فيديو السؤال: إيجاد مركبات متجه معطى على الصورة القطبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان وﺟ يساوي أربعة جذر ثلاثة، وثلاثة ‏𝜋‏‎ على أربعة هو الصورة القطبية لمتجه موضع النقطة ﺟ بدلالة نقطة الأصل و، فأوجد إحداثيات ﺱﺹ للنقطة ﺟ.

حسنًا، إذا كان هذا المستوى ﺱﺹ، فهنا عند نقطة الأصل تقع النقطة و، ومن ثم يخبرنا هذا المتجه وﺟ بإحداثيات النقطة ﺟ بالنسبة إلى نقطة الأصل. علمنا أيضًا أن متجه الموضع هذا معطى على الصورة القطبية. عند كتابته بهذه الطريقة، تكون القيمة الأولى مسافة نصف قطرية تسمى عادة نق. والقيمة الثانية هي زاوية مقيسة بالنسبة إلى المحور ﺱ الموجب.

بشكل عام، إذا كانت لدينا نقطة تقع على المستوى ﺱﺹ، وعرفنا المسافة نصف القطرية من نقطة الأصل تلك، وكذلك المسافة الزاوية من المحور الموجب ﺱ، فإننا نعرف متجه الموضع لهذه النقطة على الصورة القطبية. لكننا نعرف أن هناك طريقة أخرى لتحديد مكان هذه النقطة، وهي إعطاء الإحداثيين ﺱ وﺹ.

عندما نفكر في كيفية حساب هاتين القيمتين باستخدام نق و𝜃، فإن هذا الرسم يوضح لنا أنه بما أن الإحداثي ﺱ للنقطة يساوي هذا الطول هنا وأن هذا الطول يساوي طول ضلع في مثلث قائم الزاوية مجاور لـ 𝜃، فإن هذا يعني أن ﺱ يساوي نق في جتا 𝜃. وبالمثل، الإحداثي ﺹ لهذه النقطة، وهو ما يساوي هذه المسافة الرأسية هنا، يناظر ضلع المثلث المقابل للزاوية 𝜃. هذا يعني أن الإحداثي ﺹ للنقطة يساوي نق في جا 𝜃.

بالعودة إلى السؤال، لإيجاد إحداثيي ﺱﺹ للنقطة ﺟ، يمكننا القول إن ﺱ يساوي نق جتا 𝜃 وﺹ يساوي نق جا 𝜃؛ حيث قيمة نق المعطاة تساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة و𝜃 تساوي ثلاثة ‏𝜋‏‎ على أربعة. نلاحظ أن هذه الزاوية ثلاثة ‏𝜋‏‎ على أربعة تنصف الربع الثاني. وعليه، فإن جيب هذه الزاوية سيكون موجبًا، في حين أن جيب تمام الزاوية سيكون سالبًا. وهذا يبدو منطقيًّا؛ لأنه في الربع الثاني تكون قيمة ﺱ أقل من صفر، في حين أن قيمة ﺹ أكبر من صفر. ‏جتا ثلاثة ‏𝜋‏‎ على أربعة يساوي سالب الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، في حين أن جيب هذه الزاوية له المقدار نفسه، لكنه موجب.

عندما نعوض بهذه القيم ونضربها، نجد أن ﺱ يساوي سالب اثنين في الجذر التربيعي لستة، في حين أن ﺹ يساوي موجب اثنين جذر ستة. على التمثيل البياني، ستبدو هذه النقاط بهذا الشكل، وتشير إلى أن هذه النقطة هي النقطة ﺟ. إحداثيا ﺱﺹ لهذه النقطة هما: سالب اثنين جذر ستة، وموجب اثنين جذر ستة.