فيديو الدرس: مخطط الشجرة البيانية الرياضيات

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نرسم مخططات الشجرة البيانية وكيف نستخدمها.

١٨:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نرسم مخططات الشجرة البيانية وكيف نستخدمها لتمثيل فضاء العينة لتجربة ما.

ولكن قبل أن نلقي نظرة على مخططات الشجرة البيانية، دعونا نعرف أولًا ما فضاء العينة. فضاء العينة هو المجموعة التي تضم كل النواتج أو النتائج الممكنة لتجربة ما. إذن، كيف سيبدو ذلك؟ إذا أدرنا هذا القرص الدوار، فسيكون فضاء العينة واحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة؛ لأن هذه هي جميع النتائج الممكنة التي يمكن أن نحصل عليها. في قرص دوار آخر ذي قيم واحد، اثنين، ثلاثة دائري، فإن فضاء العينة هنا هو واحد، اثنان، ثلاثة.

لنلق نظرة على مثال آخر نحدد فيه فضاء العينة.

تحتوي حقيبة على سبع كرات مرقمة من واحد إلى سبعة. حدد فضاء العينة لاختيار كرة عشوائيًّا.

لإيجاد فضاء العينة، علينا كتابة جميع النواتج. إذا اخترنا كرة عشوائيًّا، فيمكننا اختيار الكرة المرقمة واحد، أو الكرة المرقمة اثنين، أو أي كرة مرقمة ثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة أو سبعة. يمكننا إذن كتابة فضاء العينة في صورة مجموعة من القيم واحد، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة، وستة، وسبعة.

لنلق نظرة الآن على مخططات الشجرة البيانية ونرى كيف يمكن لها أن تمثل فضاء العينة. تعد مخططات الشجرة البيانية مفيدة بشكل خاص لإيجاد احتمالات الأحداث المتعددة. لنأخذ المثال الذي نريد فيه إيجاد النتائج الممكنة عندما نرمي عملة معدنية مرتين. نبدأ برسم مخطط شجرة لتمثيل الرمية الأولى للعملة. نعلم أن هناك نتيجتين ممكنتين لإلقاء العملة المعدنية: صورة أو كتابة. فاحتمال الحصول على صورة يساوي واحدًا على اثنين — أي نصف — حيث توجد صورة واحدة من بين نتيجتين. وهو نفس احتمال الحصول على كتابة. أما بالنسبة إلى الحدث الثاني وهو إلقاء العملة المعدنية للمرة الثانية، فعندما نحصل على صورة، فما يزال هناك خياران، صورة أو كتابة، في الرمية الثانية. الاحتمالات هنا ستظل كما هي، بما أن ما حدث في الرمية الأولى لا يؤثر على احتمالات ما يحدث في الرمية الثانية.

تمثل الفروع السفلى ما يحدث في الرمية الثانية إذا كان لدينا كتابة في الرمية الأولى. ما يزال لدينا نتيجتان ممكنتان. وكلا هذين الاحتمالين يساوي نصفًا. إذن، بالمتابعة، ففي الفرع العلوي تكون النتيجة هي الحصول على صورة وصورة. والنتيجة الثانية هي صورة متبوعة بكتابة. والنتيجة الثالثة هي كتابة متبوعة بصورة. والنتيجة الرابعة هي كتابة وكتابة. نلاحظ أن هناك أربع نتائج ممكنة لإلقاء عملة معدنية مرتين.

لنلق نظرة الآن على مثال لإنشاء مخطط شجرة لفضاء العينة لمسألة أكثر تعقيدًا.

افترض أن ٦٠ بالمائة من الآيس كريم الموجود في عربة آيس كريم يباع في علبة، و٤٠ بالمائة الأخرى يباع في مخروط. افترض أيضًا أن عربة الآيس كريم تبيع ثلاث نكهات مختلفة من الآيس كريم — الشوكولاتة والفانيليا والفراولة — وأن ٢٥ بالمائة من مبيعات الآيس كريم بنكهة الشوكولاتة و٤٥ بالمائة بنكهة الفانيليا و٣٠ بالمائة بنكهة الفراولة. ارسم مخطط شجرة بيانية لتمثيل مبيعات الآيس كريم من عربة الآيس كريم.

علينا هنا رسم مخطط شجرة بيانية يمثل النتائج الممكنة عند شراء الآيس كريم من عربة الآيس كريم. أول احتمالين لدينا هنا هما شراء الآيس كريم في علبة أو في مخروط. لدينا بعد ذلك خيارات أخرى لنكهات الآيس كريم الثلاث المختلفة. بالنظر إلى أول عنصر في الاختيار وهو العلبة أو المخروط، نعلم أن ٦٠ بالمائة يباع في علبة. إذن، نكتب هذا على فرع العلبة. يمكننا كتابته على صورة نسبة مئوية، لكن من الأسهل في كثير من الأحيان كتابته على صورة عدد عشري أو كسر. وهنا، ٦٠ بالمائة يساوي ٠٫٦. نعلم أن ٤٠ بالمائة يباع في مخروط. ‏٤٠ بالمائة يساوي ٠٫٤. إذن، يمكننا كتابة ذلك على فرع المخروط.

يمكننا الآن النظر إلى الخيارات المختلفة لنكهات الآيس كريم. ولا يهم إذا ما كان المشتري سيختار علبة أم مخروطًا. فسيظل عليه الاختيار من بين ثلاث نكهات مختلفة من الآيس كريم. حيث يستطيع اختيار علبة ثم آيس كريم بالشوكولاتة أو بالفانيليا أو بالفراولة. أو يمكنه اختيار مخروط يحتوي على آيس كريم بالشوكولاتة أو بالفانيليا أو بالفراولة. نعلم أن ٢٥ بالمائة من المبيعات بنكهة الشوكولاتة، و٤٥ بالمائة بنكهة الفانيليا، و٣٠ بالمائة بنكهة الفراولة. وبالمناسبة، نلاحظ أن مجموع هذه الاحتمالات الثلاثة يساوي ١٠٠ بالمائة؛ لأنه لا يوجد خيارات غيرها للنكهات التي لدينا. و٢٥ بالمائة يساوي ٠٫٢٥ على صورة عدد عشري. وينطبق ذلك أيضًا على الشوكولاتة في الفروع العليا والشوكولاتة في الفروع السفلى. إذن، فإن احتمال أن يختار زبون ما الفانيليا هو ٠٫٤٥ على صورة عدد عشري وبالنسبة للفراولة ٠٫٣.

وبذلك، نكون قد أكملنا مخطط الشجرة البيانية الذي يوضح مبيعات الآيس كريم. نلاحظ هنا أن هناك ست نتائج ممكنة: اختيار علبة آيس كريم بالشوكولاتة، أو علبة آيس كريم بالفانيليا، أو علبة آيس كريم بالفراولة، أو مخروط آيس كريم بالشوكولاتة، أو بالفانيليا أو بالفراولة. وللحصول على مخطط شجرة بيانية كامل، لا سيما في أسئلة الاختبارات، كل ما علينا فعله هو توضيح النتائج المختلفة إلى جانب احتمالاتها.

سنرى الآن كيف نستخدم مخططات الشجرة البيانية لحساب بعض الاحتمالات. لنعد مجددًا إلى مثال إلقاء العملة المعدنية مرتين.

في مخطط الشجرة الذي رسمناه من قبل في الفيديو، لاحظنا وجود أربع نتائج. سنفكر في كيفية حساب احتمالات هذه النتائج الأربع. نبدأ باحتمال الحصول على صورة، ثم صورة، وبينما نتحرك على طول الفروع، نضرب الاحتمالات. إذن، لدينا نصف مضروبًا في نصف. وعند ضرب الكسور، نضرب البسطين ونضرب المقامين. إذن، نحصل على ربع. لإيجاد احتمال الحصول على صورة ثم كتابة، نضرب نصفًا في نصف، وهو ما يساوي ربعًا. واحتمال الحصول على كتابة ثم صورة، هو أيضًا نصف مضروبًا في نصف، وهو ما يساوي ربعًا. واحتمال الحصول على كتابة وكتابة هو ربع.

أحد الأمور الأساسية التي يجب إلقاء الضوء عليها في هذه المسألة هو أن مجموع احتمالات هذه النتائج النهائية يساوي واحدًا. لنتخيل أن المطلوب منا هو إيجاد احتمال الحصول على نفس النتيجة عند إلقاء قطعتي عملة. هذا يعني أن علينا التفكير في احتمال الحصول على صورة وصورة، أو احتمال الحصول على كتابة وكتابة. ولحساب هذا الاحتمال، علينا جمع احتمال الحصول على صورة وصورة، واحتمال الحصول على كتابة وكتابة، وهو ما يعني جمع ربع وربع، فنحصل على نصف.

سنتناول الآن سؤالًا آخر، حيث يطلب منا فيه جمع الاحتمالات النهائية في نهاية الفروع.

إذا أدير قرصان دواران، وكان الأول مرقمًا من واحد إلى اثنين، والثاني مرقمًا من واحد إلى تسعة، فأوجد احتمال توقف كلا القرصين عند أعداد زوجية، باستخدام مخطط شجرة بيانية.

هناك عدد من الطرق المختلفة لتمثيل فضاء العينة أو النتائج المختلفة لهذين القرصين الدوارين. لكن المطلوب هنا هو استخدام مخطط شجرة بيانية. في مخطط الشجرة البيانية، علينا تمثيل نتائج القرص الأول ثم نتائج القرص الثاني. في القرص الدوار الأول، توجد نتيجتان ممكنتان فقط، القيمة واحد أو القيمة اثنان. ولحساب الاحتمال، يمكننا افتراض أن هذين القرصين الدوارين منتظمان. ولذا، فإن احتمال الحصول على واحد هو نصف؛ لأن هذه النتيجة هي إحدى النتيجتين الممكنتين. وكذلك احتمال الحصول على العدد اثنين هو نصف أيضًا.

لننظر الآن إلى النتائج الممكنة على القرص الدوار الثاني. عندما نرسم مخططات الشجرة البيانية، فمن المفيد دائمًا التفكير مقدمًا فيما ستكون عليه النتائج. على سبيل المثال، إذا رسمنا قيم القرص الدوار الأول صغيرة جدًّا وقريبة بعضها من بعض، فسنجد صعوبة في الحصول على تسعة فروع مختلفة بعد الواحد والاثنين. ولذا، تأكد دائمًا من أن لديك مساحة كافية في مخطط الشجرة البيانية. وبما أن القرص الثاني مرقم من واحد إلى تسعة، فلدينا تسعة فروع مختلفة. ولدينا هذه النتائج التسع سواء حصلنا على واحد أو اثنين في القرص الدوار الأول أم لا. ومرة أخرى، بافتراض أن هذا القرص الدوار منتظم، فإن احتمال كل عدد من الأعداد من واحد إلى تسعة سيكون تسعًا.

المطلوب هو حساب احتمال توقف كلا القرصين الدوارين عند أعداد زوجية. يمكننا أن نرى النتائج في المجموعة العليا من الفروع. واحد، واحد، على سبيل المثال، يشير إلى الحصول على واحد في القرص الدوار الأول وواحد على القرص الدوار الثاني. بينما واحد، اثنان يشير إلى واحد على القرص الأول، واثنين على القرص الثاني. وبما أننا ندرس احتمال الحصول على عددين زوجيين، فيمكننا في الواقع استبعاد كل الفروع العلوية لأن كلًّا منها به العدد واحد وهو عدد فردي.

إذن، لإيجاد احتمال عددين زوجيين، فهذا يعني أن ما يعنينا هو احتمال الحصول على اثنين ثم اثنين، أو احتمال الحصول على اثنين على القرص الدوار الأول، وأربعة على القرص الدوار الثاني، أو احتمال الحصول على اثنين ثم ستة، أو احتمال الحصول على اثنين وثمانية. ولإيجاد هذه الاحتمالات، نجري عملية الضرب على امتداد الفروع. إذن، احتمال الحصول على اثنين واثنين هو نصف مضروبًا في تسع. ولضرب الكسور، نضرب البسطين ونضرب المقامين. إذن، سيكون لدينا واحد على ١٨. والقيمتان متطابقتان لحساب احتمال الحصول على اثنين وأربعة. لدينا نصف مضروبًا في تسع، وهو ما يساوي واحدًا على ١٨. وينطبق الأمر نفسه على الاحتمالين المتبقيين. إذن، لحساب احتمال الحصول على عددين زوجيين، نجمع كلًّا من الاحتمالات الأربعة معًا، لنحصل بذلك على النتيجة النهائية أربعة من أصل ١٨ أو أربعة على ١٨.

عندما يستيقظ نادر في الصباح، هناك احتمال بنسبة ٣٠ بالمائة أن يشرب الشاي، واحتمال بنسبة ٥٠ بالمائة أن يختار القهوة، واحتمال بنسبة ٢٠ بالمائة أن يفضل العصير. وفي وجبة الإفطار، يتناول نادر خبز التوست بنسبة ٤٠ بالمائة من المرات، والفطائر بنسبة ١٥ بالمائة من المرات، والحبوب بنسبة ٣٠ بالمائة من المرات، ولا يتناول شيئًا إذا استيقظ متأخرًا وخرج مسرعًا. ارسم مخطط شجرة بيانية لتمثيل خيارات نادر لطعام ومشروبات الإفطار. أوجد احتمال أن يتناول نادر القهوة مع خبز التوست في الصباح. أوجد احتمال أن يتناول نادر مشروبًا ساخنًا مع خبز التوست. أوجد عدد خيارات الإفطار المتاحة أمام نادر كل صباح.

لبدء رسم مخطط الشجرة البيانية، علينا التفكير في الخيارات المختلفة. أولًا، لدينا جميع خيارات المشروبات المتاحة لدى نادر، وثانيًا، لدينا كل خيارات الأطعمة التي يتناولها. لنبدأ برسم الفروع التي تمثل المشروبات المتاحة لديه. وهي الشاي أو القهوة أو العصير. وهذا يعني أننا سنحتاج إلى ثلاثة فروع. إذن، نرسم الفروع الثلاثة ونكتب الخيارات في نهاية كل منها.

نعلم أن هناك احتمالًا بنسبة ٣٠ بالمائة أن يشرب نادر الشاي. وهذا يكافئ القيمة العشرية ٠٫٣، التي نكتبها على الفرع. هناك احتمال بنسبة ٥٠ بالمائة أن يختار نادر القهوة. وعلى صورة عدد عشري، فإن هذا يساوي ٠٫٥. ونعلم أن هناك احتمالًا بنسبة ٢٠ بالمائة أن يشرب نادر العصير. وعلى صورة عدد عشري، فإن ذلك يساوي ٠٫٢.

سننظر الآن في خيارات أطعمة الإفطار المتاحة أمام نادر. نعلم من المعطيات أنه قد يتناول خبز التوست، أو الفطائر، أو الحبوب. لكن علينا أيضًا أن نضيف حقيقة أنه يوجد احتمال ألا يتناول شيئًا مطلقًا. إذن، في حالة تناول نادر الشاي، فلديه أربعة خيارات من الطعام: خبز التوست، أو الفطائر، أو الحبوب، أو لا شيء. نعلم أنه يتناول خبز التوست بنسبة ٤٠ بالمائة من المرات. وهذا سيكون ٠٫٤ على صورة عدد عشري. ويختار الفطائر ١٥ بالمائة من المرات. وهو ما يساوي ٠٫١٥. ويختار الحبوب ٣٠ بالمائة من المرات. وهذا يساوي ٠٫٣. وليس لدينا نسبة مئوية لعدم تناول شيء إذا استيقظ نادر متأخرًا. لكن يمكننا حساب ذلك بأن نتذكر أن مجموع كل فرع من هذه الفروع الأربعة سيساوي واحدًا. ومن ثم، إذا جمعنا ٠٫٤، و٠٫١٥، و٠٫٣ وطرحنا النتيجة من واحد، فسنحصل على ٠٫١٥.

بعد ذلك، عندما يتناول نادر القهوة، فما يزال أمامه نفس الخيارات الأربعة من الطعام. ستكون كل تلك الاحتمالات هي نفسها كما هو موضح في الفروع أعلاه؛ لأن ما سيشربه لا يؤثر على ما يجب أن يأكله. وينطبق الأمر نفسه عندما يكون لدى نادر عصير ليشربه. لديه أربعة خيارات مختلفة من الطعام. ومن ثم، فقد رسمنا مخطط الشجرة البيانية للسؤال الأول. يمكننا بعد ذلك استخدام مخطط الشجرة البيانية لإيجاد احتمال تناول نادر القهوة مع خبز التوست.

يمكننا إيجاد هذا الاحتمال عن طريق الانتقال إلى فرع القهوة، ثم إلى فرع خبز التوست. وبينما نتحرك على طول الفرعين، نضرب الاحتمالين. إذن، نضرب ٠٫٥ في ٠٫٤، وهو ما يساوي ٠٫٢. وهكذا، فإن إجابة السؤال الثاني: احتمال أن يتناول نادر القهوة مع خبز التوست، هي ٠٫٢.

سننتقل الآن إلى السؤال الثالث لإيجاد احتمال أن يتناول نادر مشروبًا ساخنًا مع خبز التوست. وبما أن العصير ليس مشروبًا ساخنًا عادة، فهذا يعني أننا نبحث احتمال القهوة مع خبز التوست واحتمال الشاي مع خبز التوست. عرفنا في السؤال السابق أن احتمال الحصول على القهوة وخبز التوست يساوي ٠٫٢. ولإيجاد احتمال الشاي وخبز التوست، نضرب الفرعين مرة أخرى، أي ٠٫٣ في ٠٫٤، وهو ما يساوي ٠٫١٢. لإيجاد احتمال أن يشرب نادر مشروبًا ساخنًا وخبز التوست، نجمع احتمال الشاي وخبز التوست مع احتمال القهوة وخبز التوست. وهذا يساوي ٠٫١٢ زائد ٠٫٢. إذن، إجابة السؤال الثالث هي ٠٫٣٢.

لننظر الآن إلى الجزء الأخير من السؤال لإيجاد عدد خيارات الإفطار التي لدى نادر. رأينا في الجزأين الأخيرين من السؤال أن نادر لديه خيار الشاي وخبز التوست أو خيار القهوة وخبز التوست. في الواقع، لديه كل الخيارات الأخرى المذكورة أيضًا. إذا جمعنا كل هذه الخيارات معًا، فسنجد أن هناك ١٢ خيارًا، وستكون الإجابة عن السؤال الأخير هي أن لديه ١٢ خيارًا مختلفًا في وجبة الإفطار. يمكننا التحقق من ذلك عندما نعلم أن لديه ثلاثة خيارات مختلفة من المشروبات وأربعة خيارات مختلفة من الأطعمة. وبضرب ثلاثة في أربعة، نحصل أيضًا على ١٢.

لنلخص الآن ما تناولناه في هذا الفيديو. عرفنا أن مخطط الشجرة البيانية يمثل طريقة مفيدة لتوضيح فضاء العينة لتجربة ما، حيث فضاء العينة هو مجموعة مكونة من جميع النتائج الممكنة. لقد تعلمنا أن كل مرحلة من مراحل التجربة تمثلها مجموعة أو مجموعات من الفروع على مخطط الشجرة البيانية. وكل نتيجة يمثلها فرع موضح عليه الاحتمال المرتبط به. كل مرحلة تالية في مخطط الشجرة البيانية يمثلها فرع من كل نتيجة من نتائج المرحلة السابقة. يمكن إيجاد احتمال نتيجة نهائية عن طريق ضرب الفروع المؤدية إلى هذه النتيجة. يمكن إيجاد احتمال النتائج النهائية المجمعة بجمع احتمال النتائج النهائية الفردية. ونقطة أخيرة حول مخططات الشجرة البيانية، قد يكون من المفيد التخطيط لها للتأكد من أن لدينا مساحة كافية على الصفحة، لا سيما عندما يكون مخطط الشجرة البيانية كبيرًا جدًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.