فيديو: التركيبات الخطية والمدى ومتجهات الأساس

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

التركيبات الخطية والمدى ومتجهات الأساس.

٠٩:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو السابق، إلى جانب فكرتي جمع متجهات وضربها في كمية قياسية، وصفت إحداثيات المتجه، حيث يحدث هذا التنقل، على سبيل المثال، بين أزواج من الأعداد والمتجهات الثنائية الأبعاد. الآن، أعتقد أن إحداثيات المتجه هذه كانت مألوفة بالفعل للكثير منكم، لكن ثمة طريقة أخرى مشوقة لتصور هذه الإحداثيات، وتقع في صميم الجبر الخطي. عندما يكون لديك زوج من الأعداد يصف متجهًا مثل ثلاثة وسالب اثنين، فإنني أريدك أن تعتبر كل إحداثي كمية قياسية، بمعنى أن تتصور كيف يمد كل إحداثي المتجهات أو يقلصها في الطول. في النظام الإحداثي ‪𝑥𝑦‬‏، يوجد متجهان مميزان للغاية: المتجه الذي يشير إلى اليمين وطوله واحد، والذي يسمى عادة متجه الوحدة ‪𝑖‬‏ أو متجه الوحدة في اتجاه المحور ‪𝑥‬‏، والمتجه الذي يشير إلى أعلى وطوله واحد، والذي يسمى عادة متجه الوحدة ‪𝑗‬‏، أو متجه الوحدة في اتجاه المحور ‪𝑦‬‏.

الآن، تصور أن إحداثي ‪𝑥‬‏ للمتجه هنا كمية قياسية مضروبة في متجه الوحدة ‪𝑖‬‏، أي تمده بمعامل ثلاثة، وأن إحداثي ‪𝑦‬‏ كمية قياسية مضروبة في متجه الوحدة ‪𝑗‬‏، أي تقلبه وتمده بمعامل اثنين. المتجهات التي تصفها هذه الإحداثيات، في هذا السياق، هي مجموع متجهين مضروبين في كمية قياسية.

هذا مفهوم يسترعي الاهتمام، وهو فكرة جمع متجهين مضروبين في كمية قياسية معًا. ولهذين المتجهين، متجه الوحدة ‪𝑖‬‏ ومتجه الوحدة ‪𝑗‬‏، اسم مميز بالمناسبة. إذ يطلق عليهما معًا أساس النظام الإحداثي. ما يعنيه هذا، في واقع الأمر، أنك عندما تتعامل مع الإحداثيات بوصفها كميات قياسية، فإن متجهات الأساس في هذه الحالة هي ما تقيسه هذه الكميات القياسية بالفعل. يوجد أيضًا تعريف أدق رياضيًا، لكني سأتطرق إليه لاحقًا. بتحديد النظام الإحداثي لدينا بدلالة متجهي الأساس المميزين هذين، تتبادر إلى الأذهان فكرة مشوقة وذكية للغاية. إذ يمكننا اختيار متجهي أساس مختلفين، والحصول على نظام إحداثي جديد ومنطقي تمامًا. على سبيل المثال، اختر متجهًا يشير لأعلى يمينًا، مع متجه آخر يشير لأسفل يمينًا بشكل ما. توقف لحظة للتفكير في كل المتجهات المختلفة التي يمكنك الحصول عليها عن طريق اختيار كميتين قياسيتين، باستخدام كل كمية قياسية منهما لقياس متجه من المتجهين، ثم جمع ما حصلت عليه. ما المتجهات الثنائية الأبعاد التي يمكنك الوصول إليها بتغيير اختيارات الكميات القياسية؟ الإجابة هي أنك يمكنك الوصول إلى كل متجه ثنائي الأبعاد محتمل، وأعتقد أن هذا لغز جيد يستحق أن تفكر فيه.

إن أي زوج جديد كهذا من متجهات الأساس سيظل يعطينا طريقة صالحة للتنقل بين أزواج الأعداد والمتجهات الثنائية الأبعاد، لكن المتجه المرتبط بهما سيكون مختلفًا تمامًا عما تحصل عليه باستخدام متجهي الأساس القياسيين ‪𝑖‬‏ و‪𝑗‬‏. هذا شيء سأتناوله بمزيد من التفصيل لاحقًا، واصفًا بدقة العلاقة بين الأنظمة الإحداثية المختلفة. لكن في الوقت الحالي، أريدك أن تدرك حقيقة أنه في أي وقت نصف فيه المتجهات عدديًا، فإن ذلك يعتمد على الاختيار الضمني لمتجهات الأساس التي نستخدمها. إذن، في أي وقت تضرب فيه متجهين في كمية قياسية وتجمعهما على هذا النحو، فإن هذه العملية تسمى التركيب الخطي لهذين المتجهين.

من أين تأتي هذه الكلمة «خطي»؟ لماذا يتعلق هذا بالخطوط؟ حسنًا، هذا ليس دراسة لأصل المصطلح، لكن لدي طريقة مفضلة للتفكير في ذلك وهي أنك إذا قمت بتثبيت إحدى هذه الكميات القياسية وتركت الأخرى تغير قيمتها بحرية، فإن نقطة نهاية المتجه الناتج سترسم خطًا مستقيمًا. والآن، إذا تركت قيمتي كلتا الكميتين القياسيتين تغير قيمتها بحرية، وفكرت في كل متجه محتمل يمكن أن تحصل عليه، فثمة أمران يمكن أن يحدثا: بالنسبة إلى معظم أزواج المتجهات، ستكون قادرًا على الوصول إلى كل نقطة محتملة في المستوى؛ إذ يصبح أمامك كل متجه ثنائي الأبعاد. لكن في الحالات التي لن يحالفك فيها الحظ التي يكون فيها المتجهان الأصليان على خط واحد، ينحصر طرف النهاية للمتجه الناتج في هذا الخط المار بنقطة الأصل فقط. في الواقع، ثمة احتمال ثالث أيضًا من الناحية النظرية: قد يكون كلا المتجهين صفرًا، وفي تلك الحالة ستظل عالقًا في نقطة الأصل فحسب. وهنا نتعرف على مصطلح جديد: مجموعة جميع المتجهات المحتملة التي يمكنك الوصول إليها بتركيب خطي لأحد أزواج المتجهات المعطاة تسمى مدى هذين المتجهين.

إذن، لإعادة صياغة ما قلناه بدءًا بالمصطلح ثم تعريفه، فإن مدى معظم أزواج المتجهات الثنائية الأبعاد هو جميع المتجهات في الفضاء الثنائي الأبعاد، لكن عندما تكون المتجهات على خط واحد، فإن مداها يكون جميع المتجهات التي تستقر نهاياتها على خط معين. هل تتذكر حينما قلت إن الجبر الخطي يتمحور حول جمع المتجهات وضربها في كميات قياسية؟ حسنًا، مدى متجهين هو بالأساس طريقة لطرح السؤال التالي: «ما المتجهات المحتملة التي يمكنك الوصول إليها باستخدام هاتين العمليتين الأساسيتين فقط: جمع المتجهات وضربها في كميات قياسية؟» ومن المناسب هنا أن نتحدث عن الكيفية التي يتصور بها الناس عادة المتجهات كنقاط. سيصبح المستوى مزدحمًا للغاية عندما تستقر مجموعة من المتجهات على خط واحد ويصبح أكثر ازدحامًا عندما تمثل كل المتجهات الثنائية الأبعاد دفعة واحدة، بحيث تملأ المستوى بالكامل. إذن عند التعامل مع مجموعات كهذه من المتجهات، فمن الشائع أن يمثل كل متجه بنقطة فقط في الفضاء. النقطة التي تكون عند طرف نهاية هذا المتجه حيث، كالمعتاد، أريدك أن تتصور هذا المتجه واضعًا في اعتبارك أن بدايته عند نقطة الأصل. بهذه الطريقة، إذا كنت تريد تصور كل متجه محتمل يقع طرف نهايته على خط معين، فيمكنك ببساطة أن تتصور الخط نفسه.

وبالمثل، لتصور جميع المتجهات الثنائية الأبعاد المحتملة دفعة واحدة، يمكنك النظر إلى كل متجه على أنه النقطة التي يقع عندها طرف نهايته. إذن، عمليًا، ما ستتصوره هو السطح المستوي اللانهائي للفضاء الثنائي الأبعاد نفسه، لكن دون الأسهم. بشكل عام، إذا أردت تصور متجه بمفرده، فيمكنك تخيله في صورة سهم، وإذا كنت تتعامل مع مجموعة من المتجهات، فمن الملائم تصورها جميعًا كنقاط. إذن، في مثال المدى، يصبح مدى معظم أزواج المتجهات هو السطح المستوي اللانهائي للفضاء الثنائي الأبعاد بأكمله، لكن إذا كانت المتجهات على خط واحد، يكون مداها مجرد خط. تصبح فكرة المدى أكثر تشويقًا إذا بدأنا في تصور المتجهات في فضاء ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال، إذا أخذت متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد لا يشيران إلى الاتجاه نفسه، فماذا يعني أن نأخذ مداهما؟ حسنًا، مداهما هو مجموعة من كل التركيبات الخطية المحتملة لهذين المتجهين، أي جميع المتجهات المحتملة التي تحصل عليها عن طريق ضرب كل متجه من المتجهين في كمية قياسية ما، ثم جمعهما معًا.

يمكنك بشكل ما أن تتخيل تغيير اتجاه متجهين مختلفين لتغيير الكميتين القياسيتين اللتين تحددان التركيب الخطي، وجمع المتجهات المضروبة في كمية قياسية واتباع طرف النهاية للمتجه الناتج. وسيتبع طرف النهاية ما يشبه السطح المستوي، مرورًا بنقطة أصل الفضاء الثلاثي الأبعاد. هذا السطح المستوي هو مدى المتجهين، أو بشكل أدق، المجموعة التي تضم كل المتجهات المحتملة التي تستقر أطراف نهاياتها على هذا السطح المستوي هي مدى المتجهين. أليست هذه صورة ذهنية جميلة؟ إذن ماذا يحدث إذا أضفنا متجهًا ثالثًا وتصورنا مدى المتجهات الثلاثة معًا؟ يحدد التركيب الخطي لثلاثة متجهات بنفس الطريقة تقريبًا التي يحدد بها التركيب الخطي لمتجهين، حيث تختار ثلاث كميات قياسية مختلفة، وتضربها في كل متجه من هذه المتجهات، ثم تجمعها كلها معًا. مرة أخرى، مدى هذه المتجهات هو المجموعة التي تشمل كل التركيبات الخطية المحتملة. يمكن أن يحدث شيئان مختلفان هنا: إذا كان المتجه الثالث يستقر في مدى المتجهين الأولين، فالمدى لا يتغير إذن، ومن ثم تصبح كما لو أنك مقيد في نفس السطح المستوي. بمعنى آخر، فإن إضافة نسخة من المتجه الثالث مضروبة في كمية قياسية إلى هذا التركيب الخطي لا يفضي بك إلى أي متجهات جديدة. لكن إذا اخترت متجهًا ثالثًا بشكل عشوائي تمامًا، فمن المؤكد غالبًا ألا يستقر في مدى المتجهين الأولين. ثم بما أنه يشير إلى اتجاه مستقل، فإنه يفتح المجال أمامك إلى جميع المتجهات الثلاثية الأبعاد المحتملة.

لدي طريقة مفضلة لتصور ذلك، وهي: بما أنك تضرب هذا المتجه الثالث الجديد في كمية قياسية، فإنه يتحرك خلال سطح المدى للمتجهين الأولين، ناشرًا إياها في كل أنحاء الفضاء. من الطرق الأخرى لتصور الأمر أنك لك مطلق الحرية في تغيير الكميات القياسية الثلاث التي لديك للوصول إلى الأبعاد الثلاثة للفضاء بالكامل. الآن، في حالة استقرار المتجه الثالث بالفعل في مدى المتجهين الأولين، أو إذا كان المتجهان على خط واحد، فإننا نريد مصطلحًا جديدًا يصف حقيقة أن أحد هذه المتجهات على الأقل يقع على متجه آخر، وهو ما لا يضيف أي شيء للمدى. عندما يحدث ذلك، أي عندما يكون لديك متجهات متعددة ويمكنك حذف أحدها دون تقليل المدى، فالمصطلح المناسب هو أن هذه المتجهات «تابعة خطيًا».

من الطرق الأخرى لصياغة ذلك أن نقول إن أحد هذه المتجهات يمكن التعبير عنه بوصفه التركيب الخطي للمتجهين الآخرين بما أنه موجود بالفعل في مدى المتجهين الآخرين. على الجانب الآخر، إذا أضاف كل متجه بالفعل بعدًا آخر إلى المدى، فإن هذه المتجهات «مستقلة خطيًا». إذن مع كل تلك المصطلحات، وبعض الصور الذهنية الجيدة، سأترككم مع لغز قبل أن أنهي حديثي. التعريف الرياضي لأساس أي فضاء هو مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا التي تنتشر عبر ذلك الفضاء. والآن، اعتمادًا على وصفي للأساس سابقًا وعلى فهمكم الحالي لمصطلحي «المدى» و«الاستقلال الخطي»، أريدكم أن تفكروا في السبب الذي يجعل هذا التعريف منطقيًا. في الفيديو التالي، سأشرح لكم المصفوفات وتحويل الفضاء. إلى اللقاء حتى ذلك الحين!

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.