فيديو الدرس: حجم الهرم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حجم الهرم الثلاثي والرباعي، ونحل المسائل التي تتضمن مواقف حياتية.

يمكننا البدء بتذكير أنفسنا بتعريف الهرم. الهرم هو شكل ثلاثي الأبعاد قاعدته مضلعة الشكل؛ على سبيل المثال، قد تكون قاعدته مثلثًا أو مربعًا أو شكلًا خماسيًا أو ما إلى ذلك. وجميع الأوجه الأخرى مثلثات تلتقي عند قمة الهرم أو رأسه.

نتذكر هنا أن هناك نوعين خاصين من الأهرام. النوع الأول هو الهرم القائم، وهو هرم تقع قمته فوق مركز القاعدة. النوع الثاني هو الهرم المنتظم، وهو هرم قائم قاعدته مضلع منتظم. هذا يعني أن جميع أضلاع القاعدة متساوية في الطول، وجميع الأحرف الجانبية للهرم متساوية في الطول. والآن لنفكر في حجم الهرم.

حجم الشكل الثلاثي الأبعاد هو مقدار الحيز الذي يشغله هذا الشكل. إذا تخيلنا ملء هذا الهرم بالماء ثم إفراغه في وعاء، فما كمية الماء التي ستوجد في الوعاء؟ لنتخيل أن لدينا منشورًا له نفس طول الهرم وعرضه وارتفاعه. إذا أخذنا الهرم المملوء بالماء وأفرغناه في المنشور، فسيصل حجم الماء في المنشور إلى ثلث ارتفاع المنشور. وبذلك يمكننا القول إن حجم الهرم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع. وهذه هي الصيغة التي نستخدمها لإيجاد حجم الهرم.

في هذا الشكل، القاعدة مستطيل، لذا نضرب الطول في العرض. لكن مضلع القاعدة يمكن أن يكون أي شكل. على سبيل المثال، إذا كان مثلثًا، فسنحتاج إلى استخدام صيغة حساب مساحة المثلث لحساب مساحة القاعدة. والآن، لنلق نظرة على بعض الأسئلة التي تتضمن حجم الهرم. في هذا الفيديو، سنتناول فقط الأهرام التي لها قاعدة مثلثة أو مربعة الشكل.

أوجد حجم الهرم الموضح لأقرب جزء من مائة.

لدينا هنا هرم قاعدته مستطيلة. سنستخدم الصيغة التي تنص على أن حجم الهرم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع. لإيجاد مساحة القاعدة، نعلم أن هذا مستطيل، وبالتالي سنضرب الطول في العرض، ما يعطينا ستة مضروبًا في أربعة. وهذا يساوي ٢٤ سنتيمترًا مربعًا.

لإيجاد حجم الهرم بعد ذلك باستخدام الصيغة، يكون لدينا ثلث مضروب في مساحة القاعدة التي تساوي ٢٤. ونضرب ذلك في ارتفاع الهرم، وهو تسعة سنتيمترات. يمكننا بعد ذلك إيجاد ثلث العدد ٢٤ أو العدد تسعة. في هذه الحالة، يمكننا أن نوجد ثلث ٢٤، وهو ثمانية. إذن، تصبح العملية الحسابية ثمانية مضروب في تسعة، وهو ما يساوي ٧٢. وحدة القياس هنا هي السنتيمتر المكعب لأنها وحدة قياس الحجم. ولأنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة، فيمكننا توضيح الأجزاء من مائة في الإجابة لتصبح ٧٢٫٠٠ سنتيمترًا مكعبًا.

سنلقي نظرة الآن على سؤال يتضمن هرمًا قاعدته مثلثة.

أوجد حجم المجسم الآتي لأقرب جزء من عشرة.

يمكننا أن نلاحظ أن هذا المجسم قاعدته مثلثة وله ثلاثة أوجه مثلثة أخرى، وهو ما يعني أن هذا هرم قاعدته مثلثة الشكل. ولذلك لكي نوجد الحجم، يمكننا أن نتذكر أن صيغة حساب حجم الهرم هي ثلث في مساحة القاعدة في الارتفاع. وبما أن لدينا هرمًا ثلاثيًا هنا، فإن مساحة القاعدة يمكن أن تكون مساحة أي من الجوانب الأربعة المثلثة. لكن لكي نبسط الأمر، دعونا نستخدم الوجه المحدد حاليًا باللون البرتقالي هنا.

لإيجاد مساحة القاعدة، يمكننا استخدام الصيغة التي تنص على أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع. وبالتالي بالنسبة إلى هذا المثلث الموجود بقاعدة الهرم، قاعدته طولها ١٠ وارتفاعه ثمانية. إذن، نحسب نصفًا في ١٠ في ثمانية. بعد ذلك يمكننا تبسيط ذلك إلى العملية الحسابية: خمسة في ثمانية، ما يعطينا ٤٠، بوحدة السنتيمتر المربع.

بالتعويض بذلك في صيغة حجم الهرم، سيكون لدينا ثلث في ٤٠ في ارتفاع هذا الهرم الذي يساوي خمسة سنتيمترات. إذن، الحجم يساوي ٢٠٠ على ثلاثة، أو ٢٠٠ مقسومًا على ثلاثة، ما يساوي العدد الدوري ٦٦٫٦ سنتيمترًا مكعبًا. وللتقريب لأقرب جزء من عشرة، بما أن الأرقام التي لدينا هي ستة ستة ستة مستمرة التكرار، فهذا يعني أنه عند التحقق من الرقم الموجود في الخانة العشرية الثانية، فسنجد أنه أكبر من خمسة. إذن، سنقرب قيمة الحجم التي توصلنا إليها لأعلى لتصبح ٦٦٫٧ سنتيمترًا مكعبًا.

أوجد حجم هرم رباعي ارتفاعه ١٢ بوصة وطول قاعدته خمس بوصات.

لنبدأ هذا السؤال برسم شكل لهذا الهرم. بما أننا نعلم من رأس السؤال أن هذا الهرم قاعدته طولها خمس بوصات وأن هذه القاعدة مربعة، نعلم أن الطول والعرض متساويان. والارتفاع الذي يبلغ ١٢ بوصة يشير إلى الارتفاع العمودي للهرم. يمكننا أن نتذكر هنا أن حجم الهرم يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في الارتفاع.

إذن لإيجاد مساحة القاعدة، وهي مربعة الشكل في هذه الحالة، نعلم أنها ستساوي الطول مضروبًا في نفسه. وهو ما يساوي خمسة في خمسة، ما يعطينا ٢٥ بوصة مربعة. ومن ثم لإيجاد حجم الهرم، نستخدم مساحة القاعدة التي تساوي ٢٥. إذن، لدينا ثلث في ٢٥ في الارتفاع، وهو ١٢ بوصة. يمكننا تبسيط هذه العملية الحسابية بإيجاد ثلث العدد ١٢، وهو أربعة. بذلك أصبحت العملية الحسابية لدينا ٢٥ في أربعة، وهو ما يساوي ١٠٠. ووحدة القياس هنا هي البوصة المكعبة. إذن، الإجابة النهائية لحجم الهرم هي ١٠٠ بوصة مكعبة.

في السؤال التالي، سنرى مثالًا يوضح أننا قد نحتاج في بعض الأحيان إلى استخدام نظرية فيثاغورس لمساعدتنا في الحصول على جميع القيم اللازمة لحساب حجم الهرم.

احسب حجم الهرم المنتظم التالي لأقرب جزء من مائة.

بما أننا نعلم من رأس السؤال أن هذا الهرم منتظم، فهذا يعني أن قاعدته مضلع منتظم. وبذلك نعرف أن جميع أطوال أضلاع القاعدة المثلثة تساوي ١٤ سنتيمترًا. لإيجاد حجم الهرم، نحسب ثلثًا مضروبًا في مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع.

لنبدأ بحساب مساحة هذا المثلث الموجود في قاعدة الهرم. لإيجاد مساحة مثلث، علينا حساب نصف في طول القاعدة في الارتفاع. إذا نظرنا عن قرب لهذا المثلث، فسنجد أن أطوال أضلاعه الثلاثة جميعًا تساوي ١٤ سنتيمترًا. وهذا يعني أننا نعرف طول القاعدة، لكننا لا نعرف ارتفاع هذا المثلث. نظرًا لأن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس.

تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. لنستخدم إذن نظرية فيثاغورس لإيجاد ارتفاع المثلث. يمكننا أن نرمز للارتفاع هنا بالقيمة المجهولة ﺱ. وعليه فإن طول الوتر هنا، ﺟ تربيع، يساوي ١٤ تربيع، وهو ما يساوي ﺱ تربيع، زائد سبعة تربيع لأن سبعة هو نصف ١٤. ونحن نستخدم نصف مثلث القاعدة الأصلي.

بإيجاد مربعات القيم، يصبح لدينا ١٩٦ يساوي ﺱ تربيع زائد ٤٩. نعيد بعد ذلك الترتيب بطرح ٤٩ من كلا طرفي المعادلة، فنحصل على ١٤٧ يساوي ﺱ تربيع. ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين لنصل إلى أن الجذر التربيعي لـ ١٤٧ يساوي ﺱ. سنحتفظ بإجابتنا في صورة الجذر التربيعي أثناء متابعة حل السؤال.

بذلك نكون قد وجدنا أن ارتفاع المثلث يساوي الجذر التربيعي لـ ١٤٧. ومن ثم، يمكننا حساب مساحة هذا المثلث باستخدام هذه الصيغة. إذن، المساحة تساوي نصفًا مضروبًا في طول القاعدة، وهو ١٤، مضروبًا في الارتفاع، وهو الجذر التربيعي لـ ١٤٧. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه العملية الحسابية لتصبح سبعة في الجذر التربيعي لـ ١٤٧. يمكننا في هذه المرحلة حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، لكن بما أنه لا يزال علينا إيجاد الحجم، يمكننا الاحتفاظ به في صورة سبعة جذر ١٤٧.

بعد أن أوجدنا مساحة المثلث، وهي مساحة قاعدة الهرم، يمكننا الآن المتابعة وحساب حجم الهرم. حجم الهرم يساوي ثلثًا مضروبًا في مساحة القاعدة، وهي سبعة جذر ١٤٧، مضروبًا في ارتفاع الهرم، وهو ١٧ سنتيمترًا. باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد قيمة ذلك وهي ٤٨٠٫٩٣٢٧٧ وهكذا مع توالي الأرقام. والتقريب لأقرب جزء من مائة يعني أن نتحقق من الرقم الموجود في الخانة العشرية الثالثة لمعرفة ما إذا كان خمسة أو أكثر. وبما أنه ليس كذلك، فإن إجابتنا تظل ٤٨٠٫٩٣. ووحدة القياس هنا هي السنتيمتر المكعب.

في السؤال الأخير، سيكون لدينا حجم الهرم وارتفاعه، وعلينا حساب محيط مضلع قاعدة هذا الهرم.

إذا كان حجم هرم رباعي ٣٧٢ سنتيمترًا مكعبًا، وارتفاعه ٣١ سنتيمترًا، فأوجد محيط قاعدته.

هيا نرسم نموذجًا لهرم رباعي حجمه ٣٧٢ سنتيمترًا مكعبًا. الارتفاع الذي يبلغ ٣١ سنتيمترًا يشير إلى الارتفاع العمودي للهرم. مطلوب منا حساب محيط قاعدة هذا الهرم الرباعي. وهي المسافة التي تحيط بها من الخارج.

لنفكر فيما نعرفه عن حجم الهرم. لعلنا نتذكر أن حجم الهرم يساوي ثلثًا مضروبًا في مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع. ذلك لن يساعدنا حاليًا في حساب المحيط. لكن إذا تمكنا من إيجاد مساحة القاعدة، فيمكننا المتابعة وحساب المحيط. لنبدأ إذن بالتعويض بالقيم التي نعرفها في هذه الصيغة.

سيعطينا ذلك ٣٧٢ — وهو حجم الهرم — يساوي ثلثًا في مساحة القاعدة في ٣١، وهو ارتفاع الهرم. يمكننا تبسيط الطرف الأيمن بكتابة ثلث مضروبًا في ٣١ على الصورة ٣١ على ثلاثة. نريد بعد ذلك عزل مساحة القاعدة في طرف بمفردها، ولهذا نجري العملية العكسية للضرب في ٣١ على ثلاثة. وهي القسمة على ٣١ على ثلاثة، أي ما يماثل الضرب في ثلاثة على ٣١. وبذلك، يكون لدينا ٣٧٢ في ثلاثة على ٣١ يساوي مساحة القاعدة.

يمكننا إيجاد قيمة ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة بملاحظة أن العدد ٣١ يتكرر ١٢ مرة في العدد ٣٧٢. ويعني ذلك أن مساحة القاعدة تساوي ١٢ في ثلاثة، أي ٣٦ سنتيمترًا مربعًا. والآن، بما أننا حسبنا مساحة القاعدة المربعة، يمكننا استخدامها لإيجاد أطول الأضلاع، ثم حساب المحيط.

إذا كانت أطوال الأبعاد لدينا هي ﺱ في ﺱ، فهذا يعني أن المساحة ﺱ تربيع تساوي ٣٦. وعليه، فإن الطول ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦، أي ستة سنتيمترات. إذن المحيط، وهو المسافة التي تحيط بهذا المربع من الخارج، يساوي ستة زائد ستة زائد ستة زائد ستة، ما يساوي ٢٤ سنتيمترًا.

والآن، لنلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. ذكرنا أن الأهرام أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد قاعدتها مضلعة الشكل وجميع أوجهها الأخرى مثلثات تلتقي عند القمة. كما تناولنا معنى كل من الهرم القائم والهرم المنتظم.

ورأينا أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور الذي له نفس طول القاعدة والارتفاع. وعبرنا عن ذلك بالصيغة التي تنص على أن حجم الهرم يساوي ثلثًا مضروبًا في مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع. وأخيرًا، كما رأينا في أحد الأمثلة، قد نحتاج في بعض الأحيان إلى استخدام نظرية فيثاغورس لمساعدتنا في حساب الأبعاد المجهولة.