فيديو السؤال: إيجاد احتمالات التوزيع الطبيعي بمعلومية المتوسط والتباين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ متغير عشوائي يتبع توزيعًا طبيعيًّا، ومتوسطه ٦٣، وتباينه ١٤٤. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٧٫٥٦ وأصغر من أو يساوي ٥٧٫٣٦.

حسنًا، تذكر أن التمثيل البياني للمنحنى الذي يمثل التوزيع الطبيعي، حيث المتوسط هو 𝜇 والانحراف المعياري هو 𝜎، يكون له شكل الجرس ويكون متماثلًا حول المتوسط. والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١٠٠ بالمائة أو واحدًا. قد يكون رسم المنحنى طريقة مفيدة حقًّا لمعرفة كيفية حل مسألة حول البيانات الموزعة طبيعيًّا.

لدينا بيانات موزعة طبيعيًّا لها متوسط يساوي ٦٣ وتباين — أي 𝜎 تربيع أو الانحراف المعياري تربيع — يساوي ١٤٤. إننا نريد هنا إيجاد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٧٫٥٦ وأقل من أو يساوي ٥٧٫٣٦ ؛ وهذا ما تمثله المساحة المظللة.

الخطوة الأولى بعد رسم المنحنى في مسائل التوزيع الطبيعي هي حساب قيمة ﻱ. وهذه بالتأكيد طريقة لمعايرة البيانات لكي تتبع التوزيع الطبيعي المعياري. بمجرد أن نكمل هذه الخطوة، يمكننا استخدام جدول واحد للتوزيع الطبيعي المعياري.

لقد حددنا بالفعل قيمة 𝜇. والتباين يساوي مربع الانحراف المعياري 𝜎. ومن ثم، يمكننا حساب الجذر التربيعي لـ ١٤٤ لنحصل على قيمة الانحراف المعياري. الجذر التربيعي لـ ١٤٤ يساوي ١٢. إذن الانحراف المعياري 𝜎 لهذه البيانات هو ١٢. بالتعويض بأعلى حد لقيمة ﺱ، وهو ٥٧٫٣٦، نحصل على ٥٧٫٣٦ ناقص ٦٣ الكل على ١٢. وهذا يعطينا قيمة ﻱ الأولى سالب ٠٫٤٧.

حسنًا، لا يمكننا هنا إيجاد قيمة ﻱ التي تساوي سالب ٠٫٤٧ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. بدلًا من ذلك، سنستعين بحقيقة أن المنحنى متماثل. وسنبحث عن قيمة ٠٫٤٧ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. احتمال أن يكون ﺹ أصغر من ٠٫٤٧ في جدول التوزيع الطبيعي المعياري هو ٠٫٦٨٠٨. لكن ما يعنينا بالفعل هو احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ٠٫٤٧.

وبما أن المساحة أسفل المنحنى تساوي واحدًا صحيحًا أو ١٠٠ بالمائة، يمكننا طرح ٠٫٦٨٠٨ من واحد. وهذا يعني أن احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ٠٫٤٧ هو ٠٫٣١٩٢. وهذا بدوره يخبرنا أيضًا أن احتمال أن يكون ﺹ أصغر من سالب ٠٫٤٧ يساوي ٠٫٣١٩٢. ما يعنيه ذلك أيضًا هو أن احتمال أن يكون ﺱ أصغر من ٥٧٫٣٦ هو ٠٫٣١٩٢.

دعونا نكرر هذه العملية مع قيمة ﺱ التي تساوي ٣٧٫٥٦. بالتعويض بـ ٣٧٫٥٦ في صيغة إيجاد قيمة ﻱ، نحصل على ٣٧٫٥٦ ناقص ٦٣ الكل على ١٢، ما يساوي سالب ٢٫١٢. مرة أخرى، سنستخدم تماثل المنحنى ونوجد احتمال أن يكون ﺹ أكبر من ٢٫١٢. يمكن إيجاد ذلك عن طريق طرح احتمال أن يكون ﺹ أقل من ٢٫١٢ من واحد. وهذا يساوي واحدًا ناقص ٠٫٩٨٣٠ ؛ ما يساوي ٠٫٠١٧٠.

حسنًا، نحن نعلم أن احتمال أن يكون ﺱ أقل من ٣٧٫٥٦ يساوي ٠٫٠١٧٠. يمكننا الآن إيجاد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٣٧٫٥٦ وأصغر من ٥٧٫٣٦ من خلال إيجاد الفرق بين الاحتمالين. هذا يساوي ٠٫٣١٩٢ ناقص ٠٫٠١٧٠. ومن ذلك نجد أن الاحتمال يساوي ٠٫٣٠٢٢.

ربما تكون قد لاحظت أننا أوجدنا احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٣٧٫٥٦ وأصغر من ٥٧٫٣٦، بينما يطلب منا السؤال إيجاد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٧٫٥٦ وأصغر من أو يساوي ٥٧٫٣٦.

في الحقيقة، التوزيع الطبيعي هو توزيع متصل. هذا يعني أن الفرق بين أصغر من وأصغر من أو يساوي مهمل. ولذلك يمكننا افتراض أنه لا يوجد فرق بينهما.

إذن، احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٧٫٥٦ وأصغر من أو يساوي ٥٧٫٣٦ هو ٠٫٣٠٢٢.