فيديو: التكامل غير المحدَّد

سوزان فائق

يوضح الفيديو مفهوم التكامل غير المحدَّد، وكيفية إيجاده، وتطبيقًا عمليًّا من حياتنا.

٠٦:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم عن التكامل غير المحدّد. هنعرف يعني إيه التكامل غير المحدّد. وإيه علاقته بالمشتقه العكسية. وإزّاي نحسب التكامل غير المحدّد لأيّ دالة. المشتقة العكسية أو التكامل غير المحدّد، هو عملية عكسية لعملية الاشتقاق. حيث أنه يقال أن الدالة ت مشتقة عكسية للدالة د، في أيّ فترة، إذا كان د د س للدالة ت س، بتساوي د س. حيث الـ س معرّفة داخل الفترة.

وسبب تسمية التكامل غير المحدّد بهذا الاسم، أنه لا يعبّر عن دالة محدّدة. بل عن عدد لا نهائي من المشتقات العكسية. وعلشان كده بنضيف على القيمة اللي بنجيبها، ثابت ث. يدّينا عدد لا نهائي من الدوال، اللي هي بتمثّل المشتقات العكسية. وعلشان نحسب التكامل غير المحدّد للدالة د، بنقول بنجيب التكامل لِـ د س د س، بتساوي ت س زائد الـ ث. حيث الـ ت س دي المشتقة العكسية للدالة د س. والـ ث ده عدد ثابت.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. أجرى طلاب الصف الثالث الثانوي، في إحدى المدارس الثانوية، تجربة فيزيائية. تتضمن إسقاط كرة من نافذة الفصل، التي ترتفع عن سطح الأرض مسافة عشرة متر. وتُمثّل ف ز تساوي سالب خمسة وتلاتة من عشرة ز، سرعة الكرة المتجهة اللحظية بالأمتار بعد ز ثانية من سقوطها. اوجد دالة موقع الكرة بعد ز ثانية من سقوطها. واوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة، حتى تصل إلى سطح الأرض.

يعني عندنا هنا السرعة. وعايزين موقع الدالة. يعني عايزين المشتقة العكسية للسرعة. اللي هي بتمثّل موقع الكرة بعد ز ثانية. يعني عايزها دالة في الـ ز. وبعدين نوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة، حتى تصل إلى سطح الأرض. يعني تكون المسافة تساوي صفر. أو موقع الكرة يساوي صفر، اللي هو عند سطح الأرض.

أول حاجة، لإيجاد دالة الموقع، نوجد المشتقة العكسية لدالة السرعة. ف ز بتساوي تكامل غير المحدّد لِـ ع ز في د ز. يبقى تكامل ع ز لِـ د ز، هيساوي تكامل سالب خمسة وتلاتة من عشرة ز د ز. لإيجاد المشتقة العكسية للدالة دي، بنزوّد الأُس واحد، وبنقسم عليه. والثابت زيّ ما هو يفضل موجود. يبقى سالب خمسة وتلاتة من عشرة، هنزوّد أُس الـ ز واحد، يبقى واحد زائد الواحد. ونقسم على الأُس اللي كتبناها الجديد ده؛ على الاتنين. ونزوّد ثابت علشان ده عدد لا نهائي من المشتقات العكسية للدالة ع ز.

يبقى دالة الموقع، اللي هي ف ز، بتساوي سالب خمسة وتلاتة من عشرة على اتنين ز تربيع زائد الثابت. وعلشان نعرف نجيب قيمة الثابت ده، عندنا معلومة إن الكرة اتْرمت من مسافة عشر أمتار. يعني عند الزمن يساوي صفر، كان الموقع بتاع الكرة يساوي عشرة. يبقى نعوّض في دالة الموقع اللي جِبنا قيمتها دي، بقيمة ز يساوي صفر. يعني ف لمّا هتبقى صفر، كانت بتساوي عشرة متر. يعني هيساوي سالب خمسة وتلاتة من عشرة عَ الاتنين، مضروبة في الصفر، زائد الثابت.

كده نقدر نجيب قيمة الثابت. يبقى الثابت هيساوي عشرة. يبقى دالة الموقع هتساوي سالب اتنين وخمسة وستين من مية ز تربيع، زائد عشرة. وهو ده أول مطلوب في المسألة.

تاني مطلوب في المسألة: اوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة، حتى تصل إلى سطح الأرض. يعني عايزين الـ ز هتساوي كام، لمّا الـ ف ز هتساوي صفر. لمّا هنعوّض في دالة الموقع، يبقى الصفر هيساوي سالب اتنين وخمسة وستين من مية. والـ ز قيمتها مجهولة. زائد العشرة. نقدر نحسب ونجيب قيمة الـ ز من المعادلة.

دي نقلب الصفحة. عندنا المعادلة اللي قدامنا دي. عايزين نحلّها، ونجيب قيمة الـ ز. هنطرح عشرة من الطرفين. يبقى سالب اتنين وخمسة وستين من مية ز تربيع … زائد العشرة ناقص العشرة، هيبقى صفر. تساوي سالب عشرة. نقسم الطرفين على سالب اتنين وخمسة وستين من مية. يبقى ز تربيع هتساوي عشرة على اتنين وخمسة وستين من مية. والسالب هتروح مع السالب. بأخذ الجذر التربيعي للـ ز تربيع، يبقى الـ ز هتساوي موجب وسالب تقريبًا واحد وتسعة من عشرة.

وإحنا هنا بنجيب الزمن. والزمن ما بيبقاش بالسالب. يبقى هنرفض القيمة السالبة. يبقى الزمن هيساوي تقريبًا واحد وتسعة من عشرة ثانية. أيْ أن الكرة ستستغرق واحد وتسعة من عشرة ثانية تقريبًا، حتى تصل إلى سطح الأرض.

يبقى في الفيديو ده اتكلمنا إزّاي هنعرف نحسب التكامل غير المحدّد للدوال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.