فيديو السؤال: استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات رأس في مربع ومساحته الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ مربع، فيه إحداثيات النقاط ﺃ، وﺏ، وﺟ هي واحد، سالب ثمانية؛ وثلاثة، سالب ١٠؛ وخمسة، سالب ثمانية. استخدم المتجهات لإيجاد إحداثيات النقطة ﺩ ومساحة المربع.

أولًا، من المهم أن نتذكر أننا نتعامل مع مربع هنا. ونحن نعلم أنه في المربع تكون الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول. ونعرف أيضًا أن الضلعين المتجاورين يكونان زاوية قائمة فيما بينهما، رغم أن ذلك قد يكون أو لا يكون مفيدًا عند السعي لإجابة هذا السؤال. نعلم كذلك أن ﺃ وﺏ وﺟ هي النقاط واحد، سالب ثمانية؛ وثلاثة، سالب ١٠؛ وخمسة، سالب ثمانية، على الترتيب. لذا، يمكننا اختيار تمثيل هذه النقاط على شبكة إحداثيات كما هو موضح.

ومن ثم، فإن ﺩ، وهو الرأس الرابع للمربع، سيكون في مكان ما هنا. في الواقع، توجد طريقتان يمكننا من خلالهما استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات هذه النقطة بالضبط. نعرف أن المتجهين اللذين يصلان ﺃ إلى ﺩ وﺏ إلى ﺟ يجب أن يكونا متوازيين ومتساويين في الطول، رغم أن هذا قد لا يبدو واضحًا على الشكل.

إذن، لنبدأ بإيجاد المتجه ﺏﺟ. إحدى طرق إجراء ذلك هي طرح المتجه ﻭﺏ من المتجه ﻭﺟ. وبما أن ﻭﺟ متجه عمود، فإنه يساوي خمسة، سالب ثمانية، وﻭﺏ يساوي ثلاثة، سالب ١٠. لطرح المتجهين، يمكننا ببساطة طرح مركباتهما على حدة. خمسة ناقص ثلاثة يساوي اثنين. وسالب ثمانية ناقص سالب ١٠ يساوي اثنين أيضًا. وبذلك نجد أن المتجه ﺏﺟ يساوي اثنين، اثنين.

وهذا، في المقابل، يعني أن المتجه ﺃﺩ يجب أن يساوي اثنين، اثنين أيضًا. إحدى الطرق التي يمكننا بها الانتقال من النقطة ﻭ إلى ﺩ لمساعدتنا في إيجاد المتجه ﻭﺩ هي الانتقال من ﻭ إلى ﺃ — أي المتجه ﻭﺃ — ثم الانتقال من ﺃ إلى ﺩ. وبذلك سنضيف المتجه ﺃﺩ. المتجه ﻭﺃ يساوي واحد، سالب ثمانية. وقد وجدنا لتونًا أن المتجه ﺃﺩ يساوي اثنين، اثنين. ومجموع ذلك يساوي ثلاثة، سالب ستة. ونجد أن المتجه ﻭﺩ يساوي ثلاثة، سالب ستة. إذن، إحداثي ﺩ هو ثلاثة، سالب ستة.

الجزء الثاني من هذا السؤال يطلب منا إيجاد مساحة المربع. لذا، نتذكر أنه لإيجاد مساحة المربع، علينا ببساطة حساب مربع عرضه أو ارتفاعه. إذن كيف نوجد عرض المربع أو ارتفاعه؟ حسنًا، هذا هو طول الخط المستقيم الذي يصل بين أي رأسين متجاورين. وسنتناول الرأسين ﺏ وﺟ. نحن نعلم أن المتجه ﺏﺟ يساوي اثنين، اثنين. هذا يعني أن طول القطعة المستقيمة التي تصل بين ﺏ وﺟ هو معيار هذا المتجه. ونحن نوجد معيار المتجه بإيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه.

إذن، هذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد اثنين تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لثمانية. ونلاحظ أن طول كل ضلع من أضلاع المربع المعطى يساوي الجذر التربيعي لثماني وحدات. المساحة هي مربع هذه القيمة. فهي تساوي الجذر التربيعي لثمانية تربيع، وهو ما يساوي ثمانية. إذن، مساحة المربع تساوي ثماني وحدات مربعة.