فيديو: اشتقاق الدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة

إذا كان ‪𝑦 = 2 sin (3 + 8𝑥)‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏.

٠٣:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏، فأوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، يتعين علينا اشتقاق الدالة. ولكي نفعل ذلك، فإنه يتعين علينا فعليًا استخدام قاعدتين عامتين لمساعدتنا في إيجاد الحل. حسنًا، بداية، نحن نعلم أنه إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي ‪sin 𝑥‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪cos 𝑥‬‏.

ومن ثم، إذا اشتققنا ‪sin 𝑥‬‏، فسنحصل على ‪cos 𝑥‬‏. اتفقنا؟ هذا مفيد للغاية؛ لأنه يساعدنا في فهم ما سيحدث للدالة ‪sin 𝑥‬‏. ولكن إذا نظرنا إلى الدالة، فسنجدها في صيغة مختلفة بعض الشيء. فالدالة في صيغة أقرب إلى هذه، إذ لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑎 sin‬‏ الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏.

فإذا نظرنا إلى الدالة، فإننا نجد أن ما حصلنا عليه هنا هو ‪𝑎‬‏، أي إن لدينا ثابتًا، وهو اثنان، ولدينا كذلك ‪sin‬‏، ثم الدالة، أي إن لدينا ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏. فإذا كانت بهذه الصيغة، فيمكننا القول بأن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في مشتقة الدالة الموجودة داخل الدالة التي أمامنا في جيب تمام تلك الدالة. حسنًا، رائع.

الآن وقد حصلنا على هذا، يمكننا المتابعة واشتقاق ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏. إذن لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏. وبالتالي، نطبق الآن القاعدة التي أشرنا إليها وأوجدنا بها ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لدالة مكتوبة بهذه الصيغة. في الحقيقة، تجدر الإشارة إلى أن هذا يندرج تحت قاعدة السلسلة، فقد استخدمنا بالفعل قاعدة السلسلة للحصول على ذلك.

سنحصل على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي اثنين في مشتقة ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ في ‪cos‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏، وهو ما يساوي اثنين في ثمانية في ‪cos‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏. وقد حصلنا على ذلك لأننا إذا أجرينا الاشتقاق بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏، فما سنحصل عليه هو صفر زائد ثمانية، أي ثمانية.

والسبب في ذلك أننا إذا اشتققنا عددًا صحيحًا، فسنحصل على صفر. وإذا اشتققنا ثمانية ‪𝑥‬‏، فسنحصل على ثمانية في الأس. وهو ما يساوي ثمانية في واحد، ومن ثم يكون الناتج ثمانية. ثم لدينا ‪𝑥‬‏ أس — لذا نطرح واحدًا من الأس، أي واحد ناقص واحد، وهو ما يساوي ‪𝑥‬‏ أس صفر، وهو ما يعطينا واحدًا، ومن ثم يتبقى لدينا ثمانية.

رائع! إذن تتبقى خطوة واحدة، وبعدها يمكننا إيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. فإذا ضربنا اثنين في ثمانية، فسنحصل على ‪16‬‏. وبالتالي يمكننا القول إن ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪sin‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏، وإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪16 cos‬‏ ثلاثة زائد ثمانية ‪𝑥‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.