نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة جتا 𝜃، إذا كان جا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة على خمسة؛ حيث 𝜃 أكبر من أو يساوي ٢٧٠ درجة، ولكن أصغر من ٣٦٠ درجة.
للبدء في حل هذه المسألة، علينا تذكر النسب المثلثية. تحديدًا نسبتي الجيب وجيب التمام. وقد حددنا هاتين النسبتين لأنهما النسبتان المذكورتان في السؤال. جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر.
إذن، يمكننا القول إنه إذا كان جيب الزاوية 𝜃 يساوي سالب ثلاثة على خمسة، فإن هذا يعني أن طول الضلع المقابل يساوي ثلاثة، وطول الوتر يساوي خمسة. كما يجب الانتباه أيضًا إلى أن هناك إشارة سالبة. ولكننا سنتطرق إليها لاحقًا في الحل.
دعونا نرسم الآن شكلًا بسيطًا لتوضيح ما تخبرنا به هذه القيمة. إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، فنلاحظ أن طول الضلع المقابل يساوي ثلاثة، وطول الوتر يساوي خمسة. لكن ما الذي يمكننا فعله لإيجاد طول الضلع المجاور؟ حسنًا، ما يمكننا فعله هو استخدام نظرية فيثاغورس؛ حيث يمكننا القول إن المجاور سيساوي الجذر التربيعي لخمسة تربيع؛ لأن هذا هو طول الوتر تربيع، ناقص ثلاثة تربيع، لأن هذا هو طول أحد الضلعين الأقصر تربيع. ونحصل على ذلك من خلال صيغة معاد ترتيبها من ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع، حيث يصبح لدينا ﺃ تربيع يساوي ﺟ تربيع ناقص ﺏ تربيع؛ حيث ﺟ هو طول الوتر.
حسنًا، هذا رائع! يمكننا حل هذه المعادلة وإيجاد قيمة المجاور. وبذلك، نجد أن المجاور يساوي جذر ١٦. إذن، المجاور يساوي أربعة. والسبب في أننا نريد إيجاد طول الضلع المجاور هو أننا نريد إيجاد جيب تمام الزاوية. وذلك لأن نسبة جيب التمام تتضمن طول الضلع المجاور. حسنًا، نعلم أن جيب تمام الزاوية 𝜃 أو أي زاوية أخرى يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر.
يمكننا الآن إيجاد هذه النسبة لأنه أصبح لدينا طول الضلع المجاور الذي أوجدناه للتو. ونحن نعرف بالفعل طول الوتر. لذا، يمكننا القول إن جتا 𝜃 يساوي المجاور على الوتر. وبذلك، يمكننا القول إن جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس. لكن هل هذه هي الإجابة النهائية؟ حسنًا، دعونا ننتبه مرة أخرى إلى الإشارة السالبة التي رأيناها سابقًا. وذلك عندما جا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس. هل جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس أم سالب أربعة أخماس؟
سنلقي نظرة سريعة على مخطط إشارات النسب المثلثية في الأرباع الأربعة لتوضيح أي منهما الإجابة. حسنًا، لقد رسمنا هنا شكلًا لمخطط إشارات النسب المثلثية في الأرباع الأربعة.. ويخبرنا هذا المخطط بأمر مهم جدًّا. فهو يوضح لنا أين تكون قيمة كل من جيب الزاوية أو جيب تمام الزاوية أو ظل الزاوية موجبة وأين تكون سالبة. في الربع الأول، تكون جميع القيم موجبة. ومن ثم، يمكننا القول إن جميع القيم بين صفر درجة و٩٠ درجة ستكون موجبة. والقيم بين ٩٠ و١٨٠ ستكون موجبة فقط عندما تمثل جا 𝜃. وبين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة، نجد أن الإشارة ستكون موجبة إذا كانت تمثل ظل الزاوية 𝜃. وقيمة جتا 𝜃 هي فقط التي ستكون موجبة بين ٢٧٠ درجة و٣٦٠ درجة.
إذا نظرنا إلى السؤال الأصلي، فسنلاحظ أن هذا الجزء الأخير، أي من ٢٧٠ درجة إلى ٣٦٠ درجة، هو الذي يعنينا بالفعل. ونلاحظ من مخطط جيب التمام أن قيمة جيب تمام الزاوية 𝜃 ستكون موجبة في هذا الجزء. وذكرنا بالفعل أن جا 𝜃 يساوي سالب ثلاثة على خمسة؟ إذن، سيكون ذلك صحيحًا؛ لأننا بالنظر إلى مخطط جيب التمام، نجد أن الجزء الأيسر العلوي هو الجزء الذي تكون فيه قيمة جا 𝜃 موجبة. ومن ثم، يمكننا القول إن جتا 𝜃 يساوي أربعة أخماس.
