نسخة الفيديو النصية
يدخر فارس ٢٠ دولارًا أمريكيًّا كل شهر في حساب بمعدل فائدة سنوية أربعة بالمائة تتراكم شهريًّا. ما المبلغ الذي سيكون في حساب فارس بعد مرور أربع سنوات من الادخار المنتظم؟ قرب إجابتك لأقرب سنت. إذا كانت الفائدة تتراكم كل ثلاثة أشهر، فما المبلغ الذي سيكون في الحساب بعد مرور أربع سنوات؟
يتكون هذا السؤال من جزأين. الجزء الأول عن تراكم الفائدة السنوية شهريًّا، والجزء الثاني عن تراكم الفائدة السنوية كل ثلاثة أشهر. سنبدأ بإفراغ بعض المساحة والتفكير في إجابة الجزء الأول من السؤال. أولًا، سنكتب معدل الفائدة السنوية، أي أربعة بالمائة، في صورة عدد عشري، وهو ٠٫٠٤. بما أن هذه الفائدة تتراكم شهريًّا، فإن معدلها الشهري يساوي ٠٫٠٤ مقسومًا على ١٢. وهو ما يعطينا واحدًا على ٣٠٠. وبما أن فارس يدخر ٢٠ دولارًا أمريكيًّا كل شهر، يمكننا تمثيل ذلك على صورة متتابعة هندسية حدها الأول هو ٢٠. نحن نعلم أنه لأي متتابعة هندسية توجد نسبة مشتركة بين أي حدين متتاليين فيها تسمى «أساس المتتابعة الهندسية». وفي هذا السؤال، هذه النسبة تساوي واحدًا زائد واحد على ٣٠٠. وهو ما يساوي ٣٠١ على ٣٠٠.
بما أن لدينا النسبة المشتركة، أو أساس المتتابعة الهندسية، يمكننا تمثيل ذلك على صورة متتابعة هندسية حدها الأول هو ٢٠، ولها النسبة المشتركة ٣٠١ على ٣٠٠. بهذا، يكون الحد الثاني لدينا هو ٢٠٫٠٦ وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال حساب المبلغ الذي سيكون في حساب فارس بعد مرور أربع سنوات. وبما أن الفائدة تتراكم شهريًّا، فإن هذا يساوي أربعة في ١٢ دفعة شهرية، أي ٤٨ دفعة شهرية. الحد الأول في المتتابعة الهندسية لدينا هو ٢٠، والنسبة المشتركة لها هي ٣٠١ على ٣٠٠، وبها ٤٨ حدًّا. يمكن حساب مجموع أول ﻥ من الحدود في المتتابعة الهندسية باستخدام الصيغة ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد الكل مقسوم على ﺭ ناقص واحد. وفي هذا السؤال، نريد إيجاد مجموع ٤٨ حدًّا.
إذن، بالتعويض بالقيم التي لدينا في الصيغة، يصبح لدينا ٢٠ مضروبًا في ٣٠١ على ٣٠٠ أس ٤٨ ناقص واحد الكل مقسوم على ٣٠١ على ٣٠٠ ناقص واحد. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٠٣٩٫١٩٢٠ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب سنت. وهذا يساوي ١٠٣٩ دولارًا أمريكيًّا و١٩ سنتًا. إذن، بعد مرور أربع سنوات من الادخار المنتظم، سيكون المبلغ في حساب فارس هو ١٠٣٩ دولارًا أمريكيًّا و١٩ سنتًا.
دعونا الآن نتناول الجزء الثاني من السؤال. ونصه هو «إذا كانت الفائدة تتراكم كل ثلاثة أشهر، فما المبلغ الذي سيكون في الحساب بعد مرور أربع سنوات؟» لا يزال معدل الفائدة السنوية لدينا هو أربعة بالمائة. لكن، بما أن الفائدة تتراكم هذه المرة كل ثلاثة أشهر، فإن معدل الفائدة ربع السنوية يساوي ٠٫٠٤ مقسومًا على أربعة. وهذا يساوي واحدًا على ١٠٠، أي جزءًا واحدًا من مائة. ويمكننا كتابة ذلك على صورة العدد العشري ٠٫٠١. أساس المتتابعة الهندسية، أو النسبة المشتركة، هنا يساوي واحدًا زائد ٠٫٠١، أي ١٫٠١. وعلى مدار السنوات الأربع، سنجد أن هذا يساوي أربعة مضروبًا في أربعة، أي ١٦ دفعة ربع سنوية. قد نعتقد هنا أن لدينا كل المعلومات اللازمة للتعويض بها في الصيغة لدينا. نحن نعلم أن ﺭ يساوي ١٫٠١، وأن ﻥ يساوي ١٦. قد نظن أن كل ما علينا فعله هنا هو التعويض عن ﺃ بـ ٢٠ دولارًا أمريكيًّا مرة أخرى.
لكن كان هذا هو المبلغ الذي يدخره فارس كل شهر. يوجد ثلاثة أشهر في ربع السنة، ومن ثم، فإن الحد الأول من المتتابعة يساوي ٢٠ دولارًا مضروبًا في ثلاثة. هذا هو المبلغ الذي سيدخره فارس بين كل دفعة فائدة ربع سنوية. إذن، الحد الأول ﺃ في المتتابعة يساوي ٦٠ دولارًا أمريكيًّا. وبالتعويض بالقيم التي لدينا عن ﺃ وﺭ وﻥ، نحصل على ٦٠ مضروبًا في ١٫٠١ أس ١٦ ناقص واحد الكل مقسوم على ١٫٠١ ناقص واحد. وهذا يساوي ١٠٣٥٫٤٧١٨ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب مرة أخرى لأقرب سنت، نجد أن هذا يساوي ١٠٣٥ دولارًا أمريكيًّا و٤٧ سنتًا. وهذا هو مبلغ الفائدة الذي سيكون في حساب فارس إذا كانت الفائدة تتراكم كل ثلاثة أشهر.
نلاحظ أن الناتج هنا أقل قليلًا من الناتج الذي توصلنا إليه في إجابة الجزء الأول من السؤال. ومن ثم، يمكننا استنتاج أنه إذا كانت الفائدة تتراكم شهريًّا بدلًا من ربع سنوي، فإن مبلغ الفائدة الذي سيحصل عليه فارس على مدار الأربع سنوات سيكون أكبر.
