربيع. يعني نقدر نقول إن س تربيع زائد س ناقص اتنين بيساوي صفر. بالتحليل هيكون عندنا س زائد اتنين الكل مضروب في س ناقص واحد بيساوي صفر.

هيكون عندنا قيمتين لِـ س. أول قيمة إن س زائد اتنين هتكون بتساوي صفر. وساعتها س هتساوي سالب اتنين. أو تاني قيمة لِـ س إن س ناقص واحد هتساوي صفر. وساعتها س هتساوي واحد. يبقى قدرنا نوجد قيمتين لِـ س. وهيكونوا هم الإحداثيات السينية لنقط التقاطع. وهما س بتساوي سالب اتنين، وَ س بتساوي واحد.

لو عايزين نمثّل بيانيًّا المنحنى والخط المستقيم … أول حاجة عشان نقدر نمثّل المنحنى ص واحد بتساوي أربعة ناقص س تربيع، هنلاحظ إن معامل س تربيع إشارته سالبة. يعني المنحنى هيكون بينظر إلى أسفل. ولو عايزين نوجد نقطة تقاطع المنحنى مع محور الصادات، هنضع س بتساوي صفر. وبالتالي هيكون عندنا ص بتساوي أربعة. يعني المنحنى بيتقاطع مع محور الصادات عند ص بتساوي أربعة. وبالتالي المنحنى ص واحد هيكون بالشكل ده.

ولو عايزين نمثّل بيانيًّا الخط المستقيم ص اتنين بتساوي س زائد اتنين، هنلاحظ إن معامل س إشارته موجبة. وبالتالي ميل الخط المستقيم هيكون موجب. وقدرنا نجد إن نقط التقاطع بين المنحنى والخط المستقيم، عند س بتساوي سالب اتنين، وَ س بتساوي واحد. وبالتالي الخط المستقيم هيكون بالشكل ده. يعني المنطقة المحدّدة بالمنحنى والخط المستقيم هتكون هي المنطقة دي.

وبما إن المساحة المحدّدة لازم تكون قيمتها موجبة، يعني قيم الدالة ل س لازم تكون أكبر من قيم الدالة ن س، بداخل الفترة من أ إلى ب. وبالنسبة للمنحنى ص واحد والخط المستقيم ص اتنين … عشان نقدر نوجد إذا كان المنحنى ولّا الخط المستقيم اللي هيكون ليه قيم أكبر في الفترة ما بين نقط التقاطع بين المنحنى والخط المستقيم. يعني في الفترة من س بتساوي سالب اتنين، إلى س بتساوي واحد … محتاجين ناخد قيمة اختيارية بتنتمي للفترة المغلقة من سالب اتنين إلى واحد. ولتكن مثلًا س بتساوي سالب واحد. وهنعوّض عن س بتساوي سالب واحد، في معادلة المنحنى ومعادلة الخط المستقيم.

لو عوّضنا عن س بتساوي سالب واحد في معادلة المنحنى، هنَجِد إن ص واحد هتساوي أربعة ناقص سالب واحد تربيع. يعني ص واحد هتساوي تلاتة. ولو عوّضنا عن س بتساوي سالب واحد في معادلة الخط المستقيم، هنَجِد إن ص اتنين هتساوي سالب واحد زائد اتنين. يعني هتساوي واحد. يعني هنقدر نلاحظ إن قيم ص واحد هتكون أكبر من أو بتساوي قيم ص اتنين، لكل س اللي بتنتمي للفترة المغلقة من سالب اتنين إلى واحد. يعني هنعتبر إن المنحنى ص واحد هو ل س. وهنعتبر إن الخط المستقيم ص اتنين هو ن س.

وبالتالي مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى والخط المستقيم، هتكون بتساوي تكامُل … هنعوّض عن ل س بِـ ص واحد. يعني أربعة ناقص س تربيع، ناقص …هنعوّض عن ن س بِـ ص اتنين. يعني س زائد اتنين. بالنسبة لِـ س من أ إلى ب. وبما إن قيمة أ لازم تكون أصغر من قيمة ب، يعني قيمة أ هتكون هي سالب اتنين، وقيمة ب هتكون هي واحد. يبقى حدود التكامل من سالب اتنين إلى واحد.

بداخل التكامل هنَجِد إن عندنا أربعة ناقص س تربيع ناقص س زائد اتنين. هنفكّ الأقواس. يعني هيكون عندنا أربعة ناقص س تربيع ناقص س ناقص اتنين. أربعة ناقص اتنين هتساوي اتنين. فهيكون عندنا اتنين ناقص س تربيع ناقص س. يعني المساحة هتساوي … تكامل اتنين هتساوي اتنين س. وتكامل سالب س أس اتنين هتساوي سالب س أس تلاتة الكل مقسوم على تلاتة. وتكامل سالب س هتساوي سالب س تربيع الكل مقسوم على اتنين. من سالب اتنين إلى واحد.

يعني المساحة هتساوي …أول حاجة هنعوّض عن س بواحد. فهيكون عندنا اتنين في واحد، يعني اتنين. ناقص … واحد أس تلاتة، يعني بتساوي واحد، مقسوم على تلاتة. ناقص … واحد أس اتنين، يعني بتساوي واحد مقسوم على اتنين. ناقص … هنعوّض عن س بسالب اتنين. اتنين في سالب اتنين، يعني هتساوي سالب أربعة. ناقص … سالب اتنين أس تلاتة، يعني هتساوي سالب تمنية، مقسومة على تلاتة. ناقص … سالب اتنين أس اتنين، يعني هتساوي أربعة، مقسومة على اتنين. يعني المساحة هتساوي تسعة على اتنين.

يبقى قدرنا نوجد مساحة المنطقة المحدّدة بالمنحنى والخط المستقيم، وكانت بتساوي تسعة على اتنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.