تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قيمة دالة مثلثية بمعلومية إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي لزاوية في الوضع القياسي الرياضيات

الضلع النهائي للزاوية ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقطة ‪𝐵‬‏ التي إحداثياتها ‪(-𝑥، -𝑥)‬‏؛ حيث ‪𝑥‬‏ عدد موجب. وجد ‪sin 𝜃‬‏.

٠٣:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

الضلع النهائي للزاوية ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقطة ‪𝐵‬‏ التي إحداثياتها ‪(-𝑥، -𝑥)‬‏؛ حيث ‪𝑥‬‏ عدد موجب. أوجد ‪sin 𝜃‬‏.

بداية، دعونا نرسم دائرة وحدة لتساعدنا في تصور ما يحدث هنا. يكون مركز دائرة الوحدة عند نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي واحدًا. إحداثيات ‪𝐵‬‏ هي سالب ‪𝑥‬‏، سالب ‪𝑥‬‏؛ حيث ‪𝑥‬‏ عدد موجب. هذا يعني أن النقطة ‪𝐵‬‏ ستكون في الربع الثالث، وتقع على بعد ‪𝑥‬‏ من الوحدات إلى اليسار من نقطة الأصل و‪𝑥‬‏ من الوحدات لأسفل من نقطة الأصل. بما أن الزاوية ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ في الوضع القياسي، فإن ضلعها الابتدائي هو محور ‪𝑥‬‏ الموجب، وسيمر ضلعها النهائي بالنقطة ‪𝐵‬‏.

بالنسبة إلى الزوايا في الوضع القياسي، فإنها تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من نقطة الأصل. وقبل أن نتمكن من حساب ‪sin 𝜃‬‏، سنحسب ما يسمى بالزاوية المرجعية من النقطة ‪𝐵‬‏. وهي الزاوية الناتجة عن النقطة ‪𝐵‬‏ ومحور ‪𝑥‬‏ السالب. لنسمها الزاوية ‪𝛼‬‏. عند هذه المرحلة، يمكننا استخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد قياس الزاوية ‪𝛼‬‏. هذا المثلث القائم الزاوية فيه ضلعان طول أحدهما يساوي ‪𝑥‬‏، والآخر هو الوتر الذي طوله يساوي واحدًا. ونعلم أن طول الوتر يساوي واحدًا؛ لأن النقطة ‪𝐵‬‏ تقع على دائرة الوحدة، والمسافة بين ‪𝐵‬‏ ومركز هذه الدائرة تساوي واحدًا.

لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أن ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع. وبالنسبة لهذا المثلث، يكون ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي واحدًا تربيع. إذن اثنان ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي واحدًا. بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي واحدًا على اثنين. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي الجذر التربيعي لواحد على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد على الجذر التربيعي لاثنين. نعلم أن نسبة الجيب تساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وعليه، فإن ‪sin 𝛼‬‏ سيساوي ‪𝑥‬‏ على واحد، أو ببساطة ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أن ‪sin 𝛼‬‏ يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين.

هذه هي قيمة جيب الزاوية المرجعية. لإيجاد العلاقة التي توضح قيمة ‪sin 𝜃‬‏ بدقة؛ بحيث يكون الضلع الابتدائي هو المحور ‪𝑥‬‏ والضلع النهائي يمثل النقطة ‪𝐵‬‏، نستخدم مخطط الإشارات للدوال المثلثية ‪(CAST)‬‏. في الربع الأول، تكون كل القيم المثلثية موجبة. وفي الربع الثاني، تكون قيمة الجيب فقط موجبة. وفي الربع الثالث، تكون قيمة الظل فقط موجبة. وفي الربع الرابع، تكون قيمة جيب التمام موجبة.

بما أن النقطة ‪𝐵‬‏، أي الضلع النهائي، تقع في الربع الثالث، فإن جيب الزاوية ‪𝐴𝑂𝐵‬‏ سيكون سالبًا. نستخدم القيمة المطلقة للزاوية المرجعية، ووفقًا لمخطط الإشارات يكون ‪sin 𝜃‬‏ سالبًا. وعليه، فإن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي سالب واحد على الجذر التربيعي لاثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.