فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متوازيين ممثلين في شكل معطى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ مربع له أربعة أضلاع، وﻱ متجه وحدة متعامد على مستوى المربع. أوجد ﺃﺩ ضرب اتجاهي ﺏﺟ.

بالنظر إلى المربع، نلاحظ أن الركنين ﺃ وﺩ يقعان في هذا الموضع وﺏ وﺟ يقعان هنا. يطلب منا هذا السؤال تعريف متجهين، أحدهما من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺩ، والآخر من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺟ، ثم إيجاد حاصل ضربهما الاتجاهي. المتجه ﺃﺩ يبدو هكذا، والمتجه ﺏﺟ يبدو هكذا. بما أن هذين المتجهين يقعان على ضلعي هذا المربع، فإننا نعرف أن معيار كل منهما يساوي أربعة. كلاهما يشير أيضًا إلى الاتجاه نفسه في مستوى الشاشة.

بوجه عام، إذا كان لدينا متجهان، سنطلق عليهما ﺃ وﺏ، وأردنا إيجاد حاصل ضربهما الاتجاهي، فإن هذا يساوي معيار أحدهما في معيار الآخر في جيب الزاوية المحصورة بينهما. هنا سمينا هذه الزاوية 𝜃، فالناتج يكون في اتجاه متجه عمودي على كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.

بتطبيق هذه العلاقة على الحالة التي لدينا، في الطرف الأيسر، نستخدم 𝜃 مرة أخرى لتحديد الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃﺩ وﺏﺟ. نعرف أن هذا المتجه ﻱ هو متجه وحدة متعامد على مستوى المربع. هذا يعني أنه يتجه إما إلى داخل الشاشة وإما إلى خارجها. الآن أصبحنا نعرف معيار ﺃﺩ ومعيار ﺏﺟ. فمعيار كل منهما يساوي أربعة. لكن دعونا نفكر في جيب الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين. بما أن المتجهين يشيران إلى الاتجاه نفسه تمامًا، فإن الزاوية المحصورة بينهما تساوي صفر درجة.

إذن يمكننا أن نكتب أن حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي أربعة في أربعة في جا صفر درجة في اتجاه المتجه ﻱ. لكن جا صفر درجة نفسه يساوي صفرًا. وهذا يعني أن التعبير بأكمله؛ أي حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي صفرًا. عندما يكون لدينا متجهان متوازيان، كما هو الحال هنا، أو متوازيان في اتجاهين متضادين، فإن حاصل الضرب الاتجاهي بينهما يجب أن يكون صفرًا. هذا لأنه في المتجهات المتوازية، جا صفر درجة يساوي صفرًا. وفي المتجهات المتوازية في اتجاهات متضادة، جا ١٨٠ درجة يساوي صفرًا. إذن ﺃﺩ ضرب اتجاهي ﺏﺟ يساوي صفرًا.