فيديو السؤال: إيجاد قيمة الدالة التي تتضمن التضاؤل الأسي الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يقل عدد البكتيريا نتيجة لاستخدام إحدى المعالجات الكيميائية. كان عدد البكتيريا بعد ﻥ ساعة من استخدام هذه المعالجة يمكن تمثيله بالدالة ﻉ في ﻥ، حيث ﻉ في ﻥ يساوي ٦٠٠٠ في ٠٫٤ أس ﻥ.

ما سبق يصف سيناريو السؤال. فهو سؤال متعدد الأجزاء؛ لدينا جزأين. الجزء الأول هو «كم كان العدد عندما استخدمت المعالجة الكيميائية لأول مرة؟» والجزء الثاني هو «ما معدل تناقص عدد البكتيريا؟» بطبيعة الحال، سنجيب عن الجزء الأول أولًا، وهو: «كم كان العدد عندما استخدمت المعالجة الكيميائية لأول مرة؟».

حسنًا، لدينا الدالة ﻉ في ﻥ التي تخبرنا بعدد البكتيريا بعد مرور العدد ﻥ من الساعات على استخدام هذه المعالجة. لمعرفة عدد البكتيريا عندما استخدمت المعالجة لأول مرة، أو العدد الابتدائي، فإننا نسأل عن العدد عندما كان ﻥ يساوي صفر. وسيكون هذا هو الدالة ﻉ في صفر، وهي عدد البكتيريا بعد صفر ساعة من استخدام المعالجة. ولإيجاد قيمة هذا، سنعوض بقيمة ﻥ في المقدار الرياضي الذي لدينا.

بالتعويض عن ﻥ بصفر، نجد أن ﻉ في صفر يساوي ٦٠٠٠ في ٠٫٤ أس صفر. وكما نعرف فإن كل ما يرفع للأس صفر يساوي واحد وبالتالي سيكون لدينا ﻉ في صفر يساوي ٦٠٠٠. إذن، إجابة أول جزء من السؤال، «كم كان العدد عندما استخدمت المعالجة الكيميائية لأول مرة؟»، هي ﻉ في صفر يساوي ٦٠٠٠.

أما عن الجزء الثاني من السؤال، وهو «ما معدل تناقص عدد البكتيريا؟» فسنستخدم مجددًا تعريف الدالة ﻉ في ﻥ. لقد رأينا بالفعل في الجزء الأول من السؤال أن العدد الابتدائي، ﻉ في صفر، يساوي ٦٠٠٠. إذن ﻉ في واحد يساوي عدد البكتيريا بعد ساعة واحدة من المعالجة. وبالتعويض بهذا في الصيغة التي لدينا للدالة ﻉ في ﻥ، سيكون لدينا ﻉ في واحد يساوي ٦٠٠٠ في ٠٫٤ أس واحد، وهو ما يساوي بالطبع ٦٠٠٠ في ٠٫٤ أي ٢٤٠٠.

لو حسبنا العدد بعد مرور ساعتين، فستصبح الدالة ﻉ في اثنين أو ٦٠٠٠ في ٠٫٤ أس اثنين. سنعوض مجددًا بهذه القيمة في المقدار الرياضي الذي لدينا، ويكون الناتج ٩٦٠. في الواقع إن القيم الفعلية ليست مهمة هنا. فما يهم هو أن عدد البكتيريا في وقت معين يساوي ٠٫٤ مضروبًا في عددها منذ ساعة مضت.

بعبارة أخرى، عدد البكتيريا يساوي ٤٠ بالمائة من عددها منذ ساعة مضت. وبعبارة أخرى أيضًا، فإن العدد يتناقص بنسبة ٦٠ بالمائة كل ساعة. إذن ما معدل تناقص العدد؟ إنه ٦٠ بالمائة في الساعة الواحدة.

بالنظر إلى الدالة ﻉ في ﻥ، فإن ثابت الضرب ٦٠٠٠ يخبرنا عن الحالة الابتدائية؛ أي العدد الابتدائي في المسألة هنا. والأساس ٠٫٤ يخبرنا عن التغير الحادث على مدار الوقت؛ أي معدل تناقص عدد البكتيريا على مدار الوقت في حالتنا هنا.