فيديو: إيجاد نهاية خارج القسمة للفرق بين القوى عند نقطة‎

أوجد ‪lim_(𝑥 → 2) (𝑥⁵ − 32)/(𝑥 − 2)‬‏.

٠٤:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية 𝑥 أس خمسة ناقص 32 على 𝑥 ناقص اثنين عند 𝑥 يقترب من اثنين.

أول شيء يمكننا فعله لمحاولة حساب هذه النهاية هو التعويض بنقطة النهاية اثنين مباشرة في المقدار. والمقدار هو 𝑥 أس خمسة ناقص 32 على 𝑥 ناقص اثنين. وبالتعويض باثنين في هذا المقدار، نحصل على اثنين أس خمسة ناقص 32 على اثنين ناقص اثنين. اثنان أس خمسة يساوي 32، ومن ثم نحصل على 32 ناقص 32 على اثنين ناقص اثنين. وهذا يساوي صفرًا مقسومًا على صفر. وهذا يمثل صيغة غير معينة، لا يمكننا حساب قيمتها. إذن، فالتعويض المباشر لم يعطنا قيمة هذه النهاية.

ومن الواضح أننا لن نحقق أي تقدم. حسنًا، 𝑥 ناقص اثنين هو مقام هذا الكسر. إذن، علينا إعادة كتابة هذا المقدار في صورة أخرى، بحيث لا يكون الوضع هكذا. إذا كنت تعرف نظرية العوامل الخطية، فستعرف أن لدينا سببًا وجيهًا لتوقع أن يكون من بين عوامل البسط 𝑥 أس خمسة ناقص 32 العامل 𝑥 ناقص اثنين. وهكذا إذا أجرينا القسمة المطولة لكثيرات الحدود على هذا المقدار الكسري، فمن المتوقع الحصول على كثيرة حدود.

وهناك بديل لإجراء القسمة المطولة لكثيرات الحدود، وهو إعادة كتابة 32 في صورة اثنين أس خمسة. ومن ثم يمكننا استخدام المتطابقة 𝑥 أس 𝑛 ناقص 𝑎 أس 𝑛 على 𝑥 ناقص 𝑎 يساوي 𝑥 أس 𝑛 ناقص واحد زائد 𝑎 في 𝑥 أس 𝑛 ناقص اثنين زائد 𝑎 تربيع في 𝑥 أس 𝑛 ناقص ثلاثة، وهكذا. نصل بهذا إلى الحدين الأخيرين، وهما 𝑎 أس 𝑛 ناقص اثنين في 𝑥 زائد 𝑎 أس 𝑛 ناقص واحد.

إذن، بجعل 𝑎 يساوي اثنين و𝑛 يساوي خمسة، نتوصل إلى أن خارج القسمة هذا يساوي 𝑥 أس أربعة زائد اثنين في 𝑥 أس ثلاثة زائد اثنين تربيع في 𝑥 تربيع زائد اثنين أس ثلاثة في 𝑥 زائد اثنين أس أربعة. ويمكننا تبسيط هذا من خلال حساب قوى العدد اثنين. الطرف الأيسر والطرف الأيمن متساويان. وبخلاف ذلك، فإن 𝑥 يساوي اثنين، والطرف الأيسر غير معرف. لذا فإن نهاية الطرف الأيسر تساوي نهاية الطرف الأيمن. وعندما نعوض بهذا مباشرة في نهاية الطرف الأيمن، لا نحصل على صيغة غير معينة.

وبالتعويض عن 𝑥 باثنين، نحصل على اثنين أس أربعة زائد اثنين في اثنين أس ثلاثة زائد أربعة في اثنين تربيع زائد ثمانية في اثنين زائد 16. وبحساب هذا، نحصل على الحل النهائي؛ 80. إذن، لتلخيص ما حدث، التعويض المباشر في المقدار 𝑥 أس خمسة ناقص 32 على 𝑥 ناقص اثنين أعطانا صيغة غير معينة. ولكن من خلال استخدام متطابقة أو استخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود، استطعنا إعادة كتابة هذا المقدار في صورة كثيرة الحدود. والتعويض المباشر في كثيرة الحدود تلك أعطانا قيمة النهاية؛ 80.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.