فيديو السؤال: اشتقاق الدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي اثنين جا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

حسنًا، لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، يتعين علينا اشتقاق الدالة. ولكي نفعل ذلك، فإنه يتعين علينا فعليًّا استخدام قاعدتين عامتين لمساعدتنا في إيجاد الحل. حسنًا، بداية، نحن نعلم أنه إذا كان ﺹ يساوي جا ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ.

ومن ثم، إذا اشتققنا جا ﺱ، فسنحصل على جتا ﺱ. اتفقنا؟ هذا مفيد للغاية؛ لأنه يساعدنا في فهم ما سيحدث للدالة جا ﺱ. ولكن إذا نظرنا إلى الدالة، فسنجدها في صيغة مختلفة بعض الشيء. فالدالة في صيغة أقرب إلى هذه، إذ لدينا ﺹ يساوي ﺃ جا الدالة ﺩﺱ.

فإذا نظرنا إلى الدالة، فإننا نجد أن ما حصلنا عليه هنا هو ﺃ، أي إن لدينا ثابتًا، وهو اثنان، ولدينا كذلك جا، ثم الدالة، أي إن لدينا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ. فإذا كانت بهذه الصيغة، فيمكننا القول بأن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺃ في مشتقة الدالة الموجودة داخل الدالة التي أمامنا في جيب تمام تلك الدالة. حسنًا، رائع.

الآن وقد حصلنا على هذا، يمكننا المتابعة واشتقاق ﺹ يساوي اثنين جا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ. إذن لدينا ﺹ يساوي اثنين جا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ. وبالتالي، نطبق الآن القاعدة التي أشرنا إليها وأوجدنا بها ﺩﺹ على ﺩﺱ لدالة مكتوبة بهذه الصيغة. في الحقيقة، تجدر الإشارة إلى أن هذا يندرج تحت قاعدة السلسلة، فقد استخدمنا بالفعل قاعدة السلسلة للحصول على ذلك.

سنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين في مشتقة ثلاثة زائد ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ في جتا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ، وهو ما يساوي اثنين في ثمانية في جتا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ. وقد حصلنا على ذلك لأننا إذا أجرينا الاشتقاق بالنسبة إلى ﺱ ثلاثة زائد ثمانية ﺱ، فما سنحصل عليه هو صفر زائد ثمانية، أي ثمانية.

والسبب في ذلك أننا إذا اشتققنا عددًا صحيحًا، فسنحصل على صفر. وإذا اشتققنا ثمانية ﺱ، فسنحصل على ثمانية في الأس. وهو ما يساوي ثمانية في واحد، ومن ثم يكون الناتج ثمانية. ثم لدينا ﺱ أس — لذا نطرح واحدًا من الأس، أي واحد ناقص واحد، وهو ما يساوي ﺱ أس صفر، وهو ما يعطينا واحدًا، ومن ثم يتبقى لدينا ثمانية.

رائع! إذن تتبقى خطوة واحدة، وبعدها يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. فإذا ضربنا اثنين في ثمانية، فسنحصل على ١٦. وبالتالي يمكننا القول إن ﺹ يساوي اثنين جا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ، وإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ١٦جتا ثلاثة زائد ثمانية ﺱ.