فيديو السؤال: إيجاد خط عمل وزن قضيب غير منتظم يستند أفقيًّا في حالة اتزان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

قضيب غير منتظم ﺃﺏ وزنه ٤٠ نيوتن وطوله ٨٠ سنتيمترًا علق رأسيًّا من نقطة منتصفه بواسطة خيط خفيف، وأصبح القضيب في حالة اتزان في وضع أفقي عندما علق ثقل مقداره ٢٩ نيوتن في طرفه ﺃ. أوجد المسافة ﺱ بين النقطة التي يؤثر عندها وزن القضيب والطرف ﺃ. بعد إزالة الثقل من الطرف ﺃ، عين مقدار القوة الرأسية اللازمة لحفظ القضيب أفقيًّا في حالة اتزان عندما تؤثر عند الطرف ﺏ.

فيما يتعلق بشقي هذا السؤال، أي إيجاد المسافة ﺱ ومقدار القوة الرأسية المؤثرة عند ﺏ عند إزالة الوزن، عرفنا من السؤال أن القضيب في حالة اتزان، مما يعني أنه تحقق شرطان. أولًا، مجموع كل القوى المؤثرة على القضيب يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، لا توجد قوة محصلة. ثانيًا، محصلة عزوم القوى حول أي نقطة تساوي صفرًا أيضًا. إذن لا توجد محصلة عزوم تؤثر عند أي موضع على القضيب. إذا كان اتجاه قوة ما عموديًّا على الخط الذي يصل بين النقطة التي تؤثر عندها القوة ونقطة مرجعية، فإن عزم هذه القوة حول النقطة المرجعية يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة بين النقطة التي تؤثر عندها القوة والنقطة المرجعية.

يمكننا الآن استخدام هذه الشروط والمعطيات حول القوى والمسافات لإيجاد المطلوب في السؤال. هيا نبدأ برسم شكل لتنظيم المعطيات التي لدينا عن القوى المؤثرة ومواضع تأثيرها. هذا هو القضيب غير المنتظم معلق من نقطة منتصفه بخيط خفيف. لقد رسمنا القضيب أفقيًّا تمامًا لأننا نعلم من السؤال أنه في حالة اتزان في وضع أفقي.

دعونا الآن نضف بعض القوى على الشكل. للحفاظ على هذا الاتزان، أخبرنا السؤال أنه يوجد وزن مقداره ٢٩ نيوتن معلق من الطرف ﺃ. كما أخبرنا أن وزن القضيب يساوي ٤٠ نيوتن، لكن بما أن القضيب غير منتظم، فإننا لا نعرف أين يؤثر هذا الوزن. لكننا نعرف بالفعل أنه لا بد لهذا الوزن من أن يؤثر بالقرب من النقطة ﺏ أكثر من ﺃ؛ لأنه إذا لم يحدث ذلك فستكون جميع القوى موجودة على أحد جانبي نقطة المنتصف ويصبح القضيب غير متزن.

وأخيرًا، توجد قوة أخرى لم يرد ذكرها بوضوح في المسألة. إنها مقدار الشد في الخيط الذي يمسك بالقضيب في مقابل قوة السحب المؤثرة لأسفل الناتجة عن وزن القضيب، والوزن الإضافي عند ﺃ. وبما أنه ليس لدينا قيمة لقوة الشد هذه، فسنطلق عليها ﺵ. لإكمال هذا الشكل، علينا إضافة المسافات المعطاة. نعلم أن الطول الكلي للقضيب يساوي ٨٠ سنتيمترًا، إذن المسافة بين نقطة المنتصف المثبت فيها الخيط وأي من الطرفين تساوي ٤٠ سنتيمترًا. وتعرف المسافة من النقطة ﺃ إلى النقطة التي يؤثر عندها وزن القضيب غير المنتظم بالمسافة ﺱ.

حسنًا، الآن كل ما علينا فعله هو تطبيق شروط الاتزان لإيجاد القيم المطلوبة. توجد طريقة منطقية، وهي استخدام الشرط الخاص بمحصلة القوى لإيجاد مقدار الشد في الخيط المجهول، ثم استخدام الشرط الخاص بمحصلة عزوم القوى لتحديد قيمة ﺱ. إذا استخدمنا هذه الطريقة، فسنجد أنه لا يهم أي نقطة مرجعية سنختار عند حساب عزوم القوى. ولكن لتوضيح أهمية النقاط المرجعية عندما يتعلق الأمر بحساب عزوم القوى، سنختار النقطة المرجعية بذكاء، بحيث يلزمنا استخدام الشرط الثاني فقط ولا نحتاج أبدًا إلى حساب قيمة الشد المجهولة ﺵ.

لحذف مقدار الشد من العمليات الحسابية، نلاحظ أن عزم القوة يعرف بأنه مقدار القوة مضروبًا في المسافة إلى النقطة المرجعية. إذن، إذا كانت القوة تؤثر عند النقطة المرجعية بالضبط، فإن المسافة إلى النقطة المرجعية تساوي صفرًا. إذن، عزم هذه القوة حول النقطة المرجعية يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، سنأخذ مركز القضيب ليكون النقطة المرجعية لحساب العزوم. وبما أن الشد يؤثر عند نقطة منتصف القضيب، فإن عزم قوة الشد حول هذه النقطة يساوي صفرًا. حسنًا، كل ما علينا فعله هو موازنة العزم الناتج عن وزن القضيب نفسه والعزم الناتج عن الوزن الإضافي المثبت عند ﺃ.

لتكوين المعادلة، نلاحظ أن ٢٩ نيوتن و٤٠ نيوتن يؤثران في الاتجاه نفسه، ولكنهما يؤثران في اتجاهين متعاكسين بالنسبة إلى النقطة المرجعية. يمكننا ملاحظة ذلك بتخيل دائرة مرسومة حول النقطة المرجعية. اتجاه دوران القوة المتجهة لأسفل إلى يمين النقطة المرجعية يكون في اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة، في حين أن اتجاه دوران القوة التي تؤثر لأسفل على يسار النقطة المرجعية يكون عكس اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة. ما يعنيه هذا هو أن العزمين الناتجين عن هاتين القوتين عند النقطة المرجعية لهما إشارتان مختلفتان.

لنفترض أن عزم القوة المؤثرة عند ﺃ موجب بحيث ينتج عن وزن القضيب نفسه عزم سالب. المسافة من القوة عند ﺃ إلى نقطة المنتصف تساوي ٤٠ سنتيمترًا، إذن عزمها يساوي ٢٩ في ٤٠. وزن القضيب مقداره ٤٠ نيوتن، وهو يؤثر على هذه المسافة من النقطة المرجعية. وعلى الرغم من أننا لا نعرف هذه المسافة مباشرة، فإننا نعرف أن هذه المسافة من ٤٠ نيوتن إلى نقطة المنتصف زائد المسافة من نقطة المنتصف إلى النقطة ﺃ التي تبلغ ٤٠ سنتيمترًا هي المسافة ﺱ. إذن، هذه المسافة تساوي ﺱ ناقص ٤٠.

إذن، عزم وزن القضيب حول نقطة المنتصف يساوي سالب ٤٠ في ﺱ ناقص ٤٠، والعزم الكلي يساوي صفرًا. والآن كل ما علينا فعله هو حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. كلا الحدين يتضمن عاملًا يساوي ٤٠، لذا دعونا نقسم كلا الطرفين على ٤٠. لدينا ٢٩ ناقص ﺱ ناقص ٤٠ يساوي صفرًا؛ لأن صفرًا على ٤٠ لا يزال صفرًا. بإضافة ﺱ ناقص ٤٠ إلى كلا الطرفين، نحصل على ٢٩ يساوي ﺱ ناقص ٤٠، وهو ما سنعوض عنه في الشكل لأننا سنحتاج إليه لاحقًا. وأخيرًا، بإضافة ٤٠ إلى ﺱ ناقص ٤٠، نحصل على ﺱ، وبإضافة ٤٠ إلى ٢٩ نحصل على ٦٩. إذن ﺱ، وهي المسافة من النقطة التي يؤثر عندها الوزن حتى النقطة ﺃ، يساوي ٦٩ سنتيمترًا. وبهذا نكون قد أوجدنا نصف الإجابة.

والآن علينا التفكير في حالة مختلفة. وهي أن الثقل المعلق عند النقطة ﺃ قد أزيل. والآن توجد بدلًا من ذلك قوة رأسية تؤثر عند ﺏ لإبقاء القضيب في حالة اتزان. دعونا نعدل الشكل ليعكس هذا التغيير. حذفنا الثقل البالغ ٢٩ نيوتن المؤثر عند النقطة ﺃ، وأضفنا قوة رأسية مقدارها مجهول ﻕ تؤثر عند النقطة ﺏ. وبما أن القضيب لا يزال في حالة اتزان في موضعه الأفقي، فإننا نعرف أن الشرطين السابقين لا يزالان صحيحين. وكما فعلنا من قبل، لن نحتاج سوى شرط عزوم القوى بشرط أن نفترض أن النقطة المرجعية هي مركز القضيب، بحيث نستبعد تأثير قوة الشد المجهولة.

هيا نمسح العمليات الحسابية السابقة لإفساح المجال لإجراء العملية الجديدة. توجد الآن قوتان علينا التفكير فيهما، الوزن الذي يساوي ٤٠ نيوتن والذي يؤثر على بعد ٢٩ سنتيمترًا من نقطة منتصف القضيب، والقوة الرأسية ﻕ التي تؤثر على بعد ٤٠ سنتيمترًا من نقطة منتصف القضيب. إذا احتفظنا باختيارنا السابق لإشارات العزوم، فستظل القوة التي مقدارها ٤٠ نيوتن في اتجاه عقارب الساعة حول النقطة المرجعية. إذن، عزمها هو سالب ٤٠ في ٢٩. لكن القوة الرأسية عند ﺏ، بالرغم من أنها تقع على يمين النقطة المرجعية أيضًا، فإنها تشير لأعلى وليس لأسفل. أي إنها تشير إلى عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بالنسبة إلى النقطة المرجعية، ومن ثم يكون عزمها موجبًا.

إذن لدينا موجب ﻕ في ٤٠، أي المسافة من ﺏ إلى نقطة منتصف القضيب، باعتباره عزم القوة ﻕ. وكما فعلنا من قبل، نحصل من هذا على التعبير سالب ٤٠ في ٢٩ زائد ﻕ في ٤٠، وهو ما لا بد أن يساوي صفرًا. يوجد العامل ٤٠ في كلا الحدين في الطرف الأيمن، لذا نقسم كلا الطرفين على ٤٠ استنادًا إلى حقيقة أن صفرًا مقسومًا على ٤٠ يساوي صفرًا. وهذا يعطينا سالب ٢٩ زائد ﻕ يساوي صفرًا. وبإضافة ٢٩ إلى كلا الطرفين، نجد أن ﻕ، وهي مقدار القوة المؤثرة عند النقطة ﺏ التي تبقي القضيب في حالة اتزان، يساوي ٢٩ نيوتن.

جدير بالذكر مرة أخرى أن سبب تمكننا من إيجاد هذه الإجابات دون الرجوع إلى شد الخيط هو أننا اخترنا النقطة المرجعية بذكاء حتى لا يلعب الشد أي دور في حساب العزم الكلي. جدير بالذكر أن هذا مفيد فقط لأننا لا نريد إيجاد مقدار الشد في الخيط. إذا كنا نريد إيجاد مقدار الشد، كنا سنحصل عليه باستخدام شرط القوة المحصلة.