فيديو السؤال: إيجاد معادلة المنحنى بمعلومية ميل مماسه ونقطة على المنحنى باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يمر منحنى بالنقطة صفر، سبعة مقسومًا على ١٥، وميل المماس عند نقطته ﺱ، ﺹ هو ثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. ما معادلة المنحنى؟

يخبرنا السؤال بأن المنحنى يمر بالنقطة صفر، سبعة على ١٥، وميل مماسه عند النقطة ﺱ، ﺹ يساوي ثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. نتذكر أنه إذا كانت معادلة الميل ثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. يخبرنا هذا بأن معادلة المنحنى التي نريد إيجادها، وهي ﺹ، عبارة عن مشتقة عكسية لثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. إذن، بحساب تكامل ثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ، سنوجد معادلة لـ ﺹ تحتوي على ثابت التكامل.

نلاحظ أن ما سيتم تكامله ليس على الصورة القياسية التي يمكننا إجراء التكامل عليها. لذلك سنحتاج إلى إعادة صياغته. قد نميل إلى استخدام التكامل بالتجزيء. لكننا سنفعل ذلك باستخدام التعويض حيث ﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. إذن، باستخدام التعويض ﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد واشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ، نجد أن مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين. وعلى الرغم من أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، فإنه يكون نوعًا ما مثل الكسر عند استخدام التكامل بالتعويض. وهذا يعطينا التعبير المكافئ، نصف ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.

نلاحظ أن ما سيتم تكامله يحتوي على العامل ثمانية ﺱ. ومن ثم، سنحاول صياغة تعبير ﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد لنحصل على تعبير عن ثمانية ﺱ بدلالة ﻉ. بضرب طرفي هذه المعادلة في أربعة، نحصل على أربعة ﻉ يساوي ثمانية ﺱ زائد أربعة. بعد ذلك، نطرح أربعة من كلا طرفي المعادلة لنحصل على أربعة ﻉ ناقص أربعة يساوي ثمانية ﺱ. إذن، باستخدام التعويض ﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد، يصبح التكامل لدينا يساوي تكامل أربعة ﻉ ناقص أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﻉ مضروبًا في نصف بالنسبة إلى ﻉ.

والآن يمكننا التوزيع على القوسين والاستعانة بحقيقة أن الجذر التربيعي لـ ﻉ يساوي ﻉ أس نصف لنعيد ترتيب التكامل ليصبح تكامل اثنين مضروبًا في ﻉ أس ثلاثة على اثنين ناقص اثنين مضروبًا في ﻉ أس نصف بالنسبة إلى ﻉ. يمكننا الآن إيجاد تكامل ذلك مباشرة عبر تذكر أن في حالة الثابتين ﺃ وﻥ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، يمكننا أن نحسب تكامل ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ بإضافة واحد إلى الأس ثم نقسم على هذا الأس الجديد ونضيف ثابت التكامل ﺙ. لإيجاد تكامل الحد الأول، نضيف واحدًا إلى الأس لنحصل على خمسة على اثنين. ثم بدلًا من القسمة على هذا الأس الجديد، سنضرب في مقلوب الكسر.

وبالمثل، لإيجاد تكامل الحد الثاني، نضيف واحدًا إلى الأس لنحصل على ثلاثة على اثنين. ثم بدلًا من القسمة على الأس الجديد، سنضرب في مقلوب الكسر. بعد ذلك، بدلًا من إضافة ثابت التكامل لكلا الحدين، سنضيف ثابت تكامل واحد، وهو ما سنطلق عليه ﺙ. عند هذه النقطة، يمكننا أن نلاحظ أن الحد الأول والحد الثاني بينهما عامل مشترك وهو أربعة ﻉ أس ثلاثة على اثنين. إذن، دعونا نخرج هذا العامل المشترك. عند إخراج أربعة مضروبًا في ﻉ أس ثلاثة على اثنين من الحد الأول، يتبقى لدينا ﻉ مقسومًا على خمسة. وبإخراج أربعة مضروبًا في ﻉ أس ثلاثة على اثنين من الحد الثاني نحصل على سالب ثلث.

نحن الآن مستعدون لإعادة كتابة المعادلة بدلالة ﺱ بالتعويض بـ ﻉ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. يمكننا تبسيط ذلك أكثر بإعادة كتابة الكسور ليكون لها مقام مشترك. عندما نفعل ذلك نحصل على ستة ﺱ زائد ثلاثة على ١٥ ناقص خمسة على ١٥ داخل الزوج الثاني من الأقواس. ثم يمكننا حساب ذلك لنحصل على ستة ﺱ ناقص اثنين على ١٥. الآن، نرى أن الحدين في البسط يشتركان في عامل مشترك وهو اثنان. لذا دعونا نخرج هذا العامل. يعطينا هذا أن المنحنى ﺹ يساوي ثمانية مضروبًا في اثنين ﺱ زائد واحد أس ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة ﺱ ناقص واحد مقسومًا على ١٥ زائد ثابت التكامل ﺙ.

يخبرنا السؤال بأن المنحنى يمر بالنقطة صفر، سبعة على ١٥. إذن، عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي سبعة مقسومًا على ١٥. إذن، بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، وﺹ يساوي سبعة على ١٥ في معادلة المنحنى نحصل على سبعة على ١٥ يساوي ثمانية مضروبًا في اثنين مضروبًا في صفر. ثم زائد واحد الكل أس ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في صفر ناقص واحد على ١٥ زائد ثابت التكامل ﺙ. لدينا اثنان مضروبًا في صفر زائد واحد يساوي واحدًا، ثم واحد أس ثلاثة على اثنين يساوي واحدًا أيضًا. بعد ذلك، لدينا ثلاثة مضروبًا في صفر ناقص واحد الكل مقسومًا على ١٥ يساوي سالب واحد مقسومًا على ١٥.

وهذا يعطينا سبعة على ١٥ يساوي سالب ثمانية على ١٥ زائد ثابت التكامل ﺙ. إذن، نضيف ثمانية على ١٥ إلى كلا طرفي المعادلة، ونجد أن ثابت التكامل ﺙ يساوي واحدًا. ومن ثم، بعد إعادة الترتيب، نكون قد أوضحنا أنه إذا مر منحنى بالنقطة صفر، سبعة على ١٥ وكان ميل المماس عند النقطة ﺱ، ﺹ، يساوي ثمانية ﺱ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد واحد. فإن معادلته هي ﺹ يساوي ثمانية على ١٥ مضروبًا في اثنين ﺱ زائد واحد أس ثلاثة على اثنين مضروبًا في ثلاثة ﺱ ناقص واحد زائد واحد.