نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي سرعة جسم وارتفاعه فوق سطح الأرض ℎ صفر، عند لحظات مختلفة. الشكل غير مرسوم بمقياس رسم. الطاقة الميكانيكية للجسم ثابتة. أي من الآتي له المقدار الأكبر؟ أ: ℎ واحد ناقص ℎ صفر. ب: ℎ اثنان ناقص ℎ واحد. ج: ℎ ثلاثة ناقص ℎ اثنين. د: ℎ أربعة ناقص ℎ واحد.
في هذا السؤال، لدينا شكل يوضح حركة الجسم أثناء تحركه على منحنى. لدينا سرعة الجسم عند نقاط مختلفة خلال رحلته. نريد إيجاد ارتفاع الجسم عند كل فترة قيست فيها سرعته، لنحدد أي الخيارات له أكبر مقدار. قبل أن نبدأ في الإجابة عن هذا السؤال، علينا استرجاع بعض المعلومات عن الطاقة الميكانيكية، وكيفية استخدامها لحساب القيم التي نريدها.
لعلنا نتذكر أن الطاقة الميكانيكية ME، لأي جسم تعرف بأنها مجموع طاقة حركته وطاقة وضعه. طاقة الحركة KE، تساوي نصفًا مضروبًا في الكتلة 𝑚، مضروبة في السرعة 𝑣 تربيع. لدينا أيضًا في هذه المسألة طاقة وضع الجاذبية GPE، وهي تساوي الكتلة 𝑚، مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية 𝑔، مضروبة في ارتفاع الجسم ℎ. ومن ثم، فإن الطاقة الميكانيكية للجسم تساوي نصف 𝑚𝑣 تربيع زائد 𝑚𝑔ℎ.
نظرًا إلى أننا نعلم أن الطاقة الميكانيكية للجسم ثابتة طوال فترة تحركه، يمكننا مساواة الطاقة الميكانيكية عند أي نقطتين من هذه النقاط لإيجاد الفرق في الارتفاع. إذن، في الحالة العامة لنقطتين مختلفتين، سنسميهما النقطة A والنقطة B، سيكون لدينا المعادلة: نصف 𝑚𝑣A تربيع زائد 𝑚𝑔ℎA يساوي نصف 𝑚𝑣B تربيع زائد 𝑚𝑔ℎB. نريد الآن إعادة ترتيب ذلك بحيث يكون لدينا معادلة للفرق بين الارتفاعين ℎB، ℎA.
يمكننا فعل ذلك بطرح 𝑚𝑔ℎA من الطرفين وطرح نصف 𝑚𝑣B تربيع من الطرفين لنحصل على نصف 𝑚𝑣A تربيع ناقص نصف 𝑚𝑣B تربيع يساوي 𝑚𝑔ℎB ناقص 𝑚𝑔ℎA. إذا حللنا الطرفين، فسنحصل على نصف 𝑚 مضروبًا في 𝑣A تربيع ناقص 𝑣B تربيع يساوي 𝑚𝑔 مضروبًا في ℎB ناقص ℎA. يمكننا الآن قسمة الطرفين على 𝑚𝑔، وسيصبح لدينا ℎB ناقص ℎA يساوي 𝑣A تربيع ناقص 𝑣B تربيع على اثنين 𝑔.
لدينا الآن معادلة عامة لحساب الفرق بين ارتفاعات هذا الجسم. دعونا نبدأ بالخيار أ: ℎ واحد ناقص ℎ صفر. ℎ واحد ناقص ℎ صفر يساوي 𝑣 صفر تربيع ناقص 𝑣 واحد تربيع على اثنين 𝑔. من الشكل، يمكننا ملاحظة أن 𝑣 صفر يساوي 20 مترًا لكل ثانية، و𝑣 واحدًا يساوي 12 مترًا لكل ثانية. يمكننا أيضًا تذكر أن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نجد أن ℎ واحدًا ناقص ℎ صفرًا يساوي 20 مترًا لكل ثانية، الكل تربيع ناقص 12 مترًا لكل ثانية، الكل تربيع على اثنين مضروبًا في 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، وهو ما يساوي 13.1 مترًا.
يمكننا الآن تكرار هذه الطريقة مع الخيارات الثلاثة الأخرى. في الخيار ب: ℎ اثنان ناقص ℎ واحد سيساوي 𝑣 واحد تربيع ناقص 𝑣 اثنين تربيع على اثنين 𝑔. من الشكل، نجد أن 𝑣 واحدًا يساوي 12 مترًا لكل ثانية، و𝑣 اثنين يساوي 5.6 أمتار لكل ثانية. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نجد أن ℎ اثنين ناقص ℎ واحد يساوي 12 مترًا لكل ثانية، الكل تربيع ناقص 5.6 أمتار لكل ثانية، الكل تربيع على اثنين مضروبًا في 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، وهو ما يساوي 5.7 أمتار. نلاحظ أن هذه القيمة أصغر من القيمة في الخيار أ؛ لذلك يمكننا استبعاد الخيار ب.
الخيار ج: ℎ ثلاثة ناقص ℎ اثنين سيساوي 𝑣 اثنين تربيع ناقص 𝑣 ثلاثة تربيع على اثنين 𝑔. من الشكل، نجد أن 𝑣 اثنين يساوي 5.6 أمتار لكل ثانية، و𝑣 ثلاثة يساوي 1.5 متر لكل ثانية. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نجد أن ℎ ثلاثة ناقص ℎ اثنين يساوي 5.6 أمتار لكل ثانية، الكل تربيع ناقص 1.5 متر لكل ثانية، الكل تربيع على اثنين مضروبًا في 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، وهو ما يساوي 1.5 متر. نلاحظ أن هذه القيمة أصغر من القيمة في الخيار أ؛ لذلك يمكننا استبعاد الخيار ج.
بالنسبة إلى الخيار د: ℎ أربعة ناقص ℎ واحد يساوي 𝑣 واحد تربيع ناقص 𝑣 أربعة تربيع على اثنين 𝑔. من الشكل، نجد أن 𝑣 واحدًا يساوي 12 مترًا لكل ثانية، و𝑣 أربعة يساوي 3.1 أمتار لكل ثانية. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نجد أن ℎ أربعة ناقص ℎ واحد يساوي 12 مترًا لكل ثانية، الكل تربيع ناقص 3.1 أمتار لكل ثانية، الكل تربيع على اثنين مضروبًا في 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، وهو ما يساوي 6.9 أمتار. نجد أن هذه القيمة أصغر من القيمة في الخيار أ؛ لذلك يمكننا استبعاد الخيار د.
ومن ثم، لا بد أن يكون الخيار أ هو الإجابة الصحيحة. ℎ واحد ناقص ℎ صفر له أكبر مقدار.
