نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ متغير عشوائي طبيعي متوسطه 𝜇 يساوي ٧٥، وانحرافه المعياري 𝜎 يساوي ستة. إذا كان احتمال ﺱ أكبر من أو يساوي ﻙ يساوي ٠٫٩٩٣٨، فأوجد قيمة ﻙ.
علمنا من السؤال أن ﺱ متغير عشوائي طبيعي متوسطه يساوي ٧٥ وانحرافه المعياري يساوي ستة. وعلمنا أيضًا أن احتمال أن يكون هذا المتغير العشوائي الطبيعي ﺱ أكبر من قيمة مجهولة ﻙ يساوي ٠٫٩٩٣٨. يمكننا تصور هذا الاحتمال على أنه المساحة الموجودة على يمين القيمة ﻙ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي. وبما أن هذا الاحتمال أكبر من ٠٫٥، فإننا نعرف بذلك أن ﻙ يقع في النصف السفلي من التوزيع؛ لأن التوزيع الطبيعي متماثل حول المتوسط. وعليه، فإن احتمال وقوعه على أي جانب من جانبي المتوسط يساوي ٠٫٥.
ومن ثم، يمكننا استنتاج أنه إذا كان الاحتمال الموجود على يمين المتوسط يساوي ٠٫٥، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ﻙ وأقل من أو يساوي الوسط ٧٥ يساوي ٠٫٩٩٣٨ ناقص ٠٫٥، وهو ما يساوي ٠٫٤٩٣٨. سوف نحتاج إلى استخدام الجداول الإحصائية لاحقًا. لكن لإيجاد احتمالات التوزيع الطبيعي، علينا أولًا تحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري. بعبارة أخرى، علينا التحويل إلى توزيع طبيعي متوسطه يساوي صفرًا وانحرافه المعياري يساوي واحدًا.
ويمكننا تحويل أي قيمة مرصودة لـ ﺱ من أي توزيع طبيعي متوسطه 𝜇 وانحرافه المعياري 𝜎 إلى مقياس معياري باستخدام الصيغة: ﻱ يساوي ﺱ ناقص 𝜇 على 𝜎. وتعرف هذه القيم المعيارية بالدرجات المعيارية ص. بالنسبة إلى القيمة المرصودة ﻙ من التوزيع الطبيعي الذي متوسطه ٧٥ وانحرافه المعياري ستة، فإن درجة ﻱ المعيارية تساوي ﻙ ناقص ٧٥ على ستة. بتحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري، نجد أن احتمال ﺱ أكبر من أو يساوي ﻙ وأقل من أو يساوي ٧٥ هو نفس احتمال أن يكون المتغير العشوائي الطبيعي المعياري ﺹ أكبر من أو يساوي ﻙ ناقص ٧٥ على ستة وأقل من أو يساوي صفرًا. ونحن نعرف أن هذا الاحتمال يساوي ٠٫٤٩٣٨.
نريد استخدام الجداول الإحصائية لإيجاد قيمة ﻙ. لكن الجداول توضح الاحتمالات في صورة محددة. إنها تعطينا احتمال وقوع ﺹ بين صفر ودرجة ﻱ المعيارية الموجبة. وهنا نحتاج إلى استخدام تماثل التوزيع الطبيعي. التوزيع الطبيعي متماثل حول متوسطه. ومن ثم، فإن احتمال وقوع ﺹ بين قيمة سالبة وصفر هو نفسه احتمال وقوع ﺹ بين صفر والقيمة المطلقة لتلك القيمة السالبة. لذا فإن احتمال وقوع ﺹ بين ﻙ ناقص ٧٥ على ستة وصفر هو نفسه احتمال وقوع ﺹ بين صفر وسالب ﻙ ناقص ٧٥ على ستة. نحن نعرف أن هذا الاحتمال يساوي ٠٫٤٩٣٨. لذا يمكننا استخدام الجداول الإحصائية.
والآن، ربما تحتاج إلى تكبير الصورة لرؤية هذه القيمة. لكنك إذا فعلت ذلك، فستجد أن الاحتمال ٠٫٤٩٣٨ تصاحبه درجة ﻱ المعيارية التي قيمتها ٢٫٥. نستنتج من ذلك أن سالب ﻙ ناقص ٧٥ على ستة يساوي ٢٫٥. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ. بضرب طرفي المعادلة في سالب واحد، يصبح لدينا: ﻙ ناقص ٧٥ على ستة يساوي سالب ٢٫٥. بعد ذلك، نضرب كل طرف من طرفي المعادلة في ستة لنحصل على: ﻙ ناقص ٧٥ يساوي سالب ١٥. وأخيرًا، نضيف ٧٥ إلى كلا الطرفين لنحصل على: ﻙ يساوي ٦٠.
هذه الإجابة منطقية لأن ٦٠ أقل من ٧٥. إذن، تقع القيمة ﻙ في النصف السفلي من التوزيع. ويمكننا أن نكون واثقين من أن الخطوات التي اتبعناها في تمثيل هذه المنطقة بالنصف العلوي كانت صحيحة. إذن، من خلال تحويل التوزيع الطبيعي إلى توزيع طبيعي معياري ثم تمثيل المنطقة في النصف العلوي من التوزيع بدلًا من النصف السفلي، تمكنا من استخدام الجداول الإحصائية ثم أعدنا ترتيب المعادلة التي حصلنا عليها ووجدنا أن قيمة ﻙ تساوي ٦٠.
