نسخة الفيديو النصية
صواب أم خطأ: حاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات يساوي محدد المصفوفة المكون من هذه المتجهات.
دعونا نتذكر تعريف الضرب الثلاثي القياسي. الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات ﺃ، ﺏ، ﺟ هو الضرب القياسي للمتجه ﺃ في الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ، ﺟ. ولتحديد قيمة ذلك، دعونا نبدأ بكتابة صيغة الضرب الاتجاهي للمتجهين ثلاثيي الأبعاد ﺏ، ﺟ.
نفترض أن للمتجهين ﺏ، ﺟ المركبات: ﺏﺱ، ﺏﺹ، ﺏﻉ والمركبات ﺟﺱ، ﺟﺹ، ﺟﻉ على الترتيب. إذن، يعطى ضربهما الاتجاهي من خلال المتجه الذي تكون مركبته ﺱ تساوي ﺏﺹ ﺟﻉ ناقص ﺏﻉ ﺟﺹ، ومركبته ﺹ تساوي سالب ﺏﺱ ﺟﻉ ناقص ﺏﻉ ﺟﺱ، ومركبته ﻉ تساوي ﺏﺱ ﺟﺹ ناقص ﺏﺹ ﺟﺱ.
إذا افترضنا كذلك أن للمتجه ﺃ المركبات ﺃﺱ، ﺃﺹ، ﺃﻉ على الترتيب، فإن الضرب القياسي للمتجه ﺃ في الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺏ، ﺟ يعطينا كمية قياسية. هذا يساوي ﺃﺱ في ﺏﺹ ﺟﻉ ناقص ﺏﻉ ﺟﺹ ناقص ﺃﺹ في ﺏﺱ ﺟﻉ ناقص ﺏﻉ ﺟﺱ زائد ﺃﻉ في ﺏﺱ ﺟﺹ ناقص ﺏﺹ في ﺟﺱ. دعونا الآن نفكر فيما نعرفه عن إيجاد محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.
سنوجد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة بضرب كل عنصر من عناصر الصف العلوي في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين الناتجة عن حذف هذا الصف وهذا العمود. على سبيل المثال، نضرب ﺃﺱ في محدد المصفوفة ﺏﺹ، ﺏﻉ، ﺟﺹ، ﺟﻉ. وهذا يعطينا الحد الأول في حاصل الضرب الثلاثي القياسي.
في الواقع، في حالة الاستمرار بالطريقة نفسها، فسنجد بالفعل أن حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي محدد هذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. وهذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة تتكون من صفوف تحتوي على عناصر المتجهات ﺃ، ﺏ، ﺟ على الترتيب. ومن ثم، إجابة السؤال هي «صواب». حاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات يساوي محدد المصفوفة المكون من هذه المتجهات.
